运筹学复习大纲.docx

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运筹学复习大纲

运筹学课程的知识体系

吴思杰计算生物所

运筹学是系统工程的最重要的理论基础之一。

运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话：

“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”故有人称之为最优化技术。

运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面：

生产计划，运输问题，人事管理，库存管理，市场营销，财务和会计，另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。

运筹学的具体内容包括：

规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、图论、决策论、对策论、排队论、存储论、可靠性理论等。

对于规划问题，来源于生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益。

当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大.）规划问题数学模型有三个要素:

1.决策变量，2.目标函数，3.约束条件。

接下来将介绍规划论中的线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划。

线性规划

线性规划：

运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。

为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

线性规划的特征：

（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；

（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。

线性回归的数学模型：

线性规划问题的求解方法：

1）图解法:

两个变量、直角坐标个变量、立体坐标。

其优点：

只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。

图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。

缺点是只适用于两个变量。

2）单纯形法：

适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式

线性规划问题的标准形式：

特点：

（1）目标函数求最大值（有时求最小值）

（2）约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零

（3）决策变量xj为非负。

具体步骤：

（1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:

（2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。

（3）进行最优性检验：

如果表中所有检验数，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。

否则继续下一步。

（4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表

确定换入基的变量。

选择，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检验数，即：

，其对应的xk作为换入变量。

确定换出变量。

根据下式计算并选择θ，选最小的θ对应基变量作为换出变量。

用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。

对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。

（5）重复（3）、（4）步直到计算结束为止。

单纯形法的进一步讨论：

人工变量法：

通过引入人工变量获得初始可行基。

解的判别：

（1）唯一最优解判别：

最优表中所有非基变量的检验数非零,则线规划具有唯一最优解。

（2）多重最优解判别：

最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。

（3）无界解判别：

某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解。

（4）无可行解的判断：

当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。

（5）退化解的判别：

存在某个基变量为零的基本可行解。

3）对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。

它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。

不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。

对偶单纯形法基本思路：

找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是否可行（XB为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，则可得最优解。

线性规划的限制：

一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。

（1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数。

（2）存在着多种方案。

（3）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。

线性规划在管理中的应用：

人力资源分配问题，生产计划问题，套裁下料问题，配料问题。

运输规划问题

运输问题:

在经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题。

如煤，钢铁，木材，粮食等物资，在全国有若干个生产基地，根据已有的交通网，应如何制订调运方案，将这些物质运到各消费地点，而总运费最小。

这一类问题的属于特殊的线性规划问题，它们的约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构，具有比单纯形法更为简便的求解方法。

运输规划问题的数学模型:

A1、A2、…、Am表示某物资的m个产地；B1、B2、…、Bn表示某物质的n个销地；ai表示产地Ai的产量；bj表示销地Bj的销量；cij表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。

设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：

变化：

（1）有时目标函数求最大。

如求利润最大或营业额最大等；

（2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束）；

（3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。

运输问题求解方法：

运输问题属于特殊的线性规划问题，它们的约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构，具有比单纯形法更为简便的求解方法：

表上作业法。

表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。

表上作业法计算中的问题：

（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取σij<0中最小者对应的变量为换入变量。

（2）无穷多最优解：

产销平衡的运输问题必定存最优解。

如果非基变量的σij＝0，则该问题有无穷多最优解。

运输问题的应用：

生产与储存问题，产销不平衡的运输问题

目标规划

目标规划：

目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。

由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产生了目标管理这种先进的管理技术。

目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总体上离规定目标的差距为最小。

线性规划模型相比于目标规划存在的局限性：

（1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非所有约束都需要严格满足。

（2）只能处理单目标的优化问题。

实际问题中，目标和约束可以相互转化。

（3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。

（4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解就可以。

因此，针对这种缺陷，在应对目标规划问题中，进行如下改善：

（1）设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。

d+——超出目标的偏差，称正偏差变量

d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量

正负偏差变量两者必有一个为0。

当实际值超出目标值时：

d+>0,d-=0;

当实际值未达到目标值时：

d+=0,d->0;

当实际值同目标值恰好一致时：

d+=0,d-=0;

故恒有d+×d-=0

（2）统一处理目标和约束。

对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划中的约束条件。

对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过目标约束来表达。

若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可表为:

若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可表为:

若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望d->0用目标约束可表为:

（3）目标的优先级与权系数

在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。

优先级层次的高低可分别通过优先因子P1,P2,…表示。

对于同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。

权系数是一个个具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。

目标规划数学模型：

其中：

gk为第k个目标约束的预期目标值，和为pl优先因子对应各目标的权系数。

目标规划求解方法：

1）图解法：

图解法适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。

同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。

图解法解题步骤：

（1）将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）的直线方程分别标示于坐标平面上。

（2）确定系统约束的可行域。

（3）在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向

（4）求满足最高优先等级目标的解

（5）转到下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解

（6）重复（5），直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止

（7）确定最优解和满意解。

2）单纯形法

整数规划

整数规划：

在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或者小数，对对于某些具体的问题，常要求解答必须是整数的情形。

例如，所求解是机器的台数，完成工作的人数或者装货的车数等。

这类问题需要将决策变量限制为整数规划。

要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。

不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

若该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。

整数线性规划数学模型：

整数线性规划问题的种类：

1）纯整数线性规划：

指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。

2）混合整数线性规划：

决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。

3）0-1型整数线性规划：

决策变量只能取值0或1的整数线性规划。

整数规划问题的求解方法：

分支定界法和割平面法

分支定界法的解题步骤：

（1）求整数规划的松弛问题最优解；

若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步；

（2）分支与定界：

任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束：

xi≤[xi]和xi≥[xi]+1

组成两个新的松弛问题，称为分枝。

新的松弛问题具有特征：

当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。

检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数解并且目标值大于（max）整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。

整数规划问题的应用：

指派问题：

在生活中经常遇到这样的问题，某单位需要完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。

由于每人的专长不同，各人完成任务不同，效率也不同。

于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高，这类问题称为指派问题。

指派问题的数学模型的标准形式：

设n个人被分配去做n件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。

已知第i个人去做第j件工作的效率（时间或费用）为Cij（i=1.2…n;j=1.2…n）并假设Cij≥0。

问应如何分配才能使总效率（时间或费用）最高？

设决策变量

指派问题的数学模型为：

指派问题的求解方法：

匈牙利法

克尼格定理:

如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别减去（或加上）一个常数ui，从每一列中分别减去（或加上）一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。

指派问题的求解步骤：

1）变换指派问题的系数矩阵（cij）为（bij），使在（bij）的各行各列中都出现0元素，即

a.从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；

b.再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素

2）进行试指派，以寻求最优解。

在（bij）中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵（xij）中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。

找独立0元素，常用的步骤为：

从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎。

然后划去◎所在列的其它0元素，记作Ø；这表示该列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。

依次进行到最后一行。

从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø，表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。

依次进行到最后一列。

若仍有没有划圈的0元素，且同行（列）的0元素至少有两个，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加圈（表示选择性多的要“礼让”选择性少的）。

然后划掉同行同列的其它0元素。

可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。

若◎元素的数目m等于矩阵的阶数n（即：

m＝n），那么这指派问题的最优解已得到。

若m

3）用最少的直线通过所有0元素。

其方法：

对没有◎的行打“√”；

对已打“√”的行中所有含Ø元素的列打“√”；

再对打有“√”的列中含◎元素的行打“√”；

重复①、②直到得不出新的打√号的行、列为止；

对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数l。

4）变换矩阵（bij）以增加0元素

在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。

新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。

转回第2步。

匈牙利法的条件是：

模型求最小值、效率cij≥0。

当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。

指派问题的延伸应用：

1）大化指派问题

处理方法：

设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。

令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和原问题有相同的最优解。

2）不平衡的指派问题

当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作.

当人数m小于工作数n时，加上n－m个人

3）一个人可做几件事的指派问题

若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数取值相同。

4）某事一定不能由某人做的指派问题

将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示。

非线性规划

非线性规划：

非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

在科学管理中，很多实际问题其目标函数或约束条件很难用线性函数表达。

如果目标函数或约束条件中含有非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

由于非线性规划问题的复杂性，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法有自己特定的适用范围。

非线性规划的一般数学模型：

　　minf（x）

　　s.t.gi（x）≥0i＝1,…,m

　　hj（x）＝0j＝1,…,p

　　其中x＝（x1，…,xn）属于定义域D，

非线性规划的求解方法：

1）一维最优化方法：

指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。

这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。

常用的一维最优化方法有黄金分割法、切线法和插值法。

　　①黄金分割法又称0.618法。

它适用于单峰函数。

其基本思想是：

在初始寻查区间中设计一列点，通过逐次比较其函数值，逐步缩小寻查区间，以得出近似最优值点。

　　②切线法又称牛顿法。

它也是针对单峰函数的。

其基本思想是：

在一个猜测点附近将目标函数的导函数线性化，用此线性函数的零点作为新的猜测点，逐步迭代去逼近最优点。

　　③插值法又称多项式逼近法。

其基本思想是用多项式（通常用二次或三次多项式）去拟合目标函数。

此外，还有斐波那契法、割线法、有理插值法、分批搜索法等。

2）无约束最优化方法：

指寻求n元实函数f在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。

这类方法的意义在于：

虽然实用规划问题大多是有约束的，但许多约束最优化方法可将有约束问题转化为若干无约束问题来求解。

　　无约束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。

这类迭代算法可分为两类。

一类需要用目标函数的导函数,称为解析法。

另一类不涉及导数，只用到函数值,称为直接法。

这些迭代算法的基本思想是：

在一个近似点处选定一个有利搜索方向,沿这个方向进行一维寻查,得出新的近似点。

然后对新点施行同样手续，如此反复迭代，直到满足预定的精度要求为止。

根据搜索方向的取法不同，可以有各种算法。

属于解析型的算法有：

①梯度法：

又称最速下降法。

这是早期的解析法，收敛速度较慢。

②牛顿法：

收敛速度快，但不稳定，计算也较困难。

③共轭梯度法：

收敛较快，效果较好。

④变尺度法：

这是一类效率较高的方法。

其中达维登-弗莱彻-鲍威尔变尺度法，简称DFP法，是最常用的方法。

属于直接型的算法有交替方向法（又称坐标轮换法）、模式搜索法、旋转方向法、鲍威尔共轭方向法和单纯形加速法等。

3）约束最优化方法：

常用的约束最优化方法有4种。

①拉格朗日乘子法：

它是将原问题转化为求拉格朗日函数的驻点。

②制约函数法：

又称系列无约束最小化方法，简称SUMT法。

它又分两类，一类叫惩罚函数法，或称外点法；另一类叫障碍函数法，或称内点法。

它们都是将原问题转化为一系列无约束问题来求解。

③可行方向法：

这是一类通过逐次选取可行下降方向去逼近最优点的迭代算法。

如佐坦迪克法、弗兰克－沃尔夫法、投影梯度法和简约梯度法都属于此类算法。

④近似型算法：

这类算法包括序贯线性规划法和序贯二次规划法。

前者将原问题化为一系列线性规划问题求解，后者将原问题化为一系列二次规划问题求解。

非线性规划特殊情况:

凸规划，二次规划，几何规划

1）凸规划：

这是一类特殊的非线性规划。

在前述非线性规划数学模型中，若f是凸函数，诸gi都是凹函数,诸hj都是一次函数，则称之为凸规划。

所谓f是凸函数,是指f有如下性质：

它的定义域是凸集,且对于定义域中任意两点x和y及任一小于1的正数α，下式都成立：

　　f（（1-α）x+αy）α≤（1-α）f（x）+αf（y）

　　将上述不等式中的不等号反向即得凹函数的定义。

所谓凸集，是指具有如下性质的集合：

连结集合中任意两点的直线段上的点全部属于该集合。

　　对于一般的非线性规划问题，局部解不一定是整体解。

但凸规划的局部解必为整体解，而且凸规划的可行集和最优解集都是凸集。

2）二次规划一类特殊的非线性规划。

它的目标函数是二次函数，约束条件是线性的。

求解二次规划的方法很多。

较简便易行的是沃尔夫法。

它是依据库恩－塔克条件，在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。

此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。

3）几何规划一类特殊的非线性规划。

它的目标函数和约束函数都是正定多项式（或称正项式）。

几何规划本身一般不是凸规划，但经适当变量替换，即可变为凸规划。

几何规划的局部最优解必为整体最优解。

求解几何规划的方法有两类。

一类是通过对偶规划去求解；另一类是直接求解原规划，这类算法大多建立在根据几何不等式将多项式转化为单项式的思想上。

动态规划

动态规划：

动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种数量方法。

其特点在于，它可以把一个n维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一个一个地去解决。

1、阶段：

把一个问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便于按一定的次序去求解。

2、状态：

表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件。

通常一个阶段有若干个状态，描述过程状态的变量称为状态变量sk。

3、决策：

表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。

4、多阶段决策过程：

无后效性（马尔可夫性）

5、策略：

是一个按顺序排列的决策组成的集合。

6、指标函数和最优值函数：

用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，为指标函数。

动态规划方法：

1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。

要做到这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题，然后逐个求解。

即从边界条件开始，逐段递推寻优，在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问题的最优解。

2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。

因此，每段决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的.

3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各段状态便可逐段变换得到，从而确定了最优路线。

最优化原理：

作为整个过程的最优策略具有这样的性质：

无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略。

”也就是说，一个最优策略的子策略也是最优的。

动态规划解决方法：

逆推法，顺推法

动态规划应用：

资源分配问题，生产与存储问题，背包问题，复合系统工作可靠性问题，排序问题，设备更新问题，货郎担问题。

图与网络优化

图论：

图论是应用十分广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用在物理学，化学，控制论，信息论，科学管理，电子计算机等各个领域。

在实际生活，生产和科学研究中，有很多问题可以用图论的理论和方法来解决。

例如，在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序之间怎样衔接，才能使生产任务完成得既快友好。

通讯网络的合理架设，交通网络的合理分布等问题，应用图论的方法求解都很简便。

图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。

一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。

图的定义：

若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：

其中:

V——点集E——边集

树：

无圈的连通图即为树。

性质1：

任何树中必存在次为1的点。

性质2：

n个顶点的树必有n-1条边。

性质3：

树中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链。

性质4：

树连通，但去掉任一条边，必变为不连通。

性质5：

树无回圈，但不相邻的两个点之间加一条边，恰得到一个圈。

图的最小支撑树：

如果G2是G1的部分图，又是树图，则称G2是G1的部分树（或支撑树）。

树图的各条边称为树枝，一般图G1含有多个部分树，其中树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树（或最小支撑树）。

求树的方法：

破圈法和避圈法

赋权图中求最小树的方法：

破圈法和避圈法

图与网络分析应用：

1）最短路问题：

就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间距离最短的一条路.

有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。

因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。

求最短路有两种算法:

逐次逼近算法

狄克斯屈拉（Dijkstra）标号算法：

狄克斯屈