数学人教A选修23讲义第二章 随机变量及其分布212 离散型随机变量的分布列二.docx

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数学人教A选修23讲义第二章随机变量及其分布212离散型随机变量的分布列二

2.1.2　离散型随机变量的分布列

（二）

学习目标

　1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布．

知识点一　两点分布

随机变量X的分布列为

X

0

1

P

1－p

p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P（X＝1）为成功概率．

知识点二　超几何分布

思考　在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式．

答案　.

梳理　一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列

X

0

1

…

m

P

…

为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．

类型一　两点分布

例1　

（1）某运动员射击命中10环的概率为0.9，求他在一次射击中命中10环的次数的分布列；

（2）若离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

P

9c2－c

3－8c

求出c，并说明X是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？

考点　离散型随机变量的分布列

题点　两点分布

解　

（1）设该运动员射击一次命中10环的次数为X，

则P（X＝1）＝0.9，P（X＝0）＝1－0.9＝0.1.

X

0

1

P

0.1

0.9

（2）由（9c2－c）＋（3－8c）＝1，解得c＝或c＝，

又9c2－c≥0,3－8c≥0，所以≤c≤，所以c＝.

X的取值为0,1，故X服从两点分布，成功概率为3－8c＝.

反思与感悟　两步法判断一个分布是否为两点分布

（1）看取值：

随机变量只取两个值：

0和1.

（2）验概率：

检验P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．

跟踪训练1　已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．

考点　离散型随机变量的分布列

题点　两点分布

解　由题意知，X服从两点分布，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝1－＝.所以随机变量X的分布列为

X

0

1

P

类型二　超几何分布

例2　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．

（1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率；

（2）记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．

考点　超几何分布

题点　求超几何分布的分布列

解　

（1）从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝.

（2）由题意知X＝0,1,2,3.

P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

引申探究

1．在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．

解　由题意可知η＝0,1，服从两点分布．又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为

η

0

1

P

2．将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？

解　

（1）取出3个球颜色都不相同的概率

P＝＝.

（2）由题意知X＝0,1,2,3.

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝.

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝.

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

反思与感悟　超几何分布的求解步骤

（1）辨模型：

结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．

（2）算概率：

可以直接借助公式P（X＝k）＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．

（3）列分布表：

把求得的概率值通过表格表示出来．

跟踪训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．

考点　超几何分布

题点　求超几何分布的分布列

解　

（1）由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．

代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

（2）根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.

P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝.

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数，则P（ξ＝0）等于（　　）

A．0B.C.D.

考点　离散型随机变量的分布列

题点　两点分布

答案　C

解析　由题意知该分布为两点分布，

又P（ξ＝1）＝2P（ξ＝0）且P（ξ＝1）＋P（ξ＝0）＝1，

∴P（ξ＝0）＝.

2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（　　）

A．P（X＝2）B．P（X≤2）

C．P（X＝4）D．P（X≤4）

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　C

解析　X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，∴P（X＝4）＝.

3．若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝0.2.令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）等于（　　）

A．0.8B．0.2C．0.4D．0.1

考点　离散型随机变量的分布列

题点　两点分布

答案　A

解析　因为Y＝3X－2，所以X＝（Y＋2）．当Y＝－2时，X＝0，所以P（Y＝－2）＝P（X＝0）＝0.8.

4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　

解析　设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝.

5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．

考点　超几何分布

题点　求超几何分布的分布列

解　设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.

P（ξ＝2）＝＝，

P（ξ＝6）＝＝，

P（ξ＝10）＝＝.

故ξ的分布列为

ξ

2

6

10

P

1．两点分布：

两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．

2．超几何分布：

超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：

P（X＝k）＝求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义．

一、选择题

1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（　　）

A.B.

C．1－D.

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　D

解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋.

2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　）

A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X

B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X

C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X

D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数

考点　超几何分布

题点　超几何分布的概念

答案　B

解析　由超几何分布的定义可知B正确．

3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（　　）

A.B.C.D.

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　C

解析　记X为2张中的中奖数，则P（X＝2）＝＝.

4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于（　　）

A．1B．2或8C．2D．8

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　B

解析　由题意知，＝，

解得a＝2或8.

5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（　　）

A．P（0

C．P（X＝1）D．P（X＝2）

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　B

解析　本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．

6．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为（　　）

A．恰有1个是坏的B．4个全是好的

C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　C

解析　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，

则P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4）．所以P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，故选C.

7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X＝3）等于（　　）

A.B.C.D.

考点　离散型随机变量分布列的性质及应用

题点　排列、组合知识在分布列中的应用

答案　D

解析　“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P（X＝3）＝＝＝，故选D.

二、填空题

8．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P（X＝1）＝________.

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　

解析　易知P（X＝1）＝＝.

9．在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和记为X，则P（X＝7）＝________.

考点　离散型随机变量分布列的性质及应用

题点　排列、组合知识在分布列中的应用

答案　

解析　P（X＝7）＝＝.

10．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．（用式子表示）

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　

解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或4台．

11．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P（ξ≥8）＝________.

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　

解析　由题意知P（ξ≥8）＝1－P（ξ＝6）－P（ξ＝4）＝1－－＝.

三、解答题

12．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：

（1）抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；

（2）他能及格的概率．

考点　超几何分布

题点　求超几何分布的分布列

解　

（1）X的所有可能取值为0,1,2,3.

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝.

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

（2）他能及格的概率为P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.

13．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：

品牌

甲

乙

首次出现故障

时间x（年）

0

1

x>2

0

x>2

轿车数量（辆）

2

3

45

5

45

每辆利润（万元）

1

2

3

1.8

2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；

（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．

考点　离散型随机变量的分布列

题点　求离散型随机变量的分布列

解　

（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）＝＝.

（2）依题意得，X1的分布列为

X1

1

2

3

P

X2的分布列为

X2

1.8

2.9

P

四、探究与拓展

14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P（X＝2）＝________.

考点　超几何分布

题点　利用超几何分布求概率

答案　

解析　设10个球中有白球m个，

则＝1－，

解得m＝5或m＝14（舍去）．

所以P（X＝2）＝＝.

15．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：

cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列．

考点　超几何分布

题点　求超几何分布的分布列

解　

（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2（人），“非高个子”有18×＝3（人）．

用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，

则它的对立事件表示“没有一个‘高个子’被选中”，

则P（A）＝1－P（）＝1－＝1－＝.

因此，至少有一人是“高个子”的概率是.

（2）依题意，X的可能取值为0,1,2,3.

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，