第二十三讲 动量守恒定律.docx

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第二十三讲动量守恒定律

第二十三讲动量守恒定律

一、动量守恒定律的理解

例1：

★★（多选）木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上．在b上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示．当撤去外力后，下列说法正确的是（）

A．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统动量守恒

B．a尚未离开墙壁前，a和b组成的系统动量不守恒

C．a离开墙壁后，a和b组成的系统动量守恒

D．a离开墙壁后，a和b组成的系统动量不守恒

答案BC

解析a尚未离开墙壁前，墙壁对a有冲量，a和b构成的系统动量不守恒；a离开墙壁后，系统所受外力之和等于零，系统的动量守恒．

例2：

【典型】【2017海南1】★光滑水平桌面上有P、Q两个物块，Q的质量是P的n倍。

将一轻弹簧置于P、Q之间，用外力缓慢压P、Q。

撤去外力后，P、Q开始运动，P和Q的动量大小的比值为（）

A．

B．

C．

D．1

答案;A

分析：

对PQ系统写动量守恒定律。

动量比为1。

考点：

动量守恒定律

点评：

此题容易错选，题目最后问的是动量大小之比，而不是速率之比。

与2017年I卷相

似的题。

例3：

如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg、mC＝2kg。

开始时C静止，A、B一起以v0＝5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。

求A与C碰撞后瞬间A的速度大小。

解析：

因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的速度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得

mAv0＝mAvA＋mCvC①

A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得

mAvA＋mBv0＝（mA＋mB）vAB②

A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB＝vC③

联立①②③式，代入数据得

vA＝2m/s。

④

答案：

2m/s

2、碰撞模型

例4：

【典型】【2014大纲】★★冰球运动员甲的质量为80.0kg。

当他以5.0m/s的速度向前运动时,与另一质量为100kg、速度为3.0m/s的迎面而来的运动员乙相撞。

碰后甲恰好静止。

假设碰撞时间极短,求:

（1）碰后乙的速度的大小;

（2）碰撞中总机械能的损失。

分析：

1.根据动量守恒定理求出碰撞后乙运动员的速度（注意碰前两运动员的动量方向）

2.根据碰前动能减去碰后动能求出机械能的损失。

【解题指南】解答本题应把握以下三点:

（1）由于碰撞时间极短,内力远大于外力,动量守恒。

（2）两运动员碰撞前后的动量关系如何用代数式表示。

（3）分清碰撞前后的机械能。

【解析】

（1）设运动员甲、乙的质量分别为m、M,碰撞前的速度大小分别为v、V,碰撞后乙的速度大小为V′,取运动员甲速度方向为正方向,由动量守恒定律得

①

代入数据得

②

（2）设碰撞过程中总机械能的损失为ΔE,应有

③

联立②③式,代入数据得ΔE=1400J

答案:

（1）1.0m/s　

（2）1400J

考点：

动量守恒定律、能量守恒

点评：

此题考察的是非弹性碰撞问题的基本分析，难度低。

例5：

【典型】【2015新课标II】★★★两滑块a、b沿水平面上同一条直线运动,并发生碰撞;碰撞后两者粘在一起运动;经过一段时间后,从光滑路段进入粗糙路段。

两者的位置x随时间t变化的图像如图所示。

求：

（1）滑块a、b的质量之比。

（2）整个运动过程中,两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。

分析：

1.根据x-t图象可以求出碰前a和b的速度，碰后ab共同的速度。

2.以a,b系统写动量守恒定理求出二者质量之比。

3.损失的机械能等于碰撞前的动能--碰撞后的动能；克服摩擦力做的功就等于碰后ab的总动能。

【解析】

（1）碰撞前

va=

m/s=-2m/s

vb=

m/s=1m/s

碰撞后

v=

m/s=

m/s

由动量守恒定律mava+mbvb=（ma+mb）v得

ma∶mb=1∶8

（2）两滑块克服摩擦力做的功等于两滑块a、b碰后的动能

W=

（ma+mb）v2=

×9ma×

=2ma

两滑块因碰撞而损失的机械能

ΔW=

ma

+

mb

-

（ma+mb）v2=

ma（-2）2+

×8ma×12-

×9ma×

=4ma

两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比

W∶ΔW=1∶2

答案：

（1）1∶8　

（2）1∶2

考点：

x-t图像求速度、动量守恒定律、能量守恒、动能定理

点评：

本题考察的完全非弹性碰撞模型，与x-t图像结合起来求速度，并且碰后受摩擦力作用滑行一段距离，损失动能。

第二问要看清楚损失能量的过程。

考察的都是基础知识，很一道很好的例题。

三、碰撞问题的综合应用

例6：

【典型】【2013新课标II】★★★如图,光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C。

B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）。

设A以速度v0朝B运动,压缩弹簧;当A、B速度相等时,B与C恰好相碰并粘接在一起,然后继续运动。

假设B和C碰撞过程时间极短。

求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中,

（ⅰ）整个系统损失的机械能;

（ⅱ）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。

分析：

1.过程1：

A与弹簧压缩，推动B运动。

2.A与B速度相等时，对A.B系统，由动量守恒定律求出AB的共同速度。

3.过程2：

B与C恰好相碰并粘接在一起，对BC系统，由动量守恒定律求出碰后BC系统的共同速度（与A无关）

4.过程3：

由于此时A的速度大于BC系统的速度，弹簧继续被压缩，直到ABC共速。

对A,BC系统，由动量守恒定律求出共速。

5.系统损失的机械能发生在BC完全非弹性碰撞时。

（碰前B的动能前去碰后BC的总动能）

6.根据系统能量守恒（A的动能=ABC的共同动能+损失的机械能+弹簧的弹性势能）

【解题指南】解答本题应注意以下两点:

（1）A、B为弹性碰撞,不损失机械能,B、C为非弹性碰撞,机械能有损失;

（2）两者有共同速度时,弹簧被压缩到最短。

【解析】（ⅰ）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时,对A、B与弹簧组成的系统,动量守恒,有

mv0=2mv1　①

此时B与C发生完全非弹性碰撞,设碰撞后的瞬时速度为v2,损失的机械能为ΔE,对B、C组成的系统,由动量守恒和能量守恒得

mv1=2mv2　②

③

联立①②③式,得ΔE=

④

（ⅱ）由②式可知,v2

mv0=3mv3　⑤

⑥

联立④⑤⑥式得

【答案】（ⅰ）

（ⅱ）

考点：

多体碰撞的分析、完全非弹性碰撞、含有弹性的碰撞

点评：

此题属于典型的动量与能量的结合问题，且含有弹簧。

对于多体碰撞问题，一要分清楚物体运动的过程，而要清楚能量的分析。

例7：

【2016新课标II10】★★★★如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。

某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m（h小于斜面体的高度）。

已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg，冰块的质量为m2=10kg，小孩与滑板始终无相对运动。

取重力加速度的大小g=10m/s2。

（i）求斜面体的质量；

（ii）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？

【答案】（i）

（1）

（ii）

（2）不能

分析：

1.过程一：

小孩推冰块，系统动量守恒，对小孩（滑板）和冰块写动量守恒可以求出小孩的速度；【基础】

2.过程二：

冰块上滑斜面，系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒。

对冰块和斜面写动量守恒和能量守恒，求出斜面的质量【难点】

3.过程三：

冰块从斜面下滑，对于斜面和冰块，动量守恒和系统机械能守恒。

计算时，考虑开始滑上斜面到从斜面滑下，写动量守恒定律和能量守恒定律，求出冰块滑下来的速度，然后与小孩的速度比较即可。

【难点】

【解析】

试题分析：

①设斜面质量为M，冰块和斜面的系统，水平方向动量守恒：

系统机械能守恒：

解得：

考点：

动量守恒定律、机械能守恒定律.

点评：

此题属于碰撞中滑上斜面的模型（有重力势能），而且还有滑下斜面的过程，这就造成最后计算滑下来时冰块速度时过程的选取问题。

此题难度较大，第一问和第二问都是根据动量守恒和能量守恒列式求解。

运算量大。

有很好的区分度。

课时训练

1.★★（2016上海）.如图，粗糙水平面上，两物体A、B以轻绳相连，在恒力F作用下做匀速运动。

某时刻轻绳断开，A在F牵引下继续前进，B最后静止。

则在B静止前，A和B组成的系统动量_________（选填：

“守恒”或“不守恒“）。

在B静止后，A和B组成的系统动量。

（选填：

“守恒”或“不守恒“）

【答案】守恒；不守恒

【解析】：

1，绳子的拉力为内力，绳断后物体系统动量守恒；2.B静止后，A受力不平衡。

【考点】：

根据受力分析判断物体的动量是否守恒

（2016·甘肃兰州质检）质量为m的钢球自高处落下,以速度v1碰地,竖直向上弹回,碰撞时间极短,离地的速率为v2.在碰撞过程中,地面对钢球的冲量的方向和大小为（　D　）

A.向下,m（v1-v2）B.向下,m（v1+v2）

C.向上,m（v1-v2）D.向上,m（v1+v2）

解析:

设向上方向为正,忽略重力,根据动量定理Ft=mv2-（-mv1）=m（v1+v2）,地面对钢球的冲量方向向上.选项D正确.

2.【典型】【2017新课标III20】★★（多选）一质量为2kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。

F随时间t变化的图线如图所示，则（）

A．t=1s时物块的速率为1m/s

B．t=2s时物块的动量大小为4kg·m/s

C．t=3s时物块的动量大小为5kg·m/s

D．t=4s时物块的速度为零

答案：

AB

分析：

1.物体在变力F作用下运动，先画出对应的v-t图像（物体先匀加，后匀减）【难点】

2.牛顿第二定律求出加速度（a1=1;a2=0.5），求出2s末的速度为2m/s，第4s的速度1m/s。

3.计算2s末和3s末的动量

考点：

牛顿第二定律、匀变速公式、v-t图像（变力F-t转化）、动量

点评：

此题主要是通过给出F-t图像，然后转化为v-t图像，此问题既可以计算功和功率，也可以计算动量，冲量（没有考冲量），考察的都是基础知识。

3.【2017新课标I14】★将质量为1.00kg的模型火箭点火升空，50g燃烧的燃气以大小为600m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。

在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略）（）

A．30

B．5.7×102

C．6.0×102

D．6.3×102

分析：

根据动量守恒定律列式（要的是火箭的动量）

【答案】A

考点：

动量动量守恒中的反冲

点评：

一般此题的考法是求火箭的速度，但是此题只要求计算动量。

题目要看清楚！

2017

选修3-5作为过渡，出的很简单！

4.【典型】【2017新课标II15】★★一静止的铀核放出一个粒子衰变成钍核，衰变方程为

。

下列说法正确的是（）

A．衰变后钍核的动能等于粒子的动能

B．衰变后钍核的动量大小等于粒子的动量大小

C．铀核的半衰期等于其放出一个粒子所经历的时间

D．衰变后粒子与钍核的质量之和等于衰变前铀核的质量

答案：

B

分析：

1.根据动量守恒定理，衰变后两个粒子的动量大小相等（与I卷海南卷相同的题）

2.由于衰变后的两粒子质量不同，因此，动能不相等

3.半衰期不适合单个粒子

4.衰变后质量发生亏损

考点：

动量守恒定律、动能与动量关系、半衰期、能量守恒

点评：

此题的考察内容较多，在衰变方程中考察动量守恒，这与2014，2015年海南卷的考点相似，但是考察定位只是基本概念，做定性分析，3-5的过渡考法。

5.★★（恰好不相碰）（2015·天津）如图所示,在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板,A球在水平面上静止放置,B球向左运动与A球发生正碰,B球碰撞前、后的速率之比为3∶1,A球垂直撞向挡板,碰后原速率返回。

两球刚好不发生第二次碰撞,A、B两球的质量之比为　　　,A、B碰撞前、后两球总动能之比为　　　。

6.★★【题24】（2016天津9

（1））如图所示，方盒A静止在光滑的水平面上，盒内有一个小滑块B，盒的质量是滑块质量的2倍，滑块与盒内水平面间的动摩擦因数为μ；若滑块以速度v开始向左运动，与盒的左右壁发生无机械能损失的碰撞，滑块在盒中来回运动多次，最终相对盒静止，则此时盒的速度大小为；滑块相对盒运动的路程。

【答案】

【解析】：

设滑块质量为m，则盒子的质量为2m；对整个过程，由动量守恒定律可得：

mv=3mv共

解得v共=

由能量关系可知：

解得：

7.★★★（2014·北京）如图所示,竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切,小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。

现将A无初速释放,A与B碰撞后结合为一个整体,并沿桌面滑动。

已知圆弧轨道光滑,半径R=0.2m;A和B的质量相等;A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ=0.2。

取重力加速度g=10m/s2。

求:

（1）碰撞前瞬间A的速率v;

（2）碰撞后瞬间A和B整体的速率v′;

（3）A和B整体在桌面上滑动的距离l。

【解题指南】解答本题可按以下思路进行:

（1）圆弧轨道光滑,碰撞前机械能守恒;

（2）碰撞过程中动量守恒;

（3）在桌面上滑动过程中克服摩擦所做的功等于动能的减小量。

【解析】

（1）从圆弧最高点到最低点机械能守恒,有:

mAv2=mAgR

可得v=2m/s

（2）在底部和B相撞,满足动量守恒,有:

（mA+mB）v′=mAv

可得v′=1m/s

（3）根据动能定理,AB一起滑动过程有:

-μ（mA+mB）gl=0-

（mA+mB）v′2

可得l=0.25m

答案:

（1）2m/s　

（2）1m/s　（3）0.25m

8.【典型】【2013新课标I】★★★在粗糙的水平桌面上有两个静止的木块A和B,两者相距为d。

现给A一初速度,使A与B发生弹性正碰,碰撞时间极短。

当两木块都停止运动后,相距仍然为d。

已知两木块与桌面之间的动摩擦因数均为μ,B的质量为A的2倍,重力加速度大小为g。

求A的初速度的大小。

分析：

1.注意，水平面有摩擦力。

2.A先匀减速，根据动能定理（匀变速公式）写出碰前速度和初速度的关系（不要把碰前速度用vo表示）。

（设碰前速度为v，初速度为v0）

3.A与B发生弹性正碰，A的质量小于B的质量，碰后A反向。

根据弹性正碰的模型求出碰后A和B的速度（用v表示）

4.碰后A和B分别向相反的方向做匀减速运动，根据动能定理分别求出二者的位移，之和为d.

【解题指南】解答本题时应注意以下两点:

（1）根据A与B发生弹性正碰动量和动能守恒,求出碰撞后A、B的速度;

（2）分别对A、B碰撞前后由动能定理列方程以及A、B之间的距离关系。

【解析】设在发生碰撞前的瞬间,木块A的速度大小为v;在碰撞后的瞬间,A和B的速度分别为v1和v2。

在碰撞过程中,由能量和动量守恒定律,得

mv2=

m

+

（2m）

　①

mv=mv1+（2m）v2　②

式中,以碰撞前木块A的速度方向为正方向。

由①②式得

v1=-

　③

设碰撞后A和B运动的距离分别为d1和d2,由动能定理得

μmgd1=

m

　④

μ（2m）gd2=

（2m）

　⑤

按题意有d=d1+d2　⑥

设A的初速度大小为v0,由动能定理得

μmgd=

m

-

mv2　⑦

联立②至⑦式,得

v0=

【答案】

9.【典型】【2015新课标I】★★★★如图,在足够长的光滑水平面上,物体A、B、C位于同一直线上,A位于B、C之间。

A的质量为m,B、C的质量都为M,三者均处于静止状态。

现使A以某一速度向右运动,求m和M之间应满足什么条件,才能使A只与B、C各发生一次碰撞。

设物体间的碰撞都是弹性的。

分析：

1.A以初速度与C发生弹性碰撞，要使得A与B相碰，得让A的质量小于C的质量（A碰后速度反向才能实现）。

根据弹性碰撞的模型求出碰后A和C的速度大小【难点】

2.A与B发生弹性碰撞，碰撞后B肯定向左运动，A向右运动，要使A与C只能发生一次碰撞，那么A速度应该小于等于C的速度。

根据A,B发生弹性碰撞求出A的速度。

【难点】

3.根据A的速度小于C的速度，求解m与M的关系。

（一元二次方程）

【解析】A向右运动与C发生第一次碰撞,碰撞过程中,系统的动量守恒、机械能守恒。

设速度方向向右为正,开始时A的速度为v0,第一次碰撞后C的速度为vC1,A的速度为vA1。

由动量守恒和机械能守恒定律得

mv0=mvA1+MvC1　①

　②

联立①②式得vA1=

v0　③

vC1=

v0　④

如果m>M,第一次碰撞后,A与C速度同向,且A的速度小于C的速度,不可能与B发生碰撞;如果m=M,第一次碰撞后,A停止,C以A碰前的速度向右运动,A不可能与B发生碰撞;所以只需考虑m

第一次碰撞后,A反向运动与B发生碰撞。

设与B发生碰撞后,A的速度为vA2,B的速度为vB1,同样有

vA2=

vA1=

v0　⑤

根据题意,要求A只与B、C各发生一次碰撞,应有

vA2≤vC1　⑥

联立④⑤⑥式得

m2+4mM-M2≥0　⑦

解得m≥（

-2）M　⑧

另一解m≤-（

+2）M舍去。

所以,m和M应满足的条件为

（

-2）M≤m

答案：

（

-2）M≤m

考点：

弹性碰撞的模型、临界问题分析

点评：

此题涉及到三个物体间的碰撞，要认真分析题目的条件。

此题的的计算量有些大，有两次弹性碰撞的计算，（要记下弹性模型中二者碰后的速度大小），注意最后隐含的条件，A的速度小于C的速度。

【2018王后雄押题卷】

考点：

弹簧模型解弹性碰撞的方程注意碰撞后a要反向

两次弹性碰撞列两组方程解方程