一维波动方程的达朗贝尔公式.ppt

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第九章行波法与积分变换法,李莉,1,求解定解问题分离变量法求解有限区域内定解问题：

解的区域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示）行波法求解无界区域内波动方程的定解问题积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界区域，但对有界区域也能应用,2,9.1一维波动方程的DAlember（达朗贝尔）公式,就一维波动方程建立通解公式,一维波动方程：

（6.1.1）,作如下的变换：

（6.1.2）,利用复合函数微分法则有：

（9.1.3）,（9.1.4）,3,（9.1.1）,（9.1.1）化为：

（9.1.5）,将式（9.1.5）对积分，得：

再将此式对积分，得：

（9.1.6）,其中都是任意二次连续可微函数。

（9.1.3）,（9.1.4）,4,（9.1.6）,式（9.1.6）就是方程（9.1.1）的通解。

在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数与的具体形式。

为此，必须考虑定解条件。

下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。

设弦的初始状态为已知。

（9.1.7）,将式（9.1.6）中的函数代入式（9.1.7）中，得：

（9.1.8）,（9.1.9）,5,（9.1.8）,（9.1.9）,式（9.1.9）两端对积分一次，得：

（9.1.10）,由式（9.1.8）与式（9.1.10）解出,把确定出来的代回到式（9.1.6）中，即得到方程（9.1.1）在条件（9.1.7）下的解：

（9.1.11）,无限长弦自由振动的DAlembert（达朗贝尔）公式。

6,（9.1.11）,DAlembert解的物理意义：

先讨论初始条件只有初始位移情况下DAlembert解的物理意义。

此时式（9.1.11）给出,先看第二项，设当t=0时，观察者在x=c处看到的波形为：

若观察者以速度a沿x轴的正向运动，则t时刻在x=c+at处，他所看到的波形为：

由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。

7,所以代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行波。

而第一项则代表以速度a沿x轴的负向传播的波，称为反行波。

正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。

再讨论只有初速度的情况。

此时式（9.1.11）给出：

设为的一个原函数，即,则此时有,由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。

综上所述，DAlembert解表示正行波和反行波的叠加。

8,例1求解下列初值问题,解：

本题中,直接应用DAlembert公式，有：

9,*9.2三维波动方程的Poisson公式,三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：

这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用6.1节中所得到的通解公式。

下面先考虑一个特例。

10,9.2.1三维波动方程的球对称解,球对称：

u与都无关。

在球坐标系中，三维波动方程为：

当u不依赖于时，这个方程可简化为：

或写成,11,这是关于ru的一维波动方程，其通解为：

或,12,6.2.2三维波动方程的Possion公式,对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而是考虑u在以M（x,y,z）为球心、以r为半径的球面上的平均值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关了。

这个平均值可以写成：

其中表示以点为中心、以r为半径的球面；,表示r=1的单位球面。

13,是球面上点的坐标，是上的面积元素。

是单位球面上的面积元素。

在球坐标系中，,显然有,由平均值的定义和u的连续性可知，,14,经过推导，可得满足的微分方程：

这是一个关于的一维波动方程，它的通解为：

其中是两个二次连续可微的任意函数。

由初始条件定得：

15,于是,将拓广到r0的范围内，并且使。

即是偶函数。

同理，与也是偶函数。

因此，可将上式写成：

16,令利用LHospital（洛必塔）法则得到：

或简记成,上式称为三维波动方程的Poisson公式。

17,例2求解定解问题,解：

这里,将这些给定的初始条件代入到Poisson公式并计算其中的积分，就可以得到问题的解：

18,9.3Fourier积分变换法求定解问题,所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f（x）经过某种可逆的积分运算,变成另一函数类B中的函数F（p）。

F（p）称为f（x）的像函数，而f（x）称为F（p）的像原函数。

k（x,p）是x，p的已知函数，称为积分变换的核。

在这种变换下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程。

原来的常微分方程，可以变成代数方程，从而使在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在A中所求的解。

19,9.3.1预备知识Fourier变换及性质,Fourier变换,函数f（x）的Fourier变换：

称为f（x）的像函数。

Fourier逆变换:

f（x）称为的像原函数。

因此，当f（x）满足Fourier积分条件时，有,20,三维Fourier变换,若记,则三维Fourier变换及反演公式分别：

21,Fourier变换的性质,设,

（1）线性性质,为任意常数，则任意函数和有：

（2）延迟性质,为任意常数,22,（3）位移性质设为任意常数,（4）相似性质,a为不为零的常数,（5）微分性质若时，,则,23,（6）积分性质,（7）卷积性质,卷积定义：

已知函数和,卷积定理为：

（8）象函数的卷积定理,24,9.3.2Fourier变换法解定解问题,例1求解弦振动方程的初值问题,解：

视t为参数，将方程和相应的条件对x进行Fourier变换，并记,则,25,这是带参数的常微分方程的初值问题。

解得：

再进行反演，得到原定解问题的解为：

26,例2求无界杆的热传导问题,解：

对方程和定解条件两端关于x分别进行Fourier变换，并记,则：

这是带参数关于变量t的常微分方程的初值问题，解得：

27,应用反演公式，得原定解问题的解为：

再由卷积定理,而,28,这里利用了积分公式,所以,由此例看到，用Fourier变换解方程时不必像分离变量法那样区分齐次方程和非齐次方程，都是按同样的步骤求解但是反演往往比较困难。

29,9.4Laplace变换法解定解问题9.4.1Laplace变换及其性质,Laplace变换,定义：

逆变换（或称反演）：

30,Laplace变换的性质,

（1）线性性质,

（2）延迟性质,其中,（3）位移性质,则,31,若时，,（4）相似性质,则,（5）微分性质,32,（6）积分性质,（7）卷积定理,其中，定义,33,9.4.2Laplace变换法,例1求解半无界弦的振动问题,解：

对方程两边关于变量t作Laplace变换，并记：

则,34,代入初始条件，得：

再对边界条件关于变量t作Laplace变换，并记：

则有：

35,上述常微分方程的通解：

代入到边界条件中，得：

故：

由位移定理：

所以：

36,例2求解长为l的均匀细杆的热传导问题,解：

对方程和边界条件（关于变量t）进行Laplace变换并考虑到初始条件，则有：

37,其中方程的通解为：

由边界条件定，得：

38,由变换公式,知,又有,所以,从上面的例题可以看出，用Laplace变换法求解定解问题时，无论方程与边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。

Laplace变换同样可以用来求解无界区域内的问题。

39,例3在传输线的一端输入电压信号，初始条件均为零，求解传输线上电压的变化,解：

这是个半无界问题，定解条件如下：

将方程和边界条件施以关于t的Laplace变换，并考虑初始条件，得到：

40,其中方程的通解为：

常数,在实际问题中，一个很重要的情形,这时,41,其次，有自然条件,取，则：

再由边界条件得：

通过反演，由延迟定理得：

42,总结,积分变换方法不仅能求解无界问题，而且也能够用来求解有界问题，应用是相当广泛的。

求解的步骤第一步，将方程和定解条件对指定变量进行积分变换；得到象空间的代数方程或常微分方程的边值问题或初值问题；第二步，求解象空间的代数方程或常微分方程的初值或边值问题，得到象空间中的解；第三步，对像空间中的解进行反演，得到原象空间中的解。

43,求积分变换的反演：

（1）直接查表，常见函数的Fourier和Laplace等积分变换和反变换已有列表；

（2）利用积分变换的性质，象上面的例题那样求出象函数的反演；（3）利用复变函数积分的性质和留数定理等知识，计算反演中的无穷积分；（4）数值反演，利用数值积分方法计算反演中的无穷积分，有时也能得到精确度很高的结果。

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