}
intmain()
{
inta[]={1,2,1,3,2,4};
deletere(a,6);
return0;
}
设表A={a1,a2,…,an},将A拆成B和C两个表,使A中值大于等于0的元素存入表B,值小于0的元素存入表C,要求表B和C不另外设置存储空间而利用表A的空间。
荷兰国旗问题。
要求重新排列一个由字符R,W,B(R代表红色,W代表白色,B代表兰色,这都是荷兰国旗的颜色)构成的数组,使得所有的R都排在最前面,W排在其次,B排在最后。
为荷兰国旗问题设计一个算法,其时间性能是O(n)。
设最近对问题以k维空间的形式出现,k维空间的两个点p1=(x1,x2,…,xk)和p2=(y1,y2,…,yk)的欧几里德距离定义为:
。
对k维空间的最近对问题设计蛮力算法,并分析其时间性能。
11.设计蛮力算法求解小规模的线性规划问题。
假设约束条件为:
(1)x+y≤4;
(2)x+3y≤6;(3)x≥0且y≥0;使目标函数3x+5y取得极大值。
#include
usingnamespacestd;
intmain()
{
intx,y,x0,y0;
intsummax=0,temp=0;
for(x0=0;x0<=4;++x0)
{
for(y0=0;(x0+y0<=4)&&(x0+3*y0<=6);++y0)
temp=3*x0+5*y0;
if(temp>=summax)
{
summax=temp;
x=x0;变位词。
给定两个单词,判断这两个单词是否是变位词。
如果两个单词的字母完全相同,只是位置有所不同,则这两个单词称为变位词。
例如,eat和tea是变位词。
分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关,试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。
2.证明:
如果分治法的合并可以在线性时间内完成,则当子问题的规模之和小于原问题的规模时,算法的时间复杂性可达到O(n)。
O(N)=2*O(N/2)+x
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x
由此可知,时间复杂度可达到O(n);
3.分治策略一定导致递归吗如果是,请解释原因。
如果不是,给出一个不包含递归的分治例子,并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。
不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是:
应用了栈这个数据结构。
4.对于待排序序列(5,3,1,9),分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。
归并排序:
第一趟:
(5,3)(1,9);
第二趟:
(3,5,1,9);
第三趟:
(1,3,5,9);
快速排序:
第一趟:
5(,3,1,9);设计分治算法求一个数组中的最大元素,并分析时间性能。
设计分治算法,实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置,要求时间复杂性为O(n),空间复杂性为O
(1)。
例如,对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。
设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。
#include
usingnamespacestd;
intdata[100];
设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。
参见最近对问题的算法分析及算法实现
9.在有序序列(r1,r2,…,rn)中,存在序号i(1≤i≤n),使得ri=i。
请设计一个分治算法找到这个元素,要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。
在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。
请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。
设M是一个n×n的整数矩阵,其中每一行(从左到右)和每一列(从上到下)的元素都按升序排列。
设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中,并分析算法的时间复杂性。
12.设S是n(n为偶数)个不等的正整数的集合,要求将集合S划分为子集S1和S2,使得|S1|=|S2|=n/2,且两个子集元素之和的差达到最大。
设a1,a2,…,an是集合{1,2,…,n}的一个排列,如果iaj,则序偶(ai,aj)称为该排列的一个逆序。
例如,2,3,1有两个逆序:
(3,1)和(2,1)。
设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。
循环赛日程安排问题。
设有n=2k个选手要进行网球循环赛,要求设计一个满足以下要求的比赛日程表:
(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次;
(2)每个选手一天只能赛一次。
采用分治方法。
将2^k选手分为2^k-1两组,采用递归方法,继续进行分组,直到只剩下2个选手时,然后进行比赛,回溯就可以指定比赛日程表了
15.格雷码是一个长度为2n的序列,序列中无相同元素,且每个元素都是长度为n的二进制位串,相邻元素恰好只有1位不同。
例如长度为23的格雷码为(000,001,011,010,110,111,101,100)。
设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。
矩阵乘法。
两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z,且Zij
满足(1≤i,j≤n),这个公式给出了运行时间为O(n3)的算法。
可以用分
治法解决矩阵乘法问题,将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块,从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达,即
从而得到分治算法:
先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH,然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。
请设计分治算法实现矩阵乘法,并分析时间性能。
能否再改进这个分治算法
习题5
1.下面这个折半查找算法正确吗如果正确,请给出算法的正确性证明,如果不正确,请说明产生错误的原因。
intBinSearch(intr[],intn,intk)
{
intlow=0,high=n-1;
intmid;
while(low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if(kelseif(k>r[mid])low=mid;
elsereturnmid;
}
return0;
}
错误。
正确算法:
intBinSearch1(intr[],intn,intk)
{
intlow=0,high=n-1;
intmid;
while(low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if(kelseif(k>r[mid])low=mid+1;
elsereturnmid;
}
return0;
}
2.请写出折半查找的递归算法,并分析时间性能。
求两个正整数m和n的最小公倍数。
(提示:
m和n的最小公倍数lcm(m,n)与m和n的最大公约数gcd(m,n)之间有如下关系:
lcm(m,n)=m×n/gcd(m,n))
插入法调整堆。
已知(k1,k2,…,kn)是堆,设计算法将(k1,k2,…,kn,kn+1)调整为堆(假设调整为大根堆)。
参照:
voidSiftHeap(intr[],intk,intn)
{
inti,j,temp;
i=k;j=2*i+1;设计算法实现在大根堆中删除一个元素,要求算法的时间复杂性为O(log2n)。
nm
5065
25130130
12260
6520
310401040
120802080
3250
图俄式乘法
+
计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称为俄式乘法,其思想是利用了一个规模是n的解和一个规模是n/2的解之间的关系:
n×m=n/2×2m(当n是偶数)或:
n×m=(n-1)/2×2m+m(当n是奇数),并以1×m=m作为算法结束的条件。
例如,图给出了利用俄式乘法计算50×65的例子。
据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因此得名,这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快,因为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。
请设计算法实现俄式乘法。
拿子游戏。
考虑下面这个游戏:
桌子上有一堆火柴,游戏开始时共有n根火柴,两个玩家轮流拿走1,2,3或4根火柴,拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。
请为先走的玩家设计一个制胜的策略(如果该策略存在)。
如果桌上有小于4根的火柴,先手必胜,如果是5根,先手必输;依次类推,同理15、20、25…….都是必输状态;所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态,就可以获胜。
9.竞赛树是一棵完全二叉树,它反映了一系列“淘汰赛”的结果:
叶子代表参加比赛的n个选手,每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者,显然,树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。
请回答下列问题:
(1)这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少
(2)设计一个高效的算法,它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。
(1)因为n人进行淘汰赛,要淘汰n-1人,所有要进行n-1场比赛。
(2)
10.在120枚外观相同的硬币中,有一枚是假币,并且已知假币与真币的重量不同,但不知道假币与真币相比较轻还是较重。
可以通过一架天平来任意比较两组硬币,最坏情况下,能不能只比较5次就检测出这枚假币
将120枚平均分为三组,记为:
A,B,C;先将A,B比较,如果A,B重量不同(假如B比A重),再将B与C比较,如果B,C相同,则A有假币;如果B,C不同,再将A,C比较,如果A,C相同,则B有假币;如果A,C不同,则B有假币;如果A,B相同,则C有假币;
习题6
1.动态规划法为什么都需要填表如何设计表格的结构
在填写表格过程中,不仅可以使问题更加清晰,更重要的是可以确定问题的存储结构;
设计表格,以自底向上的方式计算各个子问题的解并填表。
2.对于图所示多段图,用动态规划法求从顶点0到顶点12的最短路径,写出求解过程。
8
8
3
5
1
0
2
3
4
10
11
12
图第2题图
5
6
7
8
9
1
3
6
7
6
8
3
5
3
3
4
6
3
5
5
2
6
4
3
将该多段图分为四段;
首先求解初始子问题,可直接获得:
d(0,1)=c01=5(0→1)
d(0,2)=c02=3(0→1)
再求解下一个阶段的子问题,有:
d(0,3)=d(0,1)+c13=6(1→3)
d(0,4)=min{d(0,1)+c14,d(0,2)+c24}=8(1→4)
。
。
。
。
。
。
。
。
(以此类推)
最短路径为:
0→1→3→8→11→12
3.用动态规划法求如下0/1背包问题的最优解:
有5个物品,其重量分别为(3,2,1,4,5),价值分别为(25,20,15,40,50),背包容量为6。
写出求解过程。
(x1,x2,x3,x4,x5)→(1,1,1,0,0)(过程略)
4.用动态规划法求两个字符串A="xzyzzyx"和B="zxyyzxz"的最长公共子序列。
写出求解过程。
略
5.给定模式"grammer"和文本"grameer",写出动态规划法求解K-近似匹配的过程。
略
6.对于最优二叉查找树的动态规划算法,设计一个线性时间算法,从二维表R中生成最优二叉查找树。
7.Ackermann函数A(m,n)的递归定义如下:
设计动态规划算法计算A(m,n),要求算法的空间复杂性为O(m)。
考虑下面的货币兑付问题:
在面值为(v1,v2,…,vn)的n种货币中,需要支付y值的货币,应如何支付才能使货币支付的张数最少,即满足
,且使
最小(xi是非负整数)。
设计动态规划算法求解货币兑付问题,并分析时间性能和空间性能。
#include
#defineN100000
#defineM20
inta[N][M];
intvalue[M];
usingnamespacestd;
intmain()
{
while(true)
{
inti,j,k;
intx,y,z;
cout<<"输入货币种类的个数:
"<cin>>x;
cout<<"从小到大输入货币的价值,其中第一个必须为一:
"<for(i=1;i<=x;i++)多边形游戏。
多边形游戏是一个单人玩的游戏,开始时有一个由n个顶点构成的多边形,每个顶点具有一个整数值,每条边具有一个运算符“+”或“×”。
游戏规则是每次选择一条边e以及和e相关联的两个顶点i和j,用一个新的顶点k取代边e、顶点i和j,顶点k的整数值是顶点i和j的整数值通过边e上的运算符计算得到的结果。
当所有边都删除时,游戏结束,游戏的得分就是所剩顶点的整数值。
设计动态规划算法,对于给定的多边形计算最高得分。