平稳时间序列分析-ARMA模型_精品文档.ppt

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第三章,平稳时间序列分析,第二节ARMA模型,AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）,一、AR模型（AutoRegressionModel）,具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型,

（一）AR模型定义,AR（P）序列中心化变换,对于非中心化序列,作变换,则原序列即化为中心化序列,所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。

AR模型的算子表示,令,则模型可表示为,

（二）AR模型平稳性判别,判别原因：

AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的。

判别方法：

特征根判别法，平稳域判别法。

例3.1:

考察如下四个模型的平稳性,例3.1平稳序列时序图,例3.1非平稳序列时序图,从时序图上可以看出，

（1）（3）模型平稳，

（2）（4）模型非平稳。

（三）AR模型平稳性常用判别方法,特征根判别,平稳域判别,AR（p）模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。

根据特征根和算子多项式的根成倒数的性质，AR（p）模型平稳的充要条件是该模型的算子多项式的根都在单位圆外。

平稳域为：

（四）两个常见模型的平稳性条件,1、AR

（1）模型平稳条件,特征根为，平稳条件,平稳域为,AR

（1）模型的平稳性条件也可以如下讨论：

对1阶自回归模型AR

（1）,方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：

由于Xt仅与t相关，因此，E（Xt-1t）=0。

如果该模型稳定，则有E（Xt2）=E（Xt-12），从而上式可变换为：

在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有|1。

而AR

（1）的算子多项式方程：

的根为z=1/AR

（1）稳定，即|1，意味着特征根大于1。

2、AR

（2）模型平稳条件,特征根为,由,知等价于,平稳域,2+1=-12+（1+2）=1（1-1）（1-2）2-1=-12-（1+2）=1（1+1）（1+2）,无论1,2为实数或共轭复数，由10，从而得,2+112-11,且-121,事实上，由于,平稳域是一个三角形区域。

见下图阴影部分。

平稳AR

（2）过程1,2取值域（阴影部分）,回归参数2，1的取值变化分三种情形讨论。

（1）当12+42=0时，特征方程有相等实数根。

2,1取值在图中的抛物线上，称为临界阻尼状态。

（2）当12+420时，特征方程有不等实数根。

2,1的值位于过阻尼区（自相关函数呈指数衰减）。

（3）当12+420时，特征方程根为共轭复根。

2,1的值位于欠阻尼区（自相关函数呈正弦震荡衰减）。

AR

（2）模型的平稳性也可以如下讨论：

对AR

（2）模型：

方程两边同乘以Xt，再取期望得：

又由于：

于是：

同样地，由原式还可得到：

于是方差为：

由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有1+21,2-11,|2|1,对高阶自回模型AR（p）来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：

（1）AR（p）模型稳定的必要条件是：

（2）由于可正可负，AR（p）模型稳定的充分条件是：

例3.1平稳性判别,（三）平稳AR模型的统计性质,1、均值,如果AR（p）模型满足平稳性条件，则有,根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有,推导出,

（1）Green函数定义,2、方差,将平稳的AR（p）模型表示成如下的传递形式,其中系数称为Green函数,求Green函数递推公式,由待定系数法可得如下递推公式,

（2）平稳的AR（p）模型的方差,由平稳AR模型的传递形式,两边求方差得,例3.2:

求平稳AR

（1）模型的方差,平稳AR

（1）模型的传递形式为,Green函数为,平稳AR

（1）模型的方差为,也可用以下方法计算,将原过程改写为,所以,3、自协方差函数,在平稳AR（p）模型两边同乘，再求期望,根据,得自协方差函数的递推公式,例3.3:

求平稳AR

（1）模型的自协方差函数,递推公式：

平稳AR

（1）模型的方差为,自协方差函数的递推公式为：

例3.4:

求平稳AR

（2）模型的协方差,利用,其中,所以，平稳AR

（2）模型的协方差函数递推公式为,4、自相关系数,

（1）自相关系数的定义：

特别,

（2）平稳AR（P）模型的自相关系数递推公式：

上述方程称为Yule-Walker方程。

（3）常用AR模型自相关系数递推公式,AR

（1）模型,AR

（2）模型,说明：

在AR

（1）模型中，即使没有直接出现在模型中，和也是相关的。

因为,所以，是通过与相关的，这种间接相关出现在任何AR模型中。

与的自相关系数等于与的自相关系数乘以与的自相关系数。

即,5、平稳AR（p）模型自相关系数的性质,

（1）拖尾性,

（2）呈负指数衰减,拖尾性说明之前的每一个序列值都会对构成影响，但因为自相关系数呈负指数衰减，所以，间隔较远的序列值对现时值的影响很小，具有所谓的“短期相关性”。

例3.5:

考察如下AR模型的自相关图,例3.5,自相关系数按负指数单调收敛到零,例3.5:

自相关系数呈现正负相间地衰减,例3.5:

自相关系数呈现出“伪周期”性,例3.5:

自相关系数不规则衰减,6、偏自相关函数,自相关函数ACF（k）给出了Xt与Xt-k的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的相关关系。

例如，在AR

（1）中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:

即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。

与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数（partialautocorrelation，简记为PACF）则是消除了中间变量Xt-1，Xt-k+1带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。

定义：

对于平稳AR（p）序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。

用数学语言描述就是,7、偏自相关系数的计算,

（1）直接利用回归方法计算,首先将序列中心化，作如下形式的回归,滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。

注意到：

所以，即为剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，与的相关系数，即与的偏自相关系数。

（2）利用Yule-Walker方程计算,当时，,当时，,所以，,一般地：

利用Cramer法则可得,（3）利用Levinson递推公式计算,或写成,其中,定理的证明：

Yule-Walker方程,可写为,利用归纳法，对k=1，Levinson递推公式显然成立。

假设公式对k-1已经成立，即,对k阶Yule-Walker方程,作上述分块矩阵，记,则是正交阵。

有,k阶Yule-Walker方程可记为,所以，由

（1）式,注意到：

-

（1）,-

（2）,-（3）,代入

（2）式得，,所以，,注意到：

已经假定Levinson公式对k-1成立，即,所以有,再由（3）式得,即,8、平稳AR（p）模型偏自相关系数的截尾性,AR（p）模型偏自相关系数P阶截尾，这是因为对于AR（p）模型,与之间不存在直接相关。

所以,平稳AR（p）模型偏自相关系数的截尾性是AR模型所具有的一个重要特性，它可以帮助我们识别AR模型。

9、常用AR模型偏自相关系数公式,AR

（1）模型：

AR

（2）模型：

例3.5续:

考察如下AR模型的偏自相关图,例3.5,理论偏自相关系数,样本偏自相关图,例3.5:

理论偏自相关系数,样本偏自相关图,例3.5:

理论偏自相关系数,样本偏自相关图,例3.5:

理论偏自相关系数,样本偏自相关图,二、MA模型（MovingAverageModel）,

（一）MA模型的定义,具有如下结构的模型称为阶移动平均模型，简记为,特别当时，称为中心化模型,利用延迟算子，中心化模型又可以简记为,其中，是阶移动平均系数多项式,为了以后识别一个模型是否是移动平均模型MA（q），下面讨论MA模型的统计性质,

（二）MA模型的统计性质,

（1）常数均值,

（2）常数方差,显然，MA模型是平稳的。

（3）MA模型的自协方差函数,MA（q）自协方差函数q阶截尾,（4）MA模型的自相关函数,MA（q）自相关系数q阶截尾,（5）常用MA模型的自相关系数,MA

（1）模型,MA

（2）模型,（6）MA模型的偏自相关系数,MA模型的偏自相关系数拖尾,对于中心化的MA（q）模型，有,例3.6:

考察如下MA模型的相关性质,MA模型的自相关系数截尾,可以看出

（1）

（2）自相关系数相同,MA模型的自相关系数截尾,可以看出（3）（4）自相关系数相同,MA模型的偏自相关系数拖尾,可以看出

（1）和

（2）的偏自相关系数相同，（3）和（4）的偏自相关系数相同。

（三）MA模型的可逆性,由例3.6可以看出，不同的MA模型可能具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数，为了利用自相关系数和偏自相关系数来识别MA模型，要求给定一个自相关函数能够对应惟一的MA模型，这就要求我们给模型增加约束条件，这个约束条称为件MA模型的可逆性条件。

（1）MA模型可逆性的定义,定义：

若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型。

意义：

可以保证一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。

（2）可逆的MA

（1）模型,（3）MA模型的可逆条件,MA（q）模型可逆的充要条件是：

MA（q）模型的特征根都在单位圆内,等价条件是算子多项式的根都在单位圆外,（4）MA模型逆函数的递推公式,利用待定系数法可得如下逆函数递推公式,由,若MA模型可逆，则MA模型可表示为,称为MA模型的可逆表示。

例3.6续:

考察如下MA模型的可逆性,逆函数为,逆转形式为（可逆表示）,MA

（2）可逆条件：

（3）的逆函数为,（3）的逆转形式为（可逆表示）,自回归与移动平均过程的关系一个平稳的AR（p）过程（1-1B-2B2-pBp）xt=ut可以转换为一个无限阶的移动平均过程，xt=（1-1B-2B2-pBp）-1ut=B）-1ut一个可逆的MA（q）过程xt=（1+1B+2B2+qBq）ut=B）ut可转换成一个无限阶的自回归过程，（1+1B+2B2+qBq）-1xt=B）-1xt=ut,对于MA（q）过程，只需考虑可逆性问题，条件是B）=0的根（绝对值）必须大于1，不必考虑平稳性问题。

对于AR（p）过程只需考虑平稳性问题，条件是B）=0的根（绝对值）必须大于1。

不必考虑可逆性问题。

三、ARMA模型,

（一）ARMA模型的定义,具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为,特别当时，称为中心化模型。

利用延迟算子，中心化模型又可以简记为,其中，是阶自回归系数多项式,是阶移动平均系数多项式,

（二）ARMA（p,q）平稳条件与可逆条件,ARMA（p,q）模型的平稳条件：

P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外，即ARMA（p,q）模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定。

ARMA（p,q）模型的可逆条件：

q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外，即ARMA（p,q）模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定。

（三）ARMA（p,q）传递形式与逆转形式,传递形式,逆转形式,无穷阶MA模型,无穷阶AR模型,格林函数,逆函数,其中,（四）ARMA（p,q）模型的统计性质,均值：

自协方差函数：

自相关系数：

例：

求ARMA（1,1）过程的自协方差函数，自相关函数，偏自相关函数。

解,所以，,偏自回归系数的Levinson递推公式为：

所以，的偏自相关系数为,类似地可求出,ARMA（1,1）模型可转化为无穷阶自回归模型：

类似地，可将ARMA（1,1）模型转化为无穷阶移动平均模型：

ARMA（1,1）过程是实际中最常用的模型。

ARMA（1,1）过程,（五）平稳可逆ARM