动量和动量定理含答案.docx

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动量和动量定理含答案

专题　动量和动量定理

【考情分析】

1.理解动量的的概念，知道冲量的意义；

2.理解动量，会计算一维动量变化；

3.理解动量变化和力之间的关系，会用来计算相关问题；

【重点知识梳理】

知识点一动量及动量变化量的理解

1．动量

（1）定义：

运动物体的质量和速度的乘积叫作物体的动量，通常用p来表示。

（2）表达式：

p＝mv。

（3）单位：

kg·m/s。

（4）标矢性：

动量是矢量，其方向和速度方向相同。

2．动量、动能、动量变化量的比较

动量

动能

动量变化量

定义式

p＝mv

Ek＝

mv2

Δp＝p′－p

矢标性

矢量

标量

矢量

特点

状态量

状态量

过程量

关联方程

Ek＝

，Ek＝

pv，p＝

，p＝

知识点二冲量、动量定理的理解及应用

1．冲量

（1）定义：

力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。

公式：

I＝F·t。

（2）单位：

冲量的单位是牛·秒，符号是N·s。

（3）方向：

冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向相同。

2．动量定理

（1）内容：

物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。

（2）表达式：

Ft＝Δp＝p′－p。

（3）矢量性：

动量变化量的方向与合外力的方向相同，可以在某一方向上应用动量定理。

【拓展提升】动量定理的理解

（1）方程左边是物体受到的所有力的总冲量，而不是某一个力的冲量。

其中的F可以是恒力，也可以是变力，如果合外力是变力，则F是合外力在t时间内的平均值。

（2）动量定理说明的是合外力的冲量I合和动量的变化量Δp的关系，不仅I合与Δp大小相等而且Δp的方向与I合方向相同。

（3）动量定理的研究对象是单个物体或物体系统。

系统的动量变化等于在作用过程中组成系统的各个物体所受外力冲量的矢量和。

而物体之间的作用力（内力），由大小相等、方向相反和等时性可知不会改变系统的总动量。

（4）动力学问题中的应用。

在不涉及加速度和位移的情况下，研究运动和力的关系时，用动量定理求解一般较为方便。

不需要考虑运动过程的细节。

【典型题分析】

高频考点一动量

【例1】（2018·江苏卷）如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下．经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上．忽略空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小。

【答案】2mv＋mgt

【解析】取向上为正方向，由动量定理得

mv－（－mv）＝I

且I＝（

－mg）t

解得IF＝

t＝2mv＋mgt

【方法技巧】理解动量和动能的四点注意

（1）动量是矢量，动能是标量。

（2）动量和动能都是状态量。

冲量引起动量的变化，总功引起动能的变化。

（3）若物体的动能发生了变化，其动量也一定会发生变化；而物体的动量发生变化时，其动能不一定发生变化。

（4）动量和动能均与参考系的选取有关，高中阶段通常选取地面为参考系。

它们的大小关系：

p＝

或Ek＝

。

【变式探究】（2018·全国卷Ⅰ，14）高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。

在启动阶段，列车的动能（　　）

A．与它所经历的时间成正比　B．与它的位移成正比

C．与它的速度成正比　D．与它的动量成正比

【答案】B

【解析】列车启动的过程中加速度恒定，由匀变速直线运动的速度与时间关系可知v＝at，且列车的动能为Ek＝

mv2，由以上整理得Ek＝

ma2t2，动能与时间的平方成正比，动能与速度的平方成正比，A、C错误；将x＝

at2代入上式得Ek＝max，则列车的动能与位移成正比，B正确；由动能与动量的关系式Ek＝

可知，列车的动能与动量的平方成正比，D错误。

高频考点二动量定理的应用

【例2】（2019·全国卷Ⅰ）最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。

若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s，产生的推力约为4.8×106N，则它在1s时间内喷射的气体质量约为（　　）

A．1.6×102kgB．1.6×103kg

C．1.6×105kgD．1.6×106kg

【答案】B　

【解析】根据动量定理有FΔt＝Δmv－0，解得

＝

＝1.6×103kg/s，所以选项B正确。

【方法技巧】动量定理的应用技巧

（1）应用I＝Δp求变力的冲量

如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用I＝Ft求冲量，可以求出该力作用下物体动量的变化Δp，等效代换得出变力的冲量I。

（2）应用Δp＝FΔt求动量的变化

例如，在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量变化（Δp＝p2－p1）需要应用矢量运算方法，计算比较复杂。

如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换得出动量的变化。

【变式探究】（2018·全国卷Ⅱ）高空坠物极易对行人造成伤害。

若一个50g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的碰撞时间约为2ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为（　　）

A．10N　　　B．102N　　　C．103N　　　D．104N

【答案】C　

【解析】根据自由落体运动和动量定理有2gh＝v2（h为25层楼的高度，约75m），Ft＝mv，代入数据解得F≈1×103N，所以C正确。

高频考点三动量定理与图象的结合

【例3】（多选）（2017·全国卷Ⅲ）一质量为2kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。

F随时间t变化的图线如图所示，则（　　）

A．t＝1s时物块的速率为1m/sB．t＝2s时物块的动量大小为4kg·m/s

C．t＝3s时物块的动量大小为5kg·m/sD．t＝4s时物块的速度为零

【答案】AB　

【解析】A对：

前2s内物块做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝

＝

m/s2＝1m/s2，t＝1s时物块的速率v1＝a1t1＝1m/s。

B对：

t＝2s时物块的速率v2＝a1t2＝2m/s，动量大小为p2＝mv2＝4kg·m/s。

C错：

物块在2～4s内做匀减速直线运动，加速度的大小a2＝

＝0.5m/s2，t＝3s时物块的速率v3＝v2－a2t3＝（2－0.5×1）m/s＝1.5m/s，动量大小p3＝mv3＝3kg·m/s。

D错：

t＝4s时物块的速度v4＝v2－a2t4＝（2－0.5×2）m/s＝1m/s。

【变式探究】（2020·河北石家庄模拟）质量为1kg的物体做直线运动，其速度—时间图象如图所示。

则物体在前10s内和后10s内所受外力的冲量分别是（　　）

A．10N·s,10N·s

B．10N·s，－10N·s

C．0,10N·s

D．0，－10N·s

【答案】D　

【解析】由图象可知，在前10s内初、末状态的动量相同，p1＝p2＝5kg·m/s，由动量定理知I1＝0；在后10s内末状态的动量p3＝－5kg·m/s，由动量定理得I2＝p3－p2＝－10N·s，故选项D正确。

高频考点四应用动量定理处理“流体”类问题

【例4】（2020·山东青岛一模）雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象。

为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15mm，查询得知，当时雨滴落地速度约为10m/s，设雨滴撞击芭蕉后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为（　　）

A．0.25NB．0.5N

C．1.5ND．2.5N

【答案】A　

【解析】设雨滴受到芭蕉叶面对它的平均作用力为F，设在Δt时间内有质量为Δm的雨水的速度由v＝10m/s减为零。

以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：

FΔt＝0－（－Δmv），得：

F＝

。

设水杯横截面积为S，对水杯里的雨水，在Δt时间内水面上升Δh，则有：

Δm＝ρSΔh，可得F＝ρSv

，由牛顿第三定律可知，芭蕉叶面受到的平均作用力F′＝F，压强为P＝

＝ρv

＝1×103×10×

N/m2＝0.25N/m2，即芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为0.25N，故选项A正确，B、C、D均错误。

【易错警示】两类流体运动模型

第一类是“吸收模型”，即流体与被碰物质接触后速度为零，第二类是“反弹模型”，即流体与被碰物质接触后以原速率反弹．设时间t内流体与被碰物质相碰的“粒子”数为n，每个“粒子”的动量为p，被碰物质对“粒子”的作用力为F，以作用力的方向为正，则“吸收模型”满足Ft＝0－n（－p），“反弹模型”满足Ft＝np－n（－p）．“反弹模型”的动量变化量为“吸收模型”的动量变化量的2倍，解题时一定要明辨模型，避免错误．　

【变式探究】（2016·全国卷Ⅰ）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。

为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。

忽略空气阻力。

已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。

求：

（1）喷泉单位时间内喷出的水的质量；

（2）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

【答案】

（1）ρv0S　

（2）

－

【解析】

（1）设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则

Δm＝ρΔV①

ΔV＝v0SΔt

②

由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为

＝ρv0S。

③

（2）设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。

对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得

（Δm）v2＋（Δm）gh＝

（Δm）v

④

在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为

Δp＝（Δm）v⑤

设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有

FΔt＝Δp⑥

由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得

F＝Mg⑦

联立③④⑤⑥⑦式得

h＝

－

。

⑧

【方法技巧】应用动量定理求解流体冲击力的具体思路

1．研究对象

常常需要选取流体为研究对象，如水、空气等。

2．研究方法

先隔离出一定形状的一部分流体作为研究对象，然后列式求解。

3．基本思路

（1）在极短时间Δt内，取一小柱体作为研究对象。

（2）求小柱体的体积ΔV＝vSΔt

（3）求小柱体质量Δm＝ρΔV＝ρvSΔt

（4）求小柱体的动量变化Δp＝vΔm＝ρv2SΔt

（5）应用动量定理FΔt＝Δp

【变式探究】（2020·黑龙江鸡西模拟）一艘宇宙飞船以v＝1.0×104m/s的速度进入密度为ρ＝2.0×10－7kg/m3的微陨石流中，如果飞船在垂直于运动方向上的最大截面积S＝5m2，且认为微陨石与飞船碰撞后都附着在飞船上。

为使飞船的速度保持不变，飞船的牵引力应为多大？

【解析】设t时间内附着在飞船上的微陨石总质量为Δm，则Δm＝ρSvt①

这些微陨石由静止至随飞船一起运动，其动量增加是受飞船对其作用的结果，由动量定理有Ft＝Δp＝Δmv②

则微陨石对飞船的冲量大小也为Ft，为使飞船速度保持不变，飞船应增加的牵引力为ΔF＝F③

综合①②③并代入数值得ΔF＝100N，即飞船的牵引力应为100N。

【答案】100N

高频考点五　动量守恒的判断及应用

【例五】（2019·江苏卷）质量为M的小孩站在质量为m的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板与地面间的摩擦．小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为v，此时滑板的速度大小为_________。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设滑板的速度为

，小孩和滑板动量守恒得：

，解得：

，故B正确。

【变式探究】（2017·全国卷Ⅰ）将质量为1.00kg的模型火箭点火升空，50g燃烧的燃气以大小为600m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。

在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略）（　　）

A．30kg·m/s　　B．5.7×102kg·m/s

C．6.0×102kg·m/sD．6.3×102kg·m/s

【答案】A　

【解析】由于喷气时间短，且不计重力和空气阻力，则火箭和燃气组成的系统动量守恒。

燃气的动量p1＝mv＝0.05×600kg·m/s＝30kg·m/s，则火箭的动量p2＝p1＝30kg·m/s，选项A正确。

高频考点六多物体多过程的动量守恒问题

【例6】（2019·全国卷Ⅱ）一质量为m＝2000kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶．行驶过程中，司机忽然发现前方100m处有一警示牌，立即刹车．刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变化可简化为图（a）中的图线．图（a）中，0～t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1＝0.8s；t1～t2时间段为刹车系统的启动时间，t2＝1.3s；从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止．已知从t2时刻开始，汽车第1s内的位移为24m，第4s内的位移为1m.

（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v－t图线；

（2）求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；

（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1～t2时间内汽车克服阻力做的功；从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以t1～t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）?

【答案】

（1）见解析图　

（2）28m/s　8m/s2　（3）30m/s　1.16×105J　87.5m

【解析】

（1）v－t图象如图所示．

（2）设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v1，则t1时刻的速度也为v1；t2时刻的速度为v2.在t2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a.取Δt＝1s．设汽车在t2＋（n－1）Δt～t2＋nΔt内的位移为sn，n＝1，2，3….

若汽车在t2＋3Δt～t2＋4Δt时间内未停止，设它在t2＋3Δt时刻的速度为v3，在t2＋4Δt时刻的速度为v4，由运动学公式有

s1－s4＝3a（Δt）2①

s1＝v2Δt－

a（Δt）2②

v4＝v2－4aΔt③

联立①②③式，代入已知数据解得

v4＝－

m/s④

这说明在t2＋4Δt时刻前，汽车已经停止．

因此，①式不成立．

由于在t2＋3Δt～t2＋4Δt内汽车停止，由运动学公式

v3＝v2－3aΔt⑤

2as4＝v

⑥

联立②⑤⑥式，代入已知数据解得

a＝8m/s2，v2＝28m/s⑦

或者a＝

m/s2，v2＝29.76m/s⑧

但⑧式情形下，v3<0，不合题意，舍去．

（3）设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为f1.由牛顿定律有

f1＝ma⑨

在t1～t2时间内，阻力对汽车冲量的大小为

I＝

f1（t2－t1）⑩

由动量定理有

I＝mv1－mv2⑪

由动能定理，在t1～t2时间内，汽车克服阻力做的功为

W＝

mv

－

mv

⑫

联立⑦⑨

⑪⑫式，代入已知数据解得

v1＝30m/s⑬

W＝1.16×105J⑭

从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s约为

s＝v1t1＋

（v1＋v2）（t2－t1）＋

⑮

联立⑦⑬⑮式，代入已知数据解得

s＝87.5m．⑯

【变式探究】（2020·河北辛集中学模拟）如图所示，甲、乙两船的总质量（包括船、人和货物）分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0。

为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度。

（不计水的阻力和货物在两船之间的运动过程）

【答案】4v0

【解析】设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，抛出货物后乙船的速度为v乙。

甲船上的人接到货物后甲船的速度为v甲，规定向右的方向为正方向。

对乙船和货物的作用过程，由动量守恒定律得

12mv0＝11mv乙－mvmin　①

对货物和甲船的作用过程，同理有

10m×2v0－mvmin＝11mv甲　②

为避免两船相撞应有v甲＝v乙　③

联立①②③式得vmin＝4v0。