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张量分析与连续介质力学张量分析与连续介质力学授课对象授课对象:

工程力学本科生工程力学本科生学时学时:

4848任课教师：

任课教师：

任会兰任会兰副教授副教授11连续介质力学连续介质力学研究对象研究对象:

大量粒子构成的系统的宏观力学行为大量粒子构成的系统的宏观力学行为.可视为连续体可视为连续体统计平均值统计平均值宏观物理量随物质点的变化而改变宏观物理量随物质点的变化而改变-场场（应力应力场场,应变场应变场,速度场速度场,位移场和温度场位移场和温度场连续体模型连续体模型固体固体,流体流体2211）变形几何和运动学变形几何和运动学研究连续介质变形的几何性质研究连续介质变形的几何性质,确定物体各部分空确定物体各部分空间位置的变化及各邻近点距离的变化间位置的变化及各邻近点距离的变化;研究随时间变化研究随时间变化的物理量的时间变化率的物理量的时间变化率.2）2）连续介质满足的物理基本定律连续介质满足的物理基本定律质量守恒质量守恒,动量守恒动量守恒,能量守恒能量守恒,热力学基本定律热力学基本定律3）3）连续介质的本构方程连续介质的本构方程描述各种连续介质模型对外部作用的响应描述各种连续介质模型对外部作用的响应;33课程内容课程内容第一章第一章连续介质力学中的数学模型连续介质力学中的数学模型第二章第二章应力分析应力分析第三章第三章连续介质运动学连续介质运动学主要掌握主要掌握:

张量的概念张量的概念,张量的表示方法以及张量的运算规律张量的表示方法以及张量的运算规律等等主要掌握主要掌握:

应力张量应力张量,应力张量的对称性应力张量的对称性,变换规律变换规律,主应力主应力,主主方向方向,剪应力剪应力,应力偏张量等应力偏张量等44第四章第四章连续介质力学基本定律连续介质力学基本定律第五章第五章本构方程本构方程主要掌握主要掌握:

物质坐标与空间坐标物质坐标与空间坐标,物质导数物质导数,随波导数随波导数,速度速度张张量量,速度分解定理等速度分解定理等.三大守恒定律三大守恒定律:

质量守恒质量守恒,动量守恒动量守恒,能量守恒能量守恒,状态方程状态方程,熵熵不等式不等式,热力学两大定律热力学两大定律.本构概念本构概念,本构方程遵循的一些理论本构方程遵循的一些理论55考核方法：

平时作业和出勤情况占考核方法：

平时作业和出勤情况占考核方法：

平时作业和出勤情况占考核方法：

平时作业和出勤情况占30303030；期末考试占期末考试占期末考试占期末考试占70707070。

参考书目：

参考书目：

参考书目：

参考书目：

1）1）1）1）冯元祯，连续介质力学导论冯元祯，连续介质力学导论冯元祯，连续介质力学导论冯元祯，连续介质力学导论,重庆大学出版社重庆大学出版社重庆大学出版社重庆大学出版社2）2）2）2）吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技吕洪生等编著，连续介质力学基础，国防科技大学出版社大学出版社大学出版社大学出版社661.1.张量的概念张量的概念满足坐标变换规律满足坐标变换规律运算法则运算法则2.2.证明一些恒等式证明一些恒等式3.3.梯度梯度,散度散度,旋度等概念旋度等概念重点掌握重点掌握:

第一章第一章连续介质力学的数学基础连续介质力学的数学基础771.1矢量矢量1.1.1矢量的概念矢量的概念在三维欧几里得空间内在三维欧几里得空间内,具有大小和方向具有大小和方向的有向的有向线段线段.矢量的表示矢量的表示粗体字或字母上箭头粗体字或字母上箭头矢量相等矢量相等大小和方向相同大小和方向相同单位矢量单位矢量大小为大小为1零矢量零矢量大小为大小为0第一章第一章连续介质力学的数学基础连续介质力学的数学基础88图形表示图形表示x1x2x3ayaxazaaaO用三个有序数组表示用三个有序数组表示矢量大小矢量大小矢量矢量分量分量:

99

（1）矢量和矢量和（平行四边形法则平行四边形法则）

（2）矢量差矢量差（3）矢量与标量的积满足结合律和分配律矢量与标量的积满足结合律和分配律ama1.1.21.1.2矢量和矢量和,差与积差与积1010点积满足点积满足（4）矢量的点积矢量的点积标量标量1111注意注意:

（5）矢量的叉积矢量的叉积baaxbO-axb1212（6）并矢并矢定义定义展开共展开共9项，项，可视为并矢的基可视为并矢的基为并矢的分解系数或分量为并矢的分解系数或分量1313自由指标自由指标:

无重复出现的指标无重复出现的指标,取值域取值域1,2,3（三维空间三维空间中中）哑标哑标:

重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或为哑标为哑标.1.1.3Einstein求和约定求和约定在同一项内的一个指标的重复在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标将表示对该指标在它的范围上遍历求和在它的范围上遍历求和.如如1414

（1）求和指标不区分该指标表示的各个分量求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是而是一种约定的求和标记一种约定的求和标记.

（2）连续介质的研究对象是三维连续体连续介质的研究对象是三维连续体,取值范围为取值范围为1,2,3几个注意事项几个注意事项:

1515（3）同一项中重复出现的指标不能超过两次同一项中重复出现的指标不能超过两次.应写成应写成（4）同一等式中同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现同一文字指标在其中的一项单独出现,则它在其他某项内重复出现则它在其他某项内重复出现,对该项也不求和对该项也不求和.1616（5）不能改变某一项的自由标不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以但所有项的自由标可以改变改变.如如WrongRight1717（6）Kronecker符号符号Delta几个重要式子几个重要式子:

18181919例例:

分量形式分量形式:

20201,当当是是1,2,3的偶排列的偶排列123,231,312-1,当当是是1,2,3的奇排列的奇排列132,321,2130,当当中有取值相同者中有取值相同者.1.1.4置换符号置换符号123123偶排列偶排列奇排列奇排列2121矢量叉积矢量叉积用置换符号可写成用置换符号可写成22221.1.5三矢量之积三矢量之积三矢量标量积三矢量标量积（混合积混合积）babxcc三矢量叉积三矢量叉积23231.2恒等式恒等式第一种证明第一种证明:

（利用了行列式的定义利用了行列式的定义）2424令令上式得上式得:

根据求和约定得根据求和约定得:

2525第二种方法第二种方法:

利用双重外积公式利用双重外积公式将将代入上式代入上式,可得可得:

将上两式代入将上两式代入,移项移项,得得由由的任意性的任意性,可证明可证明2626第三种证法第三种证法:

混合积的行列表达式有混合积的行列表达式有:

27271.3张量张量张量张量是数学上或物理上所用的概念是数学上或物理上所用的概念.应力应力,应变等应变等当坐标系改变时，满足特有的转换规律。

当坐标系改变时，满足特有的转换规律。

两个向量两个向量可以写成可以写成:

表示坐标转换表示坐标转换的夹角的余旋的夹角的余旋2828当组合两个向量时，可得到当组合两个向量时，可得到左边左边右边右边2929换一种表示方法换一种表示方法,有有这样，得到一个量这样，得到一个量具有分量具有分量定义此量为（笛卡尔）定义此量为（笛卡尔）2阶张量阶张量3030笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系基矢量基矢量1.3.2笛卡尔坐标变换笛卡尔坐标变换平移旋转后平移旋转后P3131矢量矢量OP在不同坐标系中的变换有在不同坐标系中的变换有:

或或用用点乘上式点乘上式,得得或用或用点乘点乘,得得代表坐标系平移部分代表坐标系平移部分.代表坐标系旋转部分代表坐标系旋转部分.质点的运质点的运动变换动变换3232若若则有则有矢量的坐标矢量的坐标变换规律变换规律.1）基矢量具有与坐标分量相同的变换规律基矢量具有与坐标分量相同的变换规律;22）3333正交性正交性3）3）34341.3.21.3.2张量定义张量定义张量的定义张量的定义:

张量的分量在坐标系变换时满足张量的分量在坐标系变换时满足一定的变换规律一定的变换规律.张量分量中所含指标的个数称为张量的阶张量分量中所含指标的个数称为张量的阶.在三维空间中在三维空间中,每个指标可取每个指标可取1,2,31,2,3之值之值.若张量若张量的维数为的维数为N,N,分量个数则为分量个数则为3N3535只有一个分量只有一个分量,且其值不随坐标系改变且其值不随坐标系改变,即标即标量量是坐标变换下的不变量是坐标变换下的不变量.2）一阶张量一阶张量（矢量或向量矢量或向量）分量个数分量个数:

3;它们随坐标系变换的规律它们随坐标系变换的规律,满足满足1）零阶张量零阶张量（即标量即标量）或或36364）N阶张量阶张量分量个数分量个数:

3N,分量随坐标系的变换规律分量随坐标系的变换规律:

当指标又有附标时当指标又有附标时,可以简化符号可以简化符号或或3）二阶张量二阶张量（应力应力,应变应变）分量个数分量个数:

9;分量随坐标系的变换规律分量随坐标系的变换规律:

或或3737表示连乘符号表示连乘符号:

或或这样这样,n阶张量的变换规律为阶张量的变换规律为:

由此张量定义得知由此张量定义得知,如在某直角坐标系下张量如在某直角坐标系下张量的所有分量都是零的所有分量都是零,则换到任一其他直角坐标则换到任一其他直角坐标系中系中,此张量的分量也都是零此张量的分量也都是零.这种分量都是零这种分量都是零的站称其为零张量的站称其为零张量.38381.4张量的运算张量的运算

（1）张量加减张量加减:

阶数相同的张量可以加减阶数相同的张量可以加减,得到同阶得到同阶的张量的张量;分量与分量相加减分量与分量相加减;的定义是的定义是由于由于和和均为均为n阶张量阶张量,因此因此也是也是n阶张量阶张量.3939

（2）张量与标量相乘张量与标量相乘:

标量与每一个分量相乘标量与每一个分量相乘,阶阶数相同数相同若若为为n阶张量，则可证明阶张量，则可证明也是也是n阶张量。

阶张量。

的定义是的定义是4040（3）张量相乘张量相乘:

两张量两张量和和的张量乘积记为的张量乘积记为.新张量的每一个分量是由一个张量的每一分量与另一新张量的每一个分量是由一个张量的每一分量与另一个张量的每一分量的乘积组成个张量的每一分量的乘积组成.新张量的阶数等于相乘新张量的阶数等于相乘两个张量的阶数之和两个张量的阶数之和.注意注意:

上式中不只对上式中不只对约定求和约定求和,而是要对而是要对都约定求和都约定求和.4141分量形式分量形式:

若若一般情况一般情况4242已知已知分别是分别是m阶和阶和n阶张量阶张量,运用运用张量乘积的定义证明张量乘积的定义证明是是m+n阶张量阶张量.练习练习:

4343（4）张量的缩并张量的缩并:

如果如果n阶张量阶张量的两个指的两个指标相同时标相同时,应用求和约定应用求和约定,得到一个得到一个n-2阶的新张量阶的新张量,则该新张量称为原来张量的缩并则该新张量称为原来张量的缩并.当最后两个指标当最后两个指标相同时相同时,记记下面证明下面证明是是n-2阶张量阶张量.4444缩并有三种形式缩并有三种形式例例:

缩并缩并4545（5）张量的内积张量的内积:

m阶张量阶张量和和n阶张量阶张量的乘积的乘积,缩并缩并一次后得到内积一次后得到内积（阶数为阶数为m+n-2）规定规定:

第一个张量的最后一个指标与第二个张量的第第一个张量的最后一个指标与第二个张量的第一个指标相同一个指标相同,这样张量的内积可以写成这样张量的内积可以写成注意注意4646三个分量三个分量:

如果如果则则例题例题:

写出写出的分量的分量.或或4747（6）张量间的线性变换张量间的线性变换设设线性变换线性变换,对于任意一对于任意一n阶张量阶张量,都对应都对应一个确定的一个确定的m阶张量阶张量,变换是线性的变换是线性的;即即的每一个分量可通过的每一个分量可通过的分量的线性组合表出