数学实验报告.docx

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数学实验报告

数学建模实验报告

学院：

材料科学与工程

班级：

材料91

组员：

樊啸09021011

黄胜09021014

雷子健09021015

一、实验问题

如图所示，有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方向距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，按要求完成下面的实验：

⑴问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？

⑵选取猎狗的速度分别为15、18米/秒，计算猎狗追上兔子时跑过的路程和时间。

⑶画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。

二、数学推导

用计算机仿真法对上述问题进行模拟、分析和研究。

⑴设置时间步长为dt，兔子速度为8米/秒，猎狗速度为b（b在程序中输入一设定值，我们先选用了18），兔子的初始位置在坐标原点，猎狗的初始位置在（－100

，－100

）。

⑵

由t1时兔子和猎狗的位置坐标计算兔子和猎狗在t2＝t1+dt时的坐标（x1,y1）和（x2,y2）:

x1=-4

t

y1=4

t

x2=x2（t1）+bdt

y2=y2（t1）+bdt

⑶计算兔子与猎狗之间的距离

d=

如果d小于事先设定的距离，则退出循环，否则让时间产生一个步长，返回到第二步继续进入下一次循环。

⑷当循环成功退出后，说明点（x1,y1）和（x2,y2）之间的距离小于设定的猎狗追上兔子的距离，循环终止时的时间t即为猎狗追上兔子所用的时间。

说明：

在回答第一小问时，通过多次输入b的值，直至找到使t等于15的b（15＝120/8，为兔子跑到洞口所需的时间，此时的b为猎狗的最小速度）。

三、实验程序及结果

b=16.75

D=0.5

dt=0.2

t=0

holdon

ezplot（'x',[-100*sqrt

（2）,0]）

ezplot（'-x',[-60*sqrt

（2）,0]）

axis（[-100*sqrt

（2）0-100*sqrt

（2）60*sqrt

（2）]）

axisequal

x1=0;y1=0;x2=-100*sqrt

（2）;y2=-100*sqrt

（2）

whilesqrt（（x1-x2）^2+（y1-y2）^2）>D

t=t+dt

x1=-4*sqrt

（2）*t

y1=4*sqrt

（2）*t

x2=x2+b*dt*（-4*sqrt

（2）*t-x2）/sqrt（（-4*sqrt

（2）*t-x2）^2+（4*sqrt

（2）*t-y2）^2）

y2=y2+b*dt*（4*sqrt

（2）*t-y2）/sqrt（（-4*sqrt

（2）*t-x2）^2+（4*sqrt

（2）*t-y2）^2）

plot（x1,y1,'r.',x2,y2,'g.'）

pause（0.1）

end

b

t

s=t*b

运行结果：

（1）b=

16.7500

D=

2

dt=

0.2000

t=

0

……

t=

15.0000

经试验得，狗的速度为16.75时，追赶上兔子的时间为15s，正好是兔子跑到洞口的时间。

即狗的最小速度为16.75m/s

（2）将b=15带入输入程序计算，则时间为正无穷，即此速度下猎狗追不到兔子

（3）将b=18输入程序计算，结果如下

b=

18

D=

2

dt=

0.2000

t=

0

y2=

-141.4214

t=

0.2000

t=

0.4000

t=

0.6000

t=

0.8000

t=

1

t=

1.2000

t=

1.4000

t=

1.6000

t=

1.8000

t=

2.0000

t=

2.2000

t=

2.4000

t=

2.6000

t=

2.8000

t=

3.0000

t=

3.2000

t=

3.4000

t=

3.6000

t=

3.8000

t=

4.0000

t=

4.2000

t=

4.4000

t=

4.6000

t=

4.8000

t=

5.0000

t=

5.2000

t=

5.4000

t=

5.6000

t=

5.8000

t=

6.0000

t=

6.2000

t=

6.4000

t=

6.6000

t=

6.8000

t=

7.0000

t=

7.2000

t=

7.4000

t=

7.6000

t=

7.8000

t=

8.0000

t=

8.2000

t=

8.4000

t=

8.6000

t=

8.8000

t=

9

t=

9.2000

t=

9.4000

t=

9.6000

t=

9.8000

t=

10.0000

t=

10.2000

t=

10.4000

t=

10.6000

t=

10.8000

t=

11.0000

t=

11.2000

t=

11.4000

t=

11.6000

t=

11.8000

t=

12.0000

t=

12.2000

t=

12.4000

t=

12.6000

t=

12.8000

t=

13.0000

t=

13.2000

t=

13.4000

b=

18

t=

13.4000

s=

241.2000

此时追赶时间为13.4s，猎狗跑过的距离为241.2m

⑷猎狗追赶兔子曲线图如下（b等于18）：

二：

现要在一旷野区域举行一场车赛，为了了解环形赛道的路况，现对一选手比赛情况进行监测。

该选手从A地出发向东到B，在经C、D回到A地，（如图）。

现从选手出发开始计时，每隔15min观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设其体力是均匀分配的）：

clf;clear

x1=[0.24.966.559.7113.1716.2318.3620.5323.1526.4928.2329.130.6530.9231.6733.0334.3535.0137.5];

y1=[6.665.284.685.192.346.945.559.865.283.873.042.883.682.382.062.582.161.456];

plot（x1,y1,'k.','markersize',15）;

axis（[-540045]）

grid;holdon

t1=0.2:

0.01:

37.5;

u1=spline（x1,y1,t1）;

plot（t1,u1）

p1=sqrt（diff（t1）.^2+diff（u1）.^2）;

x2=[0.21.84.906.519.7313.1816.2018.9220.5023.2325.5628.3129.4530.0030.9231.6733.3134.2335.8137.5];

y2=[6.6619.8924.5234.8240.5437.6741.3830.0019.6814.5618.8618.5522.6618.2815.0613.4211.867.689.456];

plot（x2,y2,'k.','markersize',15）;

t2=0.2:

0.01:

37.5;

u2=spline（x2,y2,t2）;

plot（t2,u2）

p2=sqrt（diff（t2）.^2+diff（u2）.^2）;

L=sum（p1）+sum（p2）;

fprintf（'L=%.2f\n',L）

以上为模拟路线源代码L=175.90km

z=f（x,y）是位移形状曲线，仅以此是无法求出速度的哦。

但如果已知x,y均为事件t的函数，那就可以求解了。

可以先求出各个速度分量再合成，即：

>>vx=diff（x,t）;

>>vy=diff（y,t）;

>>vz=diff（f（x,y）,t）;

>>v=sqrt（vx^2+vy^2+vz^2）

题中数据是每隔15分钟观测所得，对于车道上量不同的点之间的距离的近似：

d1=sum（vx）;d2=sum（vy）;d=d1-d2

那么，这两点间的平均速度可为：

v=d/0.25=4*d（km/h）.

求解：

三次样条插值法

对于n+1个给定点的数据集{xi}，我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。

如果

表示对函数f进行插值的样条函数，那么需要：

插值特性，S（xi）=f（xi）

样条相互连接，Si-1（xi）=Si（xi）,i=1,...,n-1

两次连续可导，S'i-1（xi）=S'i（xi）以及S''i-1（xi）=S''i（xi）,i=1,...,n-1.

由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成S的n个三次多项式来说，这就意味着需要4n个条件才能确定这些多项式。

但是，插值特性只给出了n+1个条件，内部数据点给出n+1?

2=n?

1个条件，总计是4n?

2个条件。

我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。

其中一项选择条件可以得到给定u与v的钳位三次样条，

另外，我们可以设

这样就得到自然三次样条。

自然三次样条几乎等同于生成样条设备的曲线。

在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。

如果选择另外一些条件，

可以得到周期性的三次样条。

如果选择，

可以得到完整三次样条。

样条插值所得曲线能比较好的连接已知道的数据点，既有效地回避了插值中的龙格现象，又是连续光滑的用此曲线近似描述已知数据点的变化规律，应该说能较好的进行数据点之间的预测分析和求值。

在matlab中样条插值命令为：

y=spline（x1,y1,t）。

在本次试验中，所得速度v是利用近似方法求得，并不是在确切的时间点时的速度的精确值，所以当用光滑的曲线近似v-t变化规律时最好不让曲线穿过求得数据点，所以这里描绘v-t曲线时用曲线拟合的方法。

程序源代码和运行结果如下：

clear;clc;clf;

x=[0.24.966.559.7113.1716.2318.3620.5323.1526.4928.2329.130.6530.9231.6733.0334.3535.0137.5];

y=[6.665.284.685.192.346.945.559.865.283.873.042.883.682.382.062.582.161.456];

subplot（1,2,1）

plot（x,y,'k.','markersize',15）

axis（[040045]）;

grid;holdon

t=0.2:

0.01:

37.5;

u=spline（x,y,t）;

s1=trapz（t,u）;

p=sqrt（diff（t）.^2+diff（u）.^2）;

l1=sum（p）;

v=[];

fori=1:

18

v（i）=4*sqrt（（x（i+1）-x（i））^2+（y（i+1）-y（i））^2）;

ifv（i）>30

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x（i+1））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'r-'）

elseifv（i）<12

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x（i+1））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'k-'）

else

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x（i+1））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'b-'）

end

t=0.2:

0.01:

37.5;

end

x1=[0.21.84.906.519.7313.1816.2018.9220.5023.2325.5628.3129.4530.0030.9231.6733.3134.2335.8137.5];

y1=[6.6619.8924.5234.8240.5437.6741.3830.0019.6814.5618.8618.5522.6618.2815.0613.4211.867.689.456];

holdon

plot（x1,y1,'k.','markersize',15）

u=spline（x1,y1,t）;

s2=trapz（t,u）;

p=sqrt（diff（t）.^2+diff（u）.^2）;

l2=sum（p）;

fori=19:

37

v（i）=4*sqrt（（x1（39-i）-x1（38-i））^2+（y1（39-i）-y1（38-i））^2）;

ifv（i）>30

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x1（39-i））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'r-'）

elseifv（i）<12

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x1（39-i））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'k-'）

else

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x1（39-i））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'b-'）

end

t=0.2:

0.01:

37.5;

end

s=s2-s1;

l=l1+l2;

fprintf（'s=%.4f,l=%.4f\n',s,l）

t=0.125:

0.25:

9.125;

subplot（1,2,2）

holdon

axis（[09.5045]）

grid

plot（t,v,'k.','markersize',25）

p=polyfit（t,v,3）;

a=0:

0.01:

9;

s=polyval（p,a）;

holdon

plot（a,s,'k-','linewidth',2）

车道长度：

l=175.9035;

所围区域面积：

s=733.0783。

图1：

模拟比赛车道的曲线（彩图见附录）

三、对选手的建议：

赛前熟悉一下路况，大致了解在车道上的那些路段的大概情况（是平整沙土路，坑洼碎石路还是松软泥泞路），不同的路况有不同的速度限制以保证选手的人身安全。

在平整沙土路可以保持大于30km/h的时速，在坑洼碎石路保持12-30km/h的时速，在松软泥泞路要保持低于12km/h的时速，这样既能以最快的速度完成比赛，又不会发生安全事故。

clear;clc;clf;

x=[0.24.966.559.7113.1716.2318.3620.5323.1526.4928.2329.130.6530.9231.6733.0334.3535.0137.5];

y=[6.665.284.685.192.346.945.559.865.283.873.042.883.682.382.062.582.161.456];

subplot（1,2,1）

plot（x,y,'k.','markersize',15）

axis（[040045]）;

grid;holdon

t=0.2:

0.01:

37.5;

u=spline（x,y,t）;

s1=trapz（t,u）;

p=sqrt（diff（t）.^2+diff（u）.^2）;

l1=sum（p）;

v=[];

fori=1:

18

v（i）=4*sqrt（（x（i+1）-x（i））^2+（y（i+1）-y（i））^2）;

ifv（i）>30

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x（i+1））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'r-'）

elseifv（i）<12

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x（i+1））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'k-'）

else

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x（i+1））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'b-'）

end

t=0.2:

0.01:

37.5;

end

x1=[0.21.84.906.519.7313.1816.2018.9220.5023.2325.5628.3129.4530.0030.9231.6733.3134.2335.8137.5];

y1=[6.6619.8924.5234.8240.5437.6741.3830.0019.6814.5618.8618.5522.6618.2815.0613.4211.867.689.456];

holdon

plot（x1,y1,'k.','markersize',15）

u=spline（x1,y1,t）;

s2=trapz（t,u）;

p=sqrt（diff（t）.^2+diff（u）.^2）;

l2=sum（p）;

fori=19:

37

v（i）=4*sqrt（（x1（39-i）-x1（38-i））^2+（y1（39-i）-y1（38-i））^2）;

ifv（i）>30

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x1（39-i））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'r-'）

elseifv（i）<12

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x1（39-i））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'k-'）

else

a=find（t

t（a）=NaN;

a=find（t>x1（39-i））;

t（a）=NaN;

plot（t,u,'b-'）

end

t=0.2:

0.01:

37.5;

end

s=s2-s1;

l=l1+l2;

fprintf（'s=%.4f,l=%.4f\n',s,l）

t=0.125:

0.25:

9.125;

subplot（1,2,2）

holdon

axis（[09.5045]）

grid

plot（t,v,'k.','markersize',25）

p=polyfit（t,v,3）;

a=0:

0.01:

9;

s=polyval（p,a）;

holdon

plot（a,s,'k-','linewidth',2）

二、实验心的

在解决实际问题时首先应该建立合适的数学模型，然后求解。

在解决本次实验问题时，感谢刘老师对我们的亲切指导。

我们首先仿照缉私艇追击走私船的例子建立了数学模型，我们第一次尝试的方法是求解析解，但是发现用这种方法时，建立的二阶微分方程十分复杂，后续的推导和计算都比较困难，所以我们采用了计算机仿真法。

经过多次分析，修改，最终得出结论。

但是结果还有一定的缺陷，希望在以后的学习和复习中能够努力，解决好存在的问题。