七年级数学下册 第一章 第1节 同底数幂的乘法参考教案1 新版北师大版.docx

七年级数学下册 第一章 第1节 同底数幂的乘法参考教案1 新版北师大版.docx

《七年级数学下册 第一章 第1节 同底数幂的乘法参考教案1 新版北师大版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学下册 第一章 第1节 同底数幂的乘法参考教案1 新版北师大版.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

七年级数学下册第一章第1节同底数幂的乘法参考教案1新版北师大版

1.1同底数幂的乘法

●教学目标

（一）教学知识点

1.经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义.

2.了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.

（二）能力训练要求

1.在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力.

2.学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力.

（三）情感与价值观要求

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心.

●教学重点

同底数幂的乘法运算法则及其应用.

●教学难点

同底数幂的乘法运算法则的灵活运用.

●教学方法

引导启发法

教师引导学生在回忆幂的意义的基础上，通过特例的推理，再到一般结论的推出，启发学生应用旧知识解决新问题，得出新结论，并能灵活运用.

●教具准备

投影片

第一张：

问题情景，记作（§1.1A）

第二张：

做一做，记作（§1.1B）

第三张：

议一议，记作（§1.1C）

第四张：

例题，记作（§1.1D）

第五张：

随堂练习，记作（§1.1E）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］同学们还记得“an”的意义吗？

［生］an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数.

［师］我们回忆了幂的意义后，下面看这一章最开始提出的问题（出示投影片§1.3A）:

问题1：

光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球距离太阳大约有多远？

问题2：

光在真空中的速度大约是3×108米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年.一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？

［生］根据距离=速度×时间，可得：

地球距离太阳的距离为：

3×108×5×102=3×5×（108×102）（米）

比邻星与地球的距离约为：

3×108×3×107×4.22=37.98×（108×107）（米）

［师］108×102，108×107如何计算呢？

［生］根据幂的意义：

108×102=

×

=

=1010

108×107

=

=

［师］很棒！

我们观察108×102可以发现108、102这两个因数是同底的幂的形式，所以108×102我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，108×107也是同底数幂的乘法.

由问题1和问题2不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法.

Ⅱ.学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质

1.做一做

出示投影片（§1.1B）

计算下列各式：

（1）102×103；

（2）105×108；

（3）10m×10n（m,n都是正整数）

你发现了什么？

注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述.

（4）2m×2n等于什么？

（

）m×（

）n呢，（m,n都是正整数）.

［师］根据幂的意义，同学们可以独立解决上述问题.

［生］

（1）102×103=（10×10）×（10×10×10）=105=102+3

因为102的意义表示两个10相乘；103的意义表示三个10相乘.根据乘方的意义5个10相乘就表示105同样道理，可求得：

（2）105×108

=

×

=1013=105+8

（3）10m×10n

=

×

=10m+n

从上面三个小题可以发现，底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10，指数为两个同底的幂的指数和.

［师］很好！

底数不同10的同底的幂相乘后的结果如何呢？

接着我们来利用幂的意义分析第（4）小题.

［生］（4）2m×2n

=

×

=2m+n

（

）m×（

）n

=

×

=（

）m+n

我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和.

2.议一议

出示投影片（§1.1C）

am·an等于什么（m,n都是正整数）？

为什么？

［师生共析］am·an表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得

am·an=

·

=

=am+n

即有am·an=am+n（m,n都是正整数）

用语言来描述此性质，即为：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

［师］同学们不妨再来深思，为什么同底数幂相乘，底数不变，指数相加呢？

即为什么am·an=am+n呢？

［生］am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，即有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n.

［师］也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降低一级运算，变为相加.

Ⅲ.例题讲解

出示投影片（§1.1D）

［例1］计算：

（1）（－3）7×（－3）6；

（2）（

）3×（

）；

（3）－x3·x5;（4）b2m·b2m+1.

［例2］用同底数幂乘法的性质计算投影片（§1.3A）中的问题1和问题2.

［师］我们先来看例1中的四个小题，是不是都能用同底数幂的乘法的性质呢？

［生］

（1）、

（2）、（4）都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变，指数相加.

［生］（3）也能用同底数幂乘法的性质.因为－x3·x5中的－x3相当于（－1）×x3,也就是说－x3的底数是x,x5的底数也为x,只要利用乘法结合律即可得出.

［师］下面我就叫四个同学板演.

［生］解：

（1）（－3）7×（－3）6=（－3）7+6=（－3）13；

（2）（

）3×（

）=（

）3+1=（

）4；

（3）－x3·x5=［（－1）×x3］·x5=（－1）［x3·x5］=－x8;

（4）b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.

［师］我们接下来看例2.

［生］问题1中地球距离太阳大约为：

3×105×5×102

=15×107

=1.5×108（千米）

据测算，飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要20年.

问题2中比邻星与地球的距离约为：

3×105×3×107×4.22=37.98×1012=3.798×1013（千米）

想一想：

am·an·ap等于什么？

［生］am·an·ap=（am·an）·ap=am+n·ap=am+n+p;

［生］am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p;

［生］am·an·ap=

·

·

=am+n+p.

Ⅳ.练习

出示投影片（§1.1E）

1.随堂练习（课本P3）：

计算

（1）52×57;

（2）7×73×72;（3）－x2·x3;（4）（－c）3·（－c）m.

解：

（1）52×57=59；

（2）7×73×72=71+3+2=76；

（3）－x2·x3=－（x2·x3）=－x5;

（4）（－c）3·（－c）m=（－c）3+m.

2.补充练习：

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）x3·x5=x15（）

（2）x·x3=x3（）

（3）x3+x5=x8（）

（4）x2·x2=2x4（）

（5）（－x）2·（－x）3=（－x）5=－x5（）

（6）a3·a2－a2·a3=0（）

（7）a3·b5=（ab）8（）

（8）y7+y7=y14（）

解：

（1）×.因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8.

（2）×.x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4.

（3）×.x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算.

（4）×.x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2·x2=x2+2=x4.

（5）√.

（6）√.因为a3·a2－a2·a3=a5－a5=0.

（7）×.a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.

（8）×.y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7.

Ⅴ.课时小结

［师］这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？

［生］在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.

［生］同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.应用这个性质时，我觉得应注意两点：

一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加.即am·an=am+n（m、n是正整数）.

Ⅵ.课后作业

课本习题1.1第1、2、3题

Ⅶ.活动与探究

计算：

2－22－23－24－25－26－27－28－29+210.

［过程］注意到210－29=29·2－29×1=29·（2－1）=29，同理，29－28=28，…23－22=22，即2n+1－2n=2·2n－2n=（2－1）·2n=2n.逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n+1化为21·2n.

［结果］解：

原式=210－29－28－27－26－25－24－23－22+2=2·29－29－28－27－26－25－24－23－22+2=29－28－27－26－25－24－23－22+2=…=22+2=6

●板书设计

1.1同底数幂的乘法

一、提出问题：

地球到太阳的距离为15×（105×102）千米，如何计算105×102.

二、结合幂的运算性质，推出同底数幂乘法的运算性质.

（1）105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=107=105+2;

（2）105×108=

×

=1013=105+8；

（3）10m×10n=

×

=10m+n;

（4）2m×2n=

×

=2m+n;

（5）（

）m×（

）n=

×

=（

）m+n;

综上所述，可得

am·an=

×

=am+n

（其中m、n为正整数）

三、例题：

（由学生板演，教师和学生共同讲评）

四、练习：

（分组完成）

●迁移发散

迁移运用本节课所学知识，解答下列题目：

am·am-3+a2m-4·a

点拨：

先利用公式进行乘法运算，若所得结果是同类项再进行合并.在运用公式时，a的指数是1，不要漏掉.

解：

am·am-3+a2m-4·a

=am+m-3+a2m-4+1

=a2m-3+a2m-3

=2a2m-3

发散本节课会用到的以前知识：

1.幂的知识

在am中，a是底数，m是指数，am叫幂.

2.同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.

3.合并同类项法则：

在合并同类项时，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.

4.乘法结合律

a·b·c=a·（b·c）

运用公式时，适当地利用乘法运算律，可简化运算.

●备课资料

一、参考例题

［例1］计算：

（1）（－a）2·（－a）3

（2）a5·a2·a

分析：

（1）中的两个幂的底数都是－a;

（2）中三个幂的底数都是a.根据同底数幂的乘法的运算性质：

底数不变，指数相加.

解：

（1）（－a）2·（－a）3

=（－a）2+3=（－a）5

=－a5.

（2）a5·a2·a=a5+2+1=a8

评注：

（2）中的“a”的指数为1，而不是0.

［例2］计算：

（1）a3·（－a）4

（2）－b2·（－b）2·（－b）3

分析：

底数的符号不同，要把它们的底数化成同底的形式再运算，运算过程中要注意符号.

解：

（1）a3·（－a）4=a3·a4=a3+4=a7;

（2）－b2·（－b）2·（－b）3

=－b2·b2·（－b3）

=b2·b2·b3=b7.

评注：

（1）中的（－a）4必须先化为a4,才可运用同底数幂的乘法性质计算；

（2）中－b2和（－b）2不相同，－b2表示b2的相反数，底数为b,而不是－b,（－b）2表示－b的平方，它的底数是－b,且（－b）2=（+b）2,所以（－b）2=b2,而（－b）3=－b3.

［例3］计算：

（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m－1

（2）（x－y）2（y－x）3

分析：

分别把（2a+b）,（x－y）看成一个整体，

（1）是三个同底数幂相乘；

（2）中底不相同，可把（x－y）2化为（y－x）2或把（y－x）3化为－（x－y）3,使底相同后运算.

解：

（1）（2a+b）2n+1·（2a+b）3·（2a+b）m－1

=（2a+b）2n+1+3+m－1

=（2a+b）2n+m+3

（2）解法一：

（x－y）2·（y－x）3

=（y－x）2·（y－x）3

=（y－x）5

解法二：

（x－y）2·（y－x）3

=－（x－y）2（x－y）3

=－（x－y）5

评注：

（2）中的两个幂必须化为同底再运算，采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.

［例4］计算：

（1）x3·x3

（2）a6+a6（3）a·a4

分析：

运用幂的运算性质进行运算时，常会出现如下错误：

am·an=amn,am+an=am+n.例如

（1）易错解为x3·x3=x9;

（2）易错解为a6+a6=a12;（3）易错解为a·a4=a4,而

（1）中3和3应相加；

（2）是合并同类项；（3）也是易忽略的地方，把a的指数1看成0.

解：

（1）x3·x3=x3+3=x6;

（2）a6+a6=2a6;（3）a·a4=a1+4=a5

二、在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.

（a－b）=－（b－a）

（a－b）2=（b－a）2

（a－b）3=－（b－a）3

（a－b）2n－1=－（b－a）2n－1（n为正整数）

（a－b）2n=（b－a）2n（n为正整数）

●方法点拨

［例1］计算：

（1）-a·（-a）3·（-a）2

（2）-b3·bn

（3）（x+y）n·（x+y）m+1

点拨：

应用同底数幂的乘法公式时，一定要保证底数相同.

（1）中底数是-a,-a可看作（-a）1；

（2）中-b3可看作（-1）·b3,这样b3与bn可利用公式进行计算；（3）中底数是x+y,将它看作一个整体.

解：

（1）-a·（-a）3·（-a）2

（不要漏掉指数1）=（-a）1·（-a）3·（-a）2

=（-a）6

（2）-b3·bn

=（-1）·（b3·bn）——乘法结合律

=（-1）·b3+n

=-b3+n

（3）（x+y）n·（x+y）m+1

=（x+y）n+（m+1）

=（x+y）n+m+1

［例2］计算：

（1）a6·a6

（2）a6+a6

点拨：

对于

（1），可利用“同底数幂的乘法公式”计算,而第

（2）题，是两个幂相加，需进行合并同类项，注意两者的区别.

解：

（1）a6·a6=a6+6=a12

（2）a6+a6=2a6

注意区分：

同底数幂的乘法是乘法运算，且底数不变，指数相加.

而合并同类项是加（减）法，且系数相加，字母与字母的指数不变.

［例3］计算：

（1）8×2m×16

（2）9×27-3×34

点拨：

这两道题的乘法中，底数都不相同，但可进行相应的调整，变为同底数幂，即可利用公式进行计算.而

（2）中先进行乘法，再进行减法，注意运算顺序.

解：

（1）8×2m×16=23×2m×24=23+m+4=2m+7

（2）9×27-3×34=32×33-3×34=35-35=0