快速傅里叶变换FFT_精品文档.ppt
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本章主要内容本章主要内容引言引言基基2FFT2FFT算法算法进一步减少运算量的措施进一步减少运算量的措施第4章快速傅里叶变换（FFT）DFTDFT是是信信号号分分析析与与处处理理中中的的一一种种重重要要变变换换。
但但直直接接计计算算DFTDFT的的计计算算量量与与变变换换区区间间长长度度NN的的平平方方成成正正比比，当当NN较较大大时时，计计算算量量太太大大，直直接接用用DFTDFT算算法法进进行行谱谱分分析析和和信信号号的的实实时时处处理理是是不不切切实际的。
实际的。
19651965年年发发现现了了DFTDFT的的一一种种快快速速算算法法，使使DFTDFT的的运运算算效效率率提提高高1122个个数数量量级级，为为数数字字信信号号处处理理技技术术应应用用于于各各种种信信号号的的实实时时处处理理创造了条件，推动了数字处理技术的发展。
创造了条件，推动了数字处理技术的发展。
19841984年，提出了年，提出了分裂基快速算法分裂基快速算法，使运算效率进一步提高；，使运算效率进一步提高；4.1引言4.2.14.2.1直接计算直接计算DFTDFT的特点及减少运算量的基本途径的特点及减少运算量的基本途径1.1.直接计算直接计算DFTDFT长度为长度为NN的有限长序列的有限长序列x（n）x（n）的的DFTDFT为：
为：
22、减少运算量的思路和方法、减少运算量的思路和方法思思路路：
NN点点DFTDFT的的复复乘乘次次数数等等于于NN22。
把把NN点点DFTDFT分分解解为为几几个个较较短短的的DFTDFT，可可使使乘乘法法次次数数大大大大减减少少。
另另外外，旋旋转转因因子子WWmmNN具有周期性和对称性。
具有周期性和对称性。
4.2基2FFT算法考虑考虑x（n）x（n）为复数序列为复数序列的一般情况，对某一的一般情况，对某一个个kk值，直接按上式值，直接按上式计算计算X（k）X（k）值需要值需要NN次次复数乘法复数乘法、（N-1）（N-1）次复次复数加法数加法。
方法：
方法：
分分解解NN为为较较小小值值：
把把序序列列分分解解为为几几个个较较短短的的序序列列，分分别别计计算算其其DFTDFT值，可使乘法次数大大减少；值，可使乘法次数大大减少；利利用用旋旋转转因因子子WWNNkk的的周周期期性性、对对称称性性进进行行合合并并、归归类类处处理理，以减少以减少DFTDFT的运算次数。
的运算次数。
周期性周期性：
对称性对称性：
33、FFTFFT算法思想算法思想不不断断地地把把长长序序列列的的DFTDFT分分解解成成几几个个短短序序列列的的DFTDFT，并并利利用用旋旋转转因子的因子的周期性周期性和和对称性对称性来减少来减少DFTDFT的运算次数。
的运算次数。
4.2基2FFT算法4.2.24.2.2时域抽取法基时域抽取法基2FFT2FFT基本原理基本原理FFTFFT算算法法基基本本上上分分为为两两大大类类：
时时域域抽抽取取法法FFT（FFT（简简称称DIT-FFT）DIT-FFT）和和频域抽取法频域抽取法FFT（FFT（简称简称DIFDIFFFT）FFT）。
11、时域抽取法时域抽取法FFTFFT的的算法思想：
算法思想：
将将序序列列x（n）x（n）按按nn为为奇奇、偶偶数数分分为为xx11（n）（n）、xx22（n）（n）两两组组序序列列；用用22个个N/2N/2点点DFTDFT来完成一个来完成一个NN点点DFTDFT的计算。
的计算。
设序列设序列x（n）x（n）的长度为的长度为NN，且满足：
且满足：
（1）
（1）按按nn的奇偶把的奇偶把x（n）x（n）分解为两个分解为两个N/2N/2点的子序列点的子序列4.2基2FFT算法为自然数
（2）
（2）用用N/2N/2点点XX11（k）（k）和和XX22（k）（k）表示序列表示序列x（n）x（n）的的NN点点DFTX（k）DFTX（k）4.2基2FFT算法偶数奇数注意：
注意：
这里的这里的kk的取值范围为的取值范围为00，11，N-1N-1由由于于XX11（k）（k）和和XX22（k）（k）均均以以N/2N/2为为周周期期，且且,X（k）X（k）又又可可表表示示为为:
对上式的运算用下图所示的对上式的运算用下图所示的流图符号流图符号来表示来表示4.2基2FFT算法这样将这样将NN点点DFTDFT分分解为两个解为两个N/2N/2点的点的DFTDFTX1（k）X2（k）X1（k）+WNkX2（k）X1（k）WNkX2（k）WNk图：
蝶形运算符号完成一个蝶形运算需要完成一个蝶形运算需要一次复数乘和两次复数一次复数乘和两次复数加法运算，经过一次分加法运算，经过一次分解后，共需要复数乘和解后，共需要复数乘和复数加的次数为复数加的次数为2（N/2）2（N/2）22+N/2+N/2和和NN22/2/2蝶形运算符号蝶形运算符号4.2基2FFT算法4.2基2FFT算法N/2点DFTN/2点DFTx（0）x
（2）x（4）x（6）x
（1）x（3）x（5）x（7）X1（0）X1
（1）X1
（2）X1（3）X2（0）X2
（1）X2
（2）X2（3）WN0WN1WN2WN3X（0）X
（1）X
（2）X（3）X（4）X（5）X（6）X（7）N=8点的DIT-2FFT（时域抽取图）一次分解图（3）（3）第二次分解：
第二次分解：
将将xx11（r）（r）按按rr取奇、偶可分解成取奇、偶可分解成22个长度为个长度为N/4N/4的子序列的子序列xx33（l）=x（l）=x11（2l）（2l）、xx44（l）=x（l）=x11（2l+1）（2l+1），根据上面推导可得：
根据上面推导可得：
XX11（k）=X（k）=X33（k）+W（k）+WN/2N/2kkXX44（k）（k），k=0,1,N/2-1k=0,1,N/2-1将将xx22（r）（r）按按rr取奇、偶可分解成取奇、偶可分解成22个长个长N/4N/4的子序列的子序列xx55（l）=x（l）=x22（2l）（2l），l=0,1,l=0,1,，N/4N/4xx66（l）=x（l）=x22（2l+1）（2l+1）；同理得同理得4.2基2FFT算法l=0,1,，N/4-1；X1（k+N/2）=X3（k）WN/2kX4（k），k=0,1,N/4-1；X1（k）=X3（k）+WN/2kX4（k），k=0,1,N/4-1；X2（k）=X5（k）+WN/2kX6（k），k=0,1,N/4-1；X2（k+N/2）=X5（k）WN/2kX6（k）,k=0,1,N/4-1；4.2基2FFT算法N/4点DFTx（0）x（4）x
（2）x（6）x
（1）x（5）x（3）x（7）X1（0）X1
（1）X1
（2）X1（3）X2（0）X2
（1）X2
（2）X2（3）WN0WN1WN2WN3X（0）X
（1）X
（2）X（3）X（4）X（5）X（6）X（7）N/4点DFTN/4点DFTN/4点DFTX3（0）X3
（1）X4（0）X4
（1）X5（0）X5
（1）X6（0）X6
（1）WN/20WN/21WN/21WN/20N=8点DFT的二次时域抽取分解图X1（k+N/2）=X3（k）WN/2kX4（k）X1（k）=X3（k）+WN/2kX4（k）X2（k）=X5（k）+WN/2kX6（k）X2（k+N/2）=X5（k）WN/2kX6（k）k=0,1,N/4-1；再次分解，对N=8点，可分解三次。
4.2基2FFT算法X（5）N=8点DIT-FFT运算流图x（0）x（4）x
（2）x（6）x
（1）x（5）x（3）X1
（1）X1
（2）X1（3）X2（0）X2
（1）X2
（2）X2（3）WN0WN1WN2WN3X（0）X
（1）X
（2）X（3）X（4）X（6）X3
（1）X4（0）X4
（1）X5（0）X5
（1）X6（0）X6
（1）WN/20WN/21WN/20WN0WN0WN0x（7）WN/21WN0L=1级L=2L=3X（7）X3（0）X1（0）4.2基2FFT算法N=8点DIT-FFT运算流图x（0）x（4）x
（2）x（6）x
（1）x（5）x（3）WN0WN1WN2WN3X（0）X
（1）X
（2）X（3）X（4）X（5）X（6）WN0WN2WN0WN0WN0WN0x（7）WN2WN0L=1级L=2L=3X（7）4.2.3DIT4.2.3DITFFTFFT算法与直接计算算法与直接计算DFTDFT运算量的比较运算量的比较11、直接、直接DFTDFT运算运算NN点运算点运算：
复数乘次数：
复数乘次数：
NNNN复数加次数：
复数加次数：
NN（N-1）（N-1）22、用用DIT-FFTDIT-FFT作作NN点运算：
点运算：
复数乘次数：
复数乘次数：
MMN/2=N/2N/2=N/2loglog22NN；复加次数：
复加次数：
22N/2M=NlogN/2M=Nlog22NN。
可见可见FFTFFT大大减少了运算次数，提高了运算速度。
大大减少了运算次数，提高了运算速度。
4.2基2FFT算法整整个个运运算算流流图图中中有有MM级级蝶蝶形形，每每一一级级运运算算流流图图中中有有N/2N/2个个蝶蝶形形，每每个个蝶蝶形形需需一一次次复复乘乘和和两两次次复复数数加加运算。
运算。
4.2.4DIT4.2.4DITFFTFFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想1.1.原位计算原位计算序列长为序列长为N=2N=2MM点的点的FFTFFT，有，有MM级蝶形级蝶形，每级有，每级有N/2N/2个蝶形运算个蝶形运算。
同同一一级级中中，每每个个蝶蝶形形的的两两个个输输入入数数据据只只对对本本蝶蝶形形有有用用，每每个个蝶蝶形形的的输输入入、输输出出数数据据节节点点在在用用一一条条水水平平线线上上。
这这样样，当当计计算算完完一一个个蝶蝶形形后后，所所得得的的输输出出数数据据可可立立即即存存入入原原输输入入数数据据所所占占用用的的存存储储单单元元。
经经过过MM级级运运算算后后，原原来来存存放放输输入入序序列列数数据据的的NN个存储单元中可依次存放个存储单元中可依次存放X（k）X（k）的的NN个值。
个值。
原位计算原位计算：
利用同一存储单元存储蝶形计算利用同一存储单元存储蝶形计算输入、输出数据的方法。
输入、输出数据的方法。
优点优点：
节约存储空间、降低设备成本。
：
节约存储空间、降低设备成本。
4.2基2FFT算法2.2.旋转因子的变化规律旋转因子的变化规律NN点点DITDITFFTFFT运运算算流流图图中中，每每个个蝶蝶形形都都要要乘乘以以旋旋转转因因子子WWppNN，pp称为旋转因子的指数。
称为旋转因子的指数。
NN882233时各级的旋转因子时各级的旋转因子第一级：
第一级：
L=1L=1，有有11个旋转因子：
个旋转因子：
WWNNpp=W=WN/4N/4JJ=W=W22LLJJJ=0J=0第二级：
第二级：
L=2L=2，有有22个旋转因子：
个旋转因子：
WWNNpp=W=WN/2N/2JJ=W=W22LLJJJ=0,1J=0,1第三级：
第三级：
L=3L=3，有有44个旋转因子：
个旋转因子：
WWNNpp=W=WNNJJ=W=W22LLJJJ=0,1,2,3J=0,1,2,3对于对于NN22MM的的一般情况，一般情况，第第LL级级共有共有22L-1L-1个不同的旋转因子：
个不同的旋转因子：
WWNNpp=W=W22LLJJJ=0,1,2,2J=0,1,2,2L-1L-11122LL=2=2LLMM22MM=N=N22LLMM故：
故：
按照上面两式可以确定第按照上面两式可以确定第LL级运算的旋转因子。
级运算的旋转因子。
4.2基2FFT算法JJ2M-LWNp=W2LJ=WN2L-M=WNp=J2M-L，J=0,1,2,2L-1133、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目第第LL级级FF
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