高三数学 21数学归纳法及其应用举例第三课时大纲人教版选修.docx

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高三数学21数学归纳法及其应用举例第三课时大纲人教版选修

2019-2020年高三数学2.1数学归纳法及其应用举例（第三课时）大纲人教版选修

课　　题

§2.1.3　数学归纳法（三）

教学目标

一、教学知识点

1.牢固掌握数学归纳法的证明步骤,熟练表达数学归纳法的证明过程.

2.对数学归纳法的认识不断深化.

二、能力训练要求

1.会用数学归纳法证明与自然数有关的整除性问题或解析几何问题.

2.帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律,再用数学归纳法证明规律的科学思维方法.

三、德育渗透目标

1.通过递推公式的探索,引导学生学习观察、类比、猜测等合情推理方法,提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力.

2.通过教证明、教猜想,让学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.

3.培养学生交流意识,合作精神.培养学生动手操作能力.培养学生叙述表达自己解题思路的能力.

教学重点

数学归纳法的应用是教学的重点,本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题,证明与自然数n有关的几何问题,在解析几何中主要是探索递推关系,教会学生思维,离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中,尤其是解题教学中,必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点,即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露,知识形成过程的揭示为教学重点.

教学难点

用数学归纳法证明整除问题,P（k）P（k+1）的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P（k）做何种变形.一般地,将n=k+1时P（k+1）的整式进行分拆配凑成P（k）的形式,再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.

用数学归纳法证明几何中的问题时,难点就是在P（k）P（k+1）递推时,找出n=k到n=k+1时的递推公式,这是关键所在.要分析增加一条曲线或直线后,点、线段、曲线段、平面块在P（k）基础上净增多少,于是就找出了相应的递推关系.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.教师是教学的主导,学生是学习的主体,如何根据教材内容创设良好的教学情况,引导学生积极主动地参与课堂教学的全过程,使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中获取新知,主动建构新知识,这是教学目的.在教学过程中,采用启发式、谈话式的教学方法,引导学生进行合情推理可以使学生不知不觉地参与教学的全过程.学生自觉、主动地要求获取知识与教师向学生灌输知识的效果是截然不同的,启发引导学生“想”与“说”是符合“重视知识的产生、发展与深化过程”的现代教学原则的,是突破教学难点的有效方法.

教具准备

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］前两节课我们已经学习了数学归纳法及其运用.请问：

用数学归纳法进行证明时要分哪几个步骤？

［生］分为两步.第一步,验证当n=n0〔n0是命题P（n）成立的最小正整数〕时,命题成立;第二步假设当n=k（k≥n0）时命题成立,即P（k）成立,根据这个假设要推出当n=k+1时,命题也成立.最后再给一个总结.

［师］这两步之间的关系是什么？

［生］这两步缺一不可.证明了第一步,就获得了递推的基础.但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中,考察使结论成立的最小正整数就足够了.没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立.证明了第二步,就获得了递推的根据.但仅有这一步而没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起,才能得出普遍性结论.因此,完成一、二两步后还要作一个总的结论.

［师］只有这样,才能保证递推关系的存在性,才真正是数学归纳法证题.今天我们一起继续研究解决一些与自然数有关的命题P（n）.

Ⅱ.讲授新课

［师］小学我们学过,如果a、b均为整数,有a=bc,c也是整数,请问a、b是何种关系？

［生］a=bc说明a能被b整除.

［师］能否把它推广到两个多项式上来呢？

即对于两个多项式A、B而言,什么叫做A能被B整除？

［生］对于两个多项式A、B,如果A=BC,C也是多项式,那么A能被B整除.

［师］如果多项式A能被多项式C整除,那么PA能被C整除吗？

若A、B都能被C整除,A+B,A-B也能被C整除吗？

（其中P、B都是多项式）

［生］可以.也就是如果A能被C整除,那么PA也能被C整除；如果A、B都能被C整除,那么A±B也都能被C整除.

［师］请看例1：

用数学归纳法证明x2n-y2n能被x+y整除（板书）.请问第一步怎么证明呢？

［生］当n=1时,x2n-y2n=x2-y2=（x-y）（x+y）,

所以（x-y）（x+y）能被x+y整除.故n=1时命题成立.

［师］n=k+1时,我们要证的目标是什么呢?

［生］x2（k+1）-y2（k+1）能被x+y整除.

［师］归纳假设是什么？

n=k+1时,怎样才能凑成归纳假设呢？

［生］归纳假设是：

假设n=k时x2k-y2k能被x+y整除,利用添项去项将x2k+2-y2k+2配成x2k-y2k的形式,再用归纳假设.事实上因为x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k=x2（x2k-y2k）+x2·y2k-y2·y2k=x2（x2k-y2k）+y2k（x2-y2）,

又因为x2k-y2k能被x+y整除,而x2-y2也能被x+y整除,

故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即n=k+1时也成立.（板书上述内容）

［师］这里的配凑的意思就是凑成归纳假设x2k-y2k才行.

若本题变为自然数n满足什么条件,xn+yn才能被x+y整除？

［生甲］任意自然数都可以.

［生乙］不对,如n=2时,x2+y2就不能被x+y整除.

［师］你认为应满足什么条件呢？

［生］我试验了一下,n=1,3,5时都可.我的结论是：

n为奇数时,xn+yn能被x+y整除.

［师］你能证明吗？

若能,请到黑板上来写.

［生乙］我试试看,写的不对的地方请大家给予纠正.

证明：

（1）当n=1时,xn+yn=x+y,它能被x+y整除,所以n=1时命题成立.

（2）假设当n=k时命题成立,即xk+yk能被x+y整除,那么n=k+1时,xk+1+yk+1=x·xk+y·yk=x（xk+yk）+yk·（y-x）,由归纳假设知,xk+yk能被x+y整除.

∴xk+1+yk+1能被x+y整除,即n=k+1时,结论也成立.

由

（1）

（2）知命题对一切正奇数都成立.

［师］请同学们看看生乙的证明是否正确.

［生丙］第一步是对的,第二步是错的.归纳假设中k是正奇数,递推时,不是k+1,而是k+2.因为k为奇数,它的后继奇数为k+2,而不是k+1.同时配凑时,yk（y-x）也不能被x+y整除.它的证明过程是假数学归纳法.正确的过程是：

假设当n=k（k为正奇数）时,命题成立,即xk+yk能被x+y整除.

当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2（xk+yk）+y2·yk-x2·yk=x2（xk+yk）+yk（y2-x2）=x2（xk+yk）+y

k·（y+x）（y-x）.

由归纳假设知,xk+yk能被x+y整除,（y+x）（y-x）也能被x+y整除.

∴x2（xk+yk）+yk（y+x）（y-x）能被x+y整除,即xk+2+yk+2也能被x+y整除.

故对n=k+2时也成立,即第k+1个奇数也成立.

［师］完全正确！

同学们掌声鼓励.（课堂气氛热烈而不乱）再看例2：

用数学归纳法证明对于任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.你们看如何证明？

［生］（板演）证明：

（1）当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=（11+12）（112-11×12+122）=23×（121+144-132）=23×133,

∴23×133能被133整除,即n=1时命题成立.

（2）假设当n=k时命题成立,即11k+2+122k+1能被133整除,

∴n=k+1时,11（k+1）+2+122（k+1）+1=11·11k+2+122·122k+1=11·（11k+2+122k+1）+122·122k+1-11×122k+1=

11·（11k+2+122k+1）+122k+1（144-11）=11·（11k+2+122k+1）+122k+1·133.

由归纳假设知11k+2+122k+1及133都能被133整除.

∴11（k+1）+2+122（k+1）+1能被133整除,即n=k+1时命题也成立.

根据

（1）

（2）,可知命题对一切自然数都成立.

［师］请同学看看他证明的对不对.

［众生］（齐声说）正确.

［生］（突然说）第一步的初始值不对,其余各步都正确.因为自然数中包括0,所以第一步应验证n=0,而不是n=1.当n=0时,11n+2+122n+1=112+121=121+12=133,故n=0时命题成立.

［师］同学们,他解释的对吗？

（沉默一会儿,教室内掌声雷鸣,这种宽松和谐的氛围,正是我们广大教师所追求的）

本题第一步证明n=1时命题成立,一者计算量较大,二者也不符合自然数集的新定义.后一位同学改证n=0,既方便、减少计算量又科学更严密.一般情况,有时为了简化计算常将证明n=1改证n=0或n=-1,这种技巧称之“提前起点”,提前起点的前提是n为整数,否则递推无法进行.另外,利用数学归纳法证明整除问题,由归纳假设P（k）能被p整除,证P（k+1）能被p整除,也可运用结论：

“P（k+1）-P（k）能被p整除P（k+1）能被p整除.”

［师］请看下列问题：

平面内有3条直线,任何两条不平行,且又不交于一点.交点的个数为多少？

［生］3个.

［师］若是4条直线,任何两条不平行,任何三条不过同一点,它们的交点个数为多少呢？

［生］6个.

［师］若直线条数为5,6,7时呢？

（稍等片刻）

［生］5条直线时,交点个数有10个；6条时,有15个交点；7条时,有21个交点.

［师］你是怎样计算的呢？

［生］4条直线时已有6个交点,第5条直线与前四条都相交,且又无三线共点,故新增加4个交点,故有6+4=10个；再增加一条直线时,它与前5条都相交也无三线共点,净增加交点个数为5个,故有10+5=15个交点；再增加一条直线时,它与前6条都相交,也无三线共点,净增加交点个数为6个,故7条直线时共有交点个数为15+6=21个.

［师］同学们,如果已有k条直线,任何两条不平行,任何三条直线不共点,它们的交点个数为ak.那么再增加一条直线时,交点个数为多少呢？

［生］第k+1条直线与前k条直线都相交,且无三线共点,故新增加交点个数为k个.这样（k+1）条直线时有交点个数为ak+1=ak+k.

［师］你们能求出这个数列的通项公式吗？

［生］可以利用逐差求和法.a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,…,an-an-1=n-1.

相加得（a3-a2）+（a4-a3）+（a5-a4）+…+（an-an-1）=2+3+4+…+（n-1）,即an-a2=2+3+…+（n-1）.

又a2=1,

∴an=1+2+3+4+…+（n-1）

=（n≥2）.

［师］正确！

如果是这样一道命题：

平面内有n（n≥2）条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数为f（n）=你们能用数学归纳法证明吗？

［生］可以！

（板书）

（1）当n=2时,两条直线的交点只有一个,f

（2）=×2×（2-1）=1,因此,当n=2时,命题成立.

（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f（k）等于k（k-1）.现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的一条直线,记为l.（如图2－2所示）.

图2－2

由上述归纳法的假设,除l以外的其他k条直线的交点个数为f（k）=k（k-1）.

另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交（有k个交点）;又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k·（k-1）个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是k（k-1）+k=k［（k-1）+2］=（k+1）［（k+1）-1］.

这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为f（k+1）=（k+1）［（k+1）-1］.

根据

（1）

（2）,可知命题对任何大于1的正整数都成立.

［师］写得很详细,也较规范严谨.

如果平面内有n（n≥2）条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,线段的条数为bn,射线的条数为cn.你们能探求出来吗？

（稍等片刻）

［生］射线的条数为cn=2n.线段的条数要找递推规律.

当n=2时,b2=0；当n=3时,第三条直线与前两条直线都相交,由题设知,新增加三条线段,其中原有的两条射线各自分出一条线段,而新增的两个交点之间又有一条线段,故b3=b2+3；当n=4时,第四条直线与前三条直线都相交,新增加三个交点,而每个交点将原来的线段或射线一分为二,即增加三条线段,又第四条直线上的三个交点将直线分为四段,其中有两条线段,故b4=b3+3+2.依此类推,当有k条直线时线段条数为bk,再增加一条直线,它与前k条直线都相交,且无三线共点,这样原来的k条直线上各增加一条线段,而第k+1条直线上有k个点,分为（k+1）条线段或射线,其中有k-1条线段,这样新增加线段的条数为k+（k-1）=2k-1,所以bk+1=bk+（2k-1）.利用逐差求和法可得bn-b2=3+5+7+…+（2n-3）,又b2=0,∴

即符合条件的线段的条数为bn=n（n-2）（n≥2）.

［师］分析及求解过程都是正确的.

若将问题变为：

这n条直线将平面分成的平面区域的块数为g（n）,求g（n）（n≥1）.

［生］利用上述的思想方法.

n=1时,g

（1）=2（因为一条直线将平面分成了两部分）.

n=2时,新增加一条直线就等于新增加2条线段或射线.

一条线段或射线将原来平面区域一分为二,即新一块平面区域这样就新增加两块平面区域,即g

（2）=g

（1）+2.

n=3时,第三条直线与前两条都相交,这第三条直线有3条线段或射线,新增加的平面区域有3块,这样g（3）=g

（2）+3.

依此类推,设k条直线将平面分成g（k）块平面区域,第k+1条直线与前k条都相交且无三线共点,这样第k+1条直线上新增加k个交点,分成（k+1）段（线段或射线）,每段将原来的平面区域一分为二,即净增一块,共计增加（k+1）块,∴g（k+1）=g（k）+（k+1）.

由逐差求和法知,g（n）-g

（1）=2+3+4+…+（n-1）+n=.

∴

.

［师］上述各个变题,利用数学归纳法完全可以证明,大家说说看,关键是什么？

［生］关键是找出递推关系.

［师］再看一个变题：

平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点,求证：

这n个圆将平面分成f（n）=n2-n+2个部分.如何证明呢？

［生］证明：

（1）当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f

（1）=1-1+2=2.因此,n=1时命题成立.

（2）假设n=k时命题成立,即k个圆把平面分成f（k）=k2-k+2个部分,

则n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆C,剩下的k个圆将平面分成f（k）个部分,而圆C与k个圆有2k个交点,这2k个交点将圆C分成2k段弧,每段弧将它所在的平面部分一分为二,故共增加了2k个平面部分,因此,f（k+1）=f（k）+2k=k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2.

∴n=k+1时命题也成立.

由

（1）

（2）知对一切n∈N*,命题都成立.

［师］用数学归纳法证明这类几何问题,关键是弄清从k→k+1的变化规律,也就是找出新增加的相应元素的个数.

Ⅲ.课堂练习

（一）课本练习

（二）补充练习

某一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B,按照某种运算程序:

①当从A口输入自然数1时,从B口得到,记为f

（1）=;

②当从A口输入自然数n（n≥2）时,在B口得到的结果f（n）是前一结果f（n-1）的倍.

试问:

（1）当从A口输入自然数2和3时,从B口分别得到什么数?

试猜想f（n）的关系式,并证明你的结论.

（2）要想从B口得到2303的倒数,则应从A口输入什么样的自然数.

解:

（1）由已知得

（n≥2,n∈N*）.

当n=2时,;

当n=3时,.

猜想.以下用数学归纳法进行证明:

①当n=1时,,猜想成立.

②假设n=k（k≥2）时猜想成立,

即,

那么当n=k+1时,

即当n=k+1时,猜想也成立.

综合①②,对一切n∈N*,猜想均成立.

（2）要想从B口得到2303的倒数,即,

即4n2-1=2303,

∴4n2=2304.∴n2=576.∴n=24,

即从A口输入自然数24即可.

Ⅳ.课时小结

本节课我们主要学习了运用数学归纳法证明整除问题和几何中的问题,运用从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式进行求解.在证明整除时,为了得到相等的式子,同时添加一些项,再去掉一项,用数学归纳法证明几何问题,证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题常运用几何图形的性质,可注意加以运用.

Ⅴ.课后作业

课本P685,6,7.

板书设计

§2.1.3数学归纳法（三）

1.如果a能被c整除,那么pa也能被c整除；

如果a、b能被c整除,那么a+b或a-b也能被c整除（a、b、c、p是多项式）.

2.几何中问题用数学归纳法.

问题1：

求证：

x2n-y2n能被x+y整除.

变题：

n满足什么条件时,xn+yn能被x+y整除？

问题2：

对于任意的自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.

问题3:

平面内有n（n≥2）条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数为.

变题1.

变题2.

变题3.

2019-2020年高三数学2.1数学归纳法及其应用举例（第二课时）大纲人教版选修

课　　题

§2.1.2　数学归纳法

（二）

教学目标

一、教学知识点

1.深入理解数学归纳法原理和证明问题的步骤.数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法.

2.让学生理解运用数学归纳法的关键为什么是第二步,而缺少第一步是不对的.

3.理解并掌握递推思想在解决问题中的重要作用.

二、能力训练要求

1.能灵活运用数学归纳法证明有关等式和不等式问题.

2.会用递推思想解决实际问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生分类思想、递推思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想方法.

2.培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力.

3.引导学生发展、探索创新能力,培养学生的有效的学习方式,使学生由“学会”到“会学”,教会学生掌握自学的方法.

教学重点

数学归纳法原理及其运用是本课时的教学重点.数学归纳法的基本思想,即先验证使结论成立（有意义）的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k（k≥n0,k∈N*）时命题成立（这时命题是否成立不是确定的）,根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对于所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,n0+3,…命题都成立,所以说第二步是数学归纳法运用的重点.

教学难点

数学归纳法的应用是这节课的教学难点，特别是应用数学归纳法证明有关等式或不等式中的第二步的代数式变换是一个难点，学生不知道使用整式变形的知识.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方式.在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是在于加强学生对教学过程的参与程度.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导、协调和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的.尽快提出适当的问题,并提出思维的要求,让学生尽快地投入到思维活动中来,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得新的发展,从而实现了建构主义的最终的要求.

教具准备

实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）

幻灯片记作：

（§2.1.2A）

请看问题1：

用数学归纳法证明等式2+4+6…+2n=n2+n+1.

如采用下面的证法,对吗？

证明：

（1）（略）.

（2）假设n=k时,等式成立,就是2+4+6+…+2k=k2+k+1,

那么,2+4+6+…+2k+2（k+1）=k2+k+1+2（k+1）=（k2+2k+1）+k+2=（k+1）2+（k+1）+1.

所以当n=k+1时,等式也成立.

由

（1）

（2）,可知等式对于一切自然数n∈N*都成立.

幻灯片记作：

（§2.1.2B）

用数学归纳法证明：

（n∈N*）.

如采用下面的证明方法,对吗？

为什么？

证明：

（1）当n=1时,

左边,

右边,

∴等式成立.

（2）假设当n=k时,等式成立,即

则当n=k+1时,

即n=k+1时,等式也成立.

由

（1）

（2）,可知对于任意自然数n∈N*,原等式都成立.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上节课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题（证明题）的步骤,请同学说出数学归纳法的步骤.

［生1］数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题P（n）的一种方法.

（1）证明当n=n0时〔n0是使命题P（n）成立的第一个值〕,命题正确,即P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时,结论成立,即P（k）成立,证明当n=k+1时,结论也成立,也就是P（k）P（k+1）.根据

（1）

（2）,就可以判定命题P（n）对从n0开始的所有自然数都成立.

［师］请同学们看投影上的问题1.（打出幻灯片§2.1.2A,请学生阅读）

［生2］证明过程正确.

［生3］证明过程不正确.因为缺少第一步,而这个等式本身就是错误的,所以证明过程是不正确的.事实上,当n=1时,上式左边=2,右边=12+1+1=3,左边≠右边,所以不对.

［师］回答得很好！

这个问题说明如果缺少步骤

（1）这个基础,步骤

（2）就没有意义了,也就是失去了递推的基础,只有第一步和第二步结合在一起,才能得出普遍性结论.再看问题2.（打出幻灯片§2.1.2B,仍然由学生阅读）

［生4］证明过程正确,两步都证明了.

［生5］这是不正确的.因为递推思想要求的不是n=k,n=k+1时命题到底成立不成立,而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时这个结论正确,即要求的这种逻辑关系是否成立.证明的主要部分应改为

［师］完全正确.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.在第

（2）步中,n=k时命题成立,可作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用归纳假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.不能直接将n=k+1代入命题,也不能直接用求和公式证明（如问题2）.

这节课我们将学习怎样运用数学归纳法证明恒等式和不等式（板书课题）.

Ⅱ.讲授新课

1.课本例题

［师］在明确数学归纳法本质的基础上,我们来共同研究它在等式证明中的应用.

［例1］用数学归纳法证明：

12+22+32+…+n2=.（板书）

［师］首先确定第一个值是什么,如何由P（k）P（k+1）呢？

请同学思考.

［生6］（学生说；教师写）证明：

（1）当n=1时,左式=12=1,右式,

∴左边=右边,

∴n=1时,等式成立.

（2）假设当n=k时,等式成立,即12+22+32+…+k2=,

那么,12+22+32+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2

.

∴当n=k+1时,等式也成立.

根据

（1）和

（2）,可知等式对任何n∈N*都成立.

［师］完全正确.生6在P（k）P（k+1）时的等式变换是很好的,要一步一步推,不要跳步.

［例2］用数学归纳法证明：

1×4+2×7+