无穷乘积的收敛性.docx
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无穷乘积的收敛性
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无穷乘积的收敛性
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无穷乘积的收敛性
郭州雄
（数学与信息科学学院西北师范大学甘肃兰州730070）
摘要在无穷乘积的研究中，确定无穷乘积的敛散性问题是一个很重要的问题，
本文通过无穷级数与无穷乘积的关系浅谈一下判断无穷乘积敛散性的一些方法。
关键词无穷乘积无穷级数
Theabstractintheinfiniteproductresearch,determinedtheinfiniteproductcollectsthedivergencequestionisaveryimportantquestion,
thisarticlethroughtheinfiniteseriesandtheinfiniteproductrelationsdiscussedshallowlyjudgestheinfiniteproducttocollectthedivergencesomemethods.
Keywordinfiniteproductinfiniteseries
一预备知识
定义1设（0）是无穷可列个实数，我们称他们的“积”......为无穷乘积，记为，其中称为无穷乘积的通项或一般项.
从定义我们可以看出，这里有无穷多个实数相乘，当然我们无法对无穷多个实数逐一地进行乘法运算，所以必须对无穷乘积求积给出一个合
理地定义，为此构作无穷乘积的部分积数列：
定义2如果部分积数列收敛于一个非零的有限数，则称无穷乘积收敛，且称为它的积，记为=，如果发散或收敛于零，则称无穷乘积发散。
注意这里当时，我们称无穷乘积发散于0，而不是收敛于0，以后我们将会看到这样做的好处仅仅是使无穷乘积的收敛性和无穷级数的收敛性统一，下面给出无穷乘积收敛的一个必要条件：
定理1如果无穷乘积收敛，则
（1）
（2）
证明设无穷乘积的部分积数列为，则
证毕
由定理1知，若无穷乘积的通项不趋于0，则无穷乘积必定发散，而当通项趋于0时，必定在某一项以后大于0，而无穷乘积的收敛性与前面有限项无关，只不过若收敛的话“积”不同罢了，所以下面我们假定无穷乘积的通项，而下面的定理将无穷乘积与无穷级数的敛散性统一起来：
定理2无穷乘积收敛的充分必要条件是无穷级数收敛。
证明：
设无穷乘积的部分积数列为，无穷级数的部分和数列为，则
=
所以收敛的充分必要条件是收敛，而收敛于0，既发散于0的充分必要条件是发散于。
由定理2，我们建立了与之间的关系，于是我们可以通过判断无穷级数的敛散性来判断无穷乘积的敛散性，下面给出两个重要的推论：
推论1设（或），则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛。
证明：
显然级数与级数都是正项级数或都是负项级数，它们都以为收敛的必要条件，而当时，我们有
于是由正项级数的比较判别法，级数收敛的充分必要条件是收敛。
证毕
推论2设级数收敛，则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛。
证明：
由收敛，可知，由及
，
根据正项级数的比较判别法，当与收敛时，必有的收敛性，反过来，当收敛时，由于的收敛性，必定可得到的收敛性。
证毕
我们由定理2可以看到，要判断一个无穷乘积的敛散性我们只需要判断对应的级数的敛散性，而由推论1及推论2可以看到正项级数在数项级数中占有重要的地位，于是我们先讨论正项级数的判别法，进而再讨论一般的数项级数的判别法.
二正项级数的判别法
定理3（正项级数的收敛原理）正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
定理4（比较判别法）设与是两个正项级数，若存在常数A，成立
则
当收敛时，也收敛
当发散时，也发散。
证明：
设级数的部分和数列为，级数的部分和数列为，则显然有
于是当有上界时，也有上界，而当无上界时，必定无上界。
证毕
定理（比较判别法的极限形式）设与是两个正项级数，如果与是同阶无穷小量，即
则与同时收敛或同时发散。
证明：
由，取，则存在自然数N，当时，
由定理4，即得所需结论，
证毕
定理5
（1）若收敛，则有收敛，其中；
（2）若发散，则有发散，其中。
证明：
（1）令，显然，
因为收敛，所以收敛
（2）若发散，令，显然，而由的发散性，得到的发散性。
证毕
由定理5可以看出，一切正项级数均可以用比较判别法判定，但问题是要找到一个合适的比较对象却很难，但是基于比较判别法，我们可以得到很多判别法，尽管这些判别法都有一定的局限性，但它们给我们判别正项级数的敛散性带来了极大的方便，如果我们把比较对象取为级数，则可得到下面的对数判别法：
定理6（对数判别法）若有，使得当时，则级数收敛；若时，则级数发散。
证明：
若，则或，由于级数收敛，故级数也收敛
若，则或。
由于级数发散，故级数也发散.
证毕
如果我们把比较对象取为几何级数，则可得到下面的判别法：
定理7设是正项级数，，则
当r<1，级数收敛；
当r>1，级数发散
当r=1，判别法失效，级数既可能收敛，也可能发散。
证明：
当r<1时，取q满足rN，成立
，
从而
，
由定理4可知收敛
当r>1，由于r是数列的极限点，可知存在无穷多个n满足>1，这说明不是无穷小量，从而发散。
对于r=1，级数与的敛散性说明判别法失效
证毕
引理设是正项数列，则
证明：
设
则对任意给定的，存在N，对一切n>N，成立
于是
从而
由的任意性，就得到
同理可证
证毕
通过上面的引理，我们可得到如下定理：
定理8（判别法）设是正项级数，则
当<1，级数收敛
当，级数发散
当或时，判别法失效，级数可能收敛，可能发散
对于某些级数，成立，这时定理6与定理7都失效，下面给出针对这类情况的判别法：
定理9（Raabe判别法）设是正项级数，，则
当r>1，级数收敛
当r<1，级数发散
证明设s>t>1，,由的连续可微性与，,可知存在，对一切成立
当r>1时，取s,t满足r>s>t>1。
由>s>t与不等式，可知当n充分大时，
这说明正项数列从某一项开始单调减少，因而其必有上界，设
于是
由于，因而收敛，根据比较判别法就得到的收敛。
当<1，则对于充分大的n，
这说明正项数列从某一项开始单调增加，因而存在N,,使对一切n>N成立，于是
由于发散，根据比较判别法就得到发散.
证毕
无穷级数与反常积分结合，便有下面的积分判别法：
定理10（积分判别法）设定义于且在任意有限区间上可积，取一单调增加趋于的数列：
，令
则反常积分与正项级数同时收敛或同时发散于，且==
特别，当单调减少时，取，则反常积分与正项级数同时收敛或同时发散。
证明：
设正项级数的部分和数列为则对任意存在整数成立于是
当有界时即收敛时，则有收敛，且根据极限的夹逼性，它们收敛于相同的极限；当无界时。
即发散于时，则同样有。
由此得到下列关系
==
特别，当单调减少时取，则当，
由比较判别法可知与同时收敛或同时发散，从而与同时收敛或同时发散。
证毕
由积分判别法可得下面的马尔可夫判别法：
定理11（马尔可夫判别法）设为单调减少的正值函数，又设
若，则函数收敛；若，则级数发散。
证明：
由于，故对任意的，总存在，使得当时，有
当时，取使得，则有，于是，当时有
即，也即
由于充分大且，故，又因，故，从而
固定，让，取极限即得
常数
于是，由积分判别法知级数收敛，
当时，则取为充分大，可得，
从而，即
或故
今设并分别取，则
最后得
，
即为发散的，并由积分判别法知级数发散。
证毕
三一般项级数的判别法
上面浅谈了正项级数的收敛判别法，接下来讨论一般项级数的收敛判别法，对于一般项级数，判断敛散性最本质的方法是Cauchy收敛原理:
定理12（Cauchy收敛原理）级数收敛的充分必要条件是：
对任意给定的，存在，使得
对一切成立。
定义3如果级数且单调减少收敛于0，则称此级数为级数
由Cauchy收敛原理，可以得到：
定理13级数必定收敛
证明：
=
当是奇数时
所以
当是偶数时
因而成立
=
由，于是对于一切正整数，成立
由定理10，级数必定收敛。
证毕
关于一般项级数的判别法还有判别法和判别法：
定理14若下面两个条件之一满足，则级数收敛：
（1）（判别法）单调有界，收敛；
（2）（判别法）单调趋于0，有界。
证明：
（1）若判别法条件满足，设，由于收敛，和，成立，对应用引理，即得
||
（2）若判别法条件满足，由于，因此：
设。
令则
应用引理，同样可得
||
对于一切与一切正整数成立
根据定理10，可知收敛。
证毕
四例题
例1讨论无穷乘积的敛散性（）。
解：
根据定理2的推论1，无穷乘积的敛散性与无穷级数的敛散性是等价的，于是我们只需说明无穷级数的敛散性即可，
由于
由判别法知
当即时，级数收敛
所以无穷乘积收敛，
讨论无穷乘积的敛散性。
解：
根据定理2推论1，无穷乘积的敛散性与无穷级数的敛散性等价，
考虑级数，由于
并且
所以
又当时，，所以，由于级数发散，所以级数发散，从而级数发散，所以无穷乘积发散。
例3讨论的敛散性。
解：
由无穷乘积收敛的必要条件，可知当时，是发散的，
当时，收敛，而在时发散，在时收敛，于是由推论2，得到
当时，收敛，当时，发散。
参考文献
陈纪修，於崇华，金路。
数学分析（下册）。
北京：
高等教育出版社，2000。
吉米多维奇，数学分析习题集。
山东科学技术出版社，2005
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