中考数学复习锐角三角函数测试题2带解析华东师大版.docx
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中考数学复习锐角三角函数测试题2带解析华东师大版
2015中考数学复习锐角三角函数测试题2（带解析华东师大版）
2015中考数学复习锐角三角函数测试题2（带解析华东师大版）
一．选择题（共8小题）
1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）
A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里
3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，若AC：
BC：
AB=5：
12：
13，则sinA=（）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（）
A．sin2AB．cos2AC．tan2AD．cot2A
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（）
A．B．C．D．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）
A．B．C．D．2
二．填空题（共6小题）
9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为_________m（精确到1m）．
（参考数据：
sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为_________米（用含α的代数式表示）．
11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为_________m（结果保留根号）
12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于_________海里．
13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=_________．
14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=_________．
三．解答题（共9小题）
15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．
（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为_________m；
（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．
16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：
≈1.73，≈1.41）
17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？
（结果保留到0.01米）
（参考数据：
sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：
2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：
≈1.414，≈1.732．提示：
坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．
21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？
（参考数据：
sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
22．如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα=，然后又沿着坡度为i=1：
4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
23．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
图形的变化——锐角三角函数2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
A．4kmB．2kmC．2kmD．（+1）km
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．
解答：
解：
如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=OA=2．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=2，
∴AB=AD=2．
即该船航行的距离（即AB的长）为2km．
故选：
C．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）
A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．
解答：
解：
过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：
∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，
故CP=AP=40（海里），
则PB==40（海里）．
故选：
A．
点评：
此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．
3．如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（）
A．B．C．D．
考点：
锐角三角函数的定义；勾股定理．
专题：
网格型．
分析：
先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．
解答：
解：
在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC===2，
∴cosC===．
故选B．
点评：
本题考查了锐角三角函数的定义：
在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）
A．B．C．D．
考点：
锐角三角函数的定义．
分析：
利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可．
解答：
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴sinB===，
故不能表示sinB的是．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
5．在△ABC中，若AC：
BC：
AB=5：
12：
13，则sinA=（）
A．B．C．D．
考点：
锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．
分析：
先根据三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
解答：
解：
∵△ABC中，AC：
BC：
AB=5：
12：
13，即52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．
sinA==．
故选：
A．
点评：
本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是（）
A．sin2AB．cos2AC．tan2AD．cot2A
考点：
锐角三角函数的定义．
分析：
求出∠=∠BCD，解直角三角形求出BC、求出BD即可得出答案．
解答：
解：
∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=1，
∴BC=ABsinA=sinA，
∵CD为边AB上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴BD=BCsin∠DCB=1×sinA×sinA=sin2A，
故选A．
点评：
本题考查了锐角三角形函数的定义，三角形内角和定理的应用，关键是求出BC的长和BD的长．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上中线，若CD=5，AC=8，则sinA为（）
A．B．C．D．
考点：
锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．
分析：
根据斜边中线等于斜边一半得出AB，利用勾股定理求出BC，继而可计算sinA的值．
解答：
解：
∵CD是AB上中线，
∴AB=2CD=10，
BC==6，
∴sinA==．
故选C．
点评：
本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握直角三角形的斜边中线等于斜边一半．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）
A．B．C．D．2
考点：
互余两角三角函数的关系．
分析：
由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．
解答：
解：
∵，∠C=90°，cosA=，
∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°=．
故答案选：
C．
点评：
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值．
二．填空题（共6小题）
9．如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为59m（精确到1m）．
（参考数据：
sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
根据灯塔顶部B的仰角为35°，BC=41m，可得tan∠BAC=，代入数据即可求出观测点A到灯塔BC的距离AC的长度．
解答：
解：
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=35°，BC=41m，
∴tan∠BAC=，
∴AC==≈59（m）．
故答案为：
59．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为7tanα米（用含α的代数式表示）．
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．
解答：
解：
∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，
∴=tanα，
∴BC=ACtanα=7tanα（米）．
故答案为：
7tanα．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
11．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为（5+5）m（结果保留根号）
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．
解答：
解：
作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，
BE=CD=5m，
CE==5m，
在Rt△ACE中，
AE=CEtan45°=5m，
AB=BE+AE=（5+5）m．
故答案为：
（5+5）．
点评：
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
12．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：
根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
解答：
解：
根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，
∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠CAD=30°=∠ACB，
∴AB=BC=20海里，
在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，
∴sin60°=，
∴CD=12×sin60°=20×=10海里，
故答案为：
10．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
13．如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC=．
考点：
锐角三角函数的定义．
分析：
根据三角函数的定义解答．
解答：
解：
观察图形可知，tan∠BAC==．
点评：
本题考查锐角三角函数的概念：
在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
14．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，那么sinB=．
考点：
锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．
分析：
过A作AD⊥BC于D，求出BD，根据勾股定理求出AD，解直角三角形求出即可．
解答：
解：
过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴∠ADB=90°，BD=BC=4，
由勾股定理得：
AD==3，
∴sinB==，
故答案为：
．
点评：
本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
三．解答题（共9小题）
15．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．
（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为23.5m；
（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．
考点：
解直角三角形的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；
（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．
解答：
解：
（I）∵点C是AB的中点，
∴A'C'=AB=23.5m．
（II）设PQ=x，
在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，
∴MQ=，
在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，
∴NQ=，
∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，
解得：
x≈97．
答：
解放桥的全长约为97m．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．
16．将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：
≈1.73，≈1.41）
考点：
解直角三角形的应用．
专题：
几何图形问题．
分析：
根据题意得出AP，BP的长，再利用三角形面积求法得出NP的长，进而得出容器中牛奶的高度．
解答：
解：
过点P作PN⊥AB于点N，
∵由题意可得：
∠ABP=30°，AB=8cm，
∴AP=4cm，BP=ABcos30°=4cm，
∴NP×AB=AP×BP，
∴NP===2（cm），
∴9﹣2≈5.5（cm），
答：
容器中牛奶的高度约为：
5.5cm．
点评：
此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识，得出PN的长是解题关键．
17．根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
考点：
解直角三角形的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）已知MN=30m，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；
（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．
解答：
解：
（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，
∴AN=MNtan∠AMN=30．
在Rt△BMN中，
∵∠BMN=45°，
∴BN=MN=30．
∴AB=AN+BN=（30+30）米；
（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，
∴此车的速度为：
（30+30）÷6=5+5≈13.66，
∵60千米/时≈16.66米/秒，
∴13.66＜16.66
∴不会超速．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．
18．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
考点：
解直角三角形的应用．
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；
（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．
解答：
解：
（1）作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=ACsin∠CAB=ACsin25°≈10×0.42=4.2（千米），
AH=ACcos∠CAB=ACcos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．
故改直的公路AB的长14.7千米；
（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．
答：
公路改直后比原来缩短了2.3千米．
点评：
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
19．如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？
（结果保留到0.01米）
（参考数据：
sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．
解答：
解：
过A点作AE⊥CD于E．
在Rt△ABE中，∠ABE=62°．
∴AE=ABsin62°=25×0.88=22米，
BE=ABcos62°=25×0.47=11.75米，
在Rt△ADE中，∠ADB=50°，
∴DE==18米，
∴DB=DE﹣BE≈6.58米．
故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
点评：
考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．
20．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：
2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：
≈1.414，≈1.732．提示：
坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．
考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．
解答：
解：
作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：
2.5，
在Rt△ABE中，=，
∴AE=50米．
在Rt△CFD中，∠D=30°，
∴DF=CFcot∠D=20米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．
故坝底AD的长度约为90.6米．
点评：
本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
21．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？
（参考数据：
sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
专题：
几何图形问题．
分析：
在直角三角形中利用20°角和AB的长求得线段AC的长后看是否在5.3﹣5.7范围内即可．
解答：
解：
由题意得：
Rt△ACB中，AB=6米，∠A=20°，
∴AC=ABcos∠A≈6×0.94
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