条据书信 放缩法证明不等式题库.docx
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放缩法证明不等式题库
用放缩法证明不等式
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一.“添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜。
证明：
由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜1（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b）2，即3（a＋b）2＜a＋b，所以
a＋b＜4，故有1＜a＋b＜4。
例2.已知a、b、c不全为零，求证：
aabbb2bcc2c2aca2＞3（abc）
2
b2＞（ab）a≥a，同理证明：
因为aabb（ab）22
2
2
bcc2＞bc，caca2＞ca。
2
所以aabbbbccc2aca＞3（abc）
2
二.分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
＋b＋c＜2。
例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：
1＜a
ac
ab
bac证明：
由于a、b、c为正数，所以a＞，b＞，c＞，所以
1/4
aa＋b＋c＞abc＋＋＝1，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则为真分数，则a＜
bc2a
，同理b＜2b，c＜2c，
abcacabcababc
2b2c＋b＋c＜2a＋＋2.故a综合得1＜a＋b＋c＜2。
ac
ab
三.裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4.已知n∈Nx，求1
121…
1n
＜2n。
1n
1
12
13
…
＜12
（1）2（32）…2（nn1）2n1＜2n，证毕。
n（n1）（n1）2
例5.已知nN且an223n（n1），求证：
对所有正整数nan
22
x
都成立。
证明：
因为n（n1）n2n，所以an12n又n（n1）
n（n1）
，2
n（n1）
，2
n（n1）3512232n1（n1）2
所以an，综合知结论成立。
2222222
四.公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
n2x1
例6.已知函数f（x）x，证明：
对于nNx且n3都有f（n）。
n121
2/4
证明：
由题意知
n2n1n21122n（2n1）x
nN又因为且f（n）n（1n）
（1）nn
n121n1n1n121（n1）（21），21n3，所以只须证2n2n1，又因为
2（11）
n
n0
Cn
1Cn
2Cn
n1
Cn
nCn
nn（n1）
f（n）所以。
1nn12n1
n12
例7.已知f（x）x2，求证：
当ab时f（a）f（b）ab。
证明：
f（a）f（b）a2b2
ababab
（ab）ab
ab
a2b2a2
b2
ababa2
b2
ab证毕。
五.换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
例8.已知abc，求证
111
0。
abbcca
证明：
因为abc，所以可设act，bcu（tu0），所以tu0则
11111111tu111
0，即0。
abbccatuututtuabbcca
例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2b2c2，当nNx且n3时，求证：
anbncn。
证明：
由于a2b2c2，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为0sina1，0cosa1，则当n3时，sinnasin2a，cosnacos2a，
所以anbncn（sinnacosna）cn（sin2acos2a）cn。
六.单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。
例10.已知a，b∈R，求证
ab1ab
a1a
b1b
。
证明：
构造函数f（x）
x
（x0），首先判断其单调性，设0x1x2，因为1x
3/4
f（x1）f（x2）
x1x2x1x2
0，所以fx1fx2，所以f（x）在[0,]上是增函数，取1x11x2（1x1）（1x2）
x1ab，x2ab，显然满足0x1x2，
所以f（ab）f（|a||b|），即
|ab||a||b||a||b||a||b|
。
证毕。
1|ab|1|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a|1|b|
4/4篇二:
《放缩法证明不等式例题》
放缩法证明不等式
一、放缩法原理
为了证明不等式AB，我们可以找一个或多个中间变量C作比较，即若能判定
AC,CB同时成立，那么AB显然正确。
所谓“放”即把A放大到C,再把C放大到
B；反之，由B缩小经过C而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧
１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩2、糖水不等式放缩：
bbm（m0,ab）.aam
3、添（减）项放缩
4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小：
1112n1
2nn（n1）
n（n1）nn（n1）2
1111
22
（2n3）（2n1）（2n1）（2n1）（2n1）（2n1）11
（2n1）22n（2n2）
三、例题讲解
例1：
设a、b、c是三角形的边长，求证
39
例2：
设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥
22
abc
≥3
bcacababc
例3：
已知an21（nN）.求证：
4x14x
nx
an1a1a2
...n（nNx）.23a2a3an1
例４：
函数f（x）=
，求证：
f
（1）+f
（2）+„+f（n）>;n+
12n1
1
（nNx）.2
例5：
已知an=n，求证：
∑
n
k=1ak
k
＜3．
例6：
已知数列an，，a1
3nan13
，an
（1）求数列an的通（n2,nNx）．
2an1n12
项公式；
（2）对一切正整数n，不等式a1a2a3an值。
例7：
已知数列an，a11,ann1
2
n!
恒成立，试求正整数的最小
111，（n2,nNx）2232（n1）2
an1n2111
（nNx）
（1）
（1）
（1）4（nN）求证：
（1）．
（2）2
an1（n1）a1a2an
例8：
（1）已知an5n
41对任何正整数m，n都成立.
（2）证明：
对于任意正整数R，有（1
1n1n1
）
（1）.nn1
例9：
在xoy平面上有一系列点P对每个自然数n，1（x1,y1）,P2（x2,y2）,,Pn（xn,yn）,，点Pn位于函数yx（x0）的图象上.以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙
2
Pn1又彼此外切，若x11，且xn1xn（nNx）.
（1）求证：
数列
1
是等差数列；xn
S1S2Sn，求证：
Tn
（2）设⊙Pn的面积为Sn，Tn
例10：
已知数列an、bn、xn
3.2
满a1b12,an1bn14bn,bn1anbn,xn
an
（nN）.bn
（1）填空当n≥2时，xn1（填“＞、；＝、＜”不必说明理由）
（2）试用xn表示xn1（nNx）；
（3）求证：
xn1与x
n
.并说明xn1与x
n中哪一个更接近于
（4
）求证：
x
k1
n
k
1.
针对性练习
1、求证：
11117122232n24
n（n1）（n1）2
an2、设an22334n（n1）求证：
22
3、已知函数f（x）
（1）设anxn
x2
数列{xn}满足xn1f（xn）（n1,2,），且x11.,x（0,），
x1
2，证明：
an1an；
（2）设
（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn
2.2篇三:
《高考数学练习用放缩法证明不等式的方法与技巧1》
用放缩法证明不等式的方法与技巧
放缩法：
为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
一．常用公式
1．111212．2k（k1）kk（k1）kk1k2kk1
k2k3．2k（k4）4．123k2（k2）
5．1111（待学）6．abab（待学）k！
2（！
k！
k1）
二．放缩技巧
所谓放缩的技巧：
即欲证AB，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使ACB，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”.
常用的放缩技巧
（1）若t0,ata,ata
1
1n11111112（n1）（3）nn1n（n1）nn（n1）n1n
（4
）aaaam,（5）若a,b,mR，则bbmbb
111111（6）112n12!
3!
n!
222
1111111111）（因为2（7）12221
（1）（）（）23n223n1nn（n1）n
1111111n1（7）n1n2n32nn1n1n1n1
1111111n1或n1n2n32n2n2n2n2n2
（8
）1
（2）
三．常见题型
（一）．先求和再放缩:
1．设Sn
1111，求证：
Sn12612n（n1）
2．设bn13（nN），数列{bnbn2}的前n项和为Tn，求证：
Tnn4
（二）．先放缩再求和:
3．证明不等式：
11112112123123n
1112232n2
nSn2；
（1）求证：
当n2时，n1
6n5Sn？
说明理由.
（2）试探究：
当n2时，是否有（n1）（2n1）34．设Sn1
1352n1，求证：
2462n
（2
）b1b2b3bn1（1
）bn5．设bn{放缩法证明不等式题库}.
6．设ann，bn
（2）2anan1
求证（1
）2anan1n（nNx）n1
（2）b1b2b3bn
7．设bn（n1）2，ann（n1），求证:
1115…a1b1a2b2anbn12
8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个
蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n个图的蜂巢总数.
（1）试给出f（4）,f（5）的值，并求f（n）的表达式（不要求证明）；
（2）证明：
9．（10广州）设Sn为数列an的前n项和，对任意的nN，都有Snm1man（m
x11114.f
（1）f
（2）f（3）f（n）3
为常数，且m0）．
（1）求证：
数列an是等比数列；
（2）设数列an的公比qfm，数列bn满足b12a1,bnfbn1（n2，
nNx），求数列bn的通项公式；
2（3）在满足
（2）的条件下，求证：
数列bn的前n项和Tn89．18
10．（010深圳）在单调递增数列{an}中，a11，a22，且a2n1,a2n,a2n1成等差数列，a2n,a2n1,a2n2成等比数列，n1,2,3,．
（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
14n（3）设数列{的前n项和为Sn，证明：
Sn，nNx．n2an
2．证：
bn1n
bnbb21111（）n（n2）2nn2
Tnb1b3b2b4b3b5bnbn211111111111[（）（）（）（）（）]213243546nn2
11113
（1）.22n1n24
3．证明：
1111112123123n
1111＜12n12n1＜22222
4．解：
（1）∵当n2时，11112n（n1）nn1n
∴111111111121[
（1）（）（）]2＝22223n223n1n1n1又∵1111n2n（n1）nn1
1
211n）1n1n1n111123n
nSn2.∴当n2时，n1
（2）∵∴Sn
（1）（）（144112（）n24n2（2n1）（2n1）2n12n1
∴111111111112[（）（）（）]2232n235572n12n1
525＝32n13
当n2时,要Sn6nn6n只需（n1）（2n1）n1（n1）（2n1）
即需2n16，显然这在n3时成立
而S2115546n624,当n2时显然4445（n1）（2n1）（21）（41）5
即当n2时Sn6n也成立（n1）（2n1）
6n5Sn.（n1）（2n1）3
综上所述：
当n2时，有篇四:
《利用放缩法证明数列型不等式压轴题》
利用放缩法证明数列型不等式压轴题
纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。
处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用
1、裂项放缩法：
放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法
主要有两种类型：
（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
2n41n12
例1设数列an的前n项的和Snan2，n1,2,3,。
设Tn，n1,2,3,，证明：
Sn333
Ti
i1
n
3
。
2
32n3112n1n
（），证明：
易得Sn（21）（21）,Tnn1nnn1
2（21）（21）2212133n113111111
T（）（）iii11223nn1
221212212121212121i1i1
=
n
3113（1n1）221212
2n11
点评：
此题的关键是将n1裂项成，然后再求和，即可达到目标。
nnn1
（21）（21）2121
（2）先放缩通项，然后将其裂成n（n3）项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例2已知数列{an}和{bn}满足a12,an1an（an11），bnan1，数列{bn}的前n和为Sn，
TnS2nSn；（I）求证：
Tn1Tn；（II）求证：
当n2时，S2n
7n11
。
12
111111
证明：
（I）Tn1Tn（）
n2n32n2n1n22n
11110∴Tn1Tn．
2n12n2n1（2n1）（2n2）
（II）n2,S2nS2nS2n1S2n1S2n2S2S1S1T2n1T2n2T2T1S1
17,S11,T2，212717n11
S2nT2n1T2n2T2T1S1（n1）T2T1S1（n1）1
12212
7n11
即当n2时，S2n。
12
由（I）可知Tn递增，从而T2n1T2n2T2，又T1
点评：
此题（II）充分利用（I）的结论，Tn递增，将S2n裂成S2nS2n1S2n1S2n2S2S1S1的和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：
放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。
用于解决积式
问题。
例3已知数列an的首项为a13,点an,an1在直线3xy0（nN）上。
x
x
若cnlog3an2（nN）,证明对任意的nN
，不等式（1
111
）（1+）（1+）c1c2cn
133n133n13n3n13n1
）证明：
cn3n2，（1+）（
cn3n23n23n13n3n2
3
x
所以[（1
111473n1
）（1+）（1+）]33n1
c1c2cn143n2
即（1
111
）（1+）（1+）c1c2cn
点评：
此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。
（1+
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