探索反比例函数和性质.docx

探索反比例函数和性质.docx

《探索反比例函数和性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《探索反比例函数和性质.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

探索反比例函数和性质

《反比例函数图象及其性质》教学设计与反思

一．教材分析

1.本节课所研究的内容是反比例函数图象及其性质，至此，初中阶段的函数全部登台亮相。

函数知识是初中代数的核心内容。

随着学习的不断深入，函数把前面所学的方程，不等式等知识有机结合起来，是整个初中代数知识的“桥梁”，本节课的教学是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上进行的。

2.通过本小节的学习，让学生感受到反比例函数是反映现实生活的一种有效模型，，在此基础上讨论反比例函数及其性质可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，对将来进入高中后对初等函数全面深入的学习有重要的奠基意义。

二、学情分析

知识基础：

本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念。

学习方法：

学生已经积累的学习函数的方法有：

画图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等。

学生喜欢用探究式的学习方式，通过自己的分析来体验知识间的内在联系。

能力水平：

处在这个年龄段的学生多数可以熟练的进行抽象逻辑思维，但其辩证逻辑思维的能力水平还较低。

另外，学生参与活动的积极性高，但仍然缺乏合作交流等方面的能力。

三.教学目标：

知识与技能：

1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数的性质。

2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升学生对数形结合思想的认识。

3）初步探索并掌握反比例函数的基本性质。

过程与方法：

经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征。

，培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。

情感、态度与价值观：

1）积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法；

2）在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯；

3）体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题的重要工具。

四．教学重点和难点

重点：

画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质

难点：

理解反比例函数的性质，并能灵活应用

五．教学过程：

教学过程分为六个环节

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

创

设

情

境

，

以

旧

探

新

1.复习旧知

（多媒体出示图片及问题）：

长方形的一边长为6，面积y和另一边长x之间有什么关系？

此函数的图象是什么样子的？

如何画出它的图象呢？

2.导入新课

（多媒体出示第二个问题）如果长方形的面积为6，一边长y和另一边长x之间又有什么关系呢？

请同学们想一想，此函数的图象还是不是直线呢？

它是什么样子的？

学生思考、回答：

y=6x

y是x的正比例函数。

经过圆点的一条直线。

过原点（0，0）和（1，6）两点作一条直线，就是它的图象。

同学们思考、回答：

xy=6即

，

y是x的反比例函数， 并思考、猜想此函数图像的样子。

通过对正比例函数及其图象的复习，为引入反比例函数的图象作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题。

这一环节让学生熟悉反比例函数的一般形式，题目设置很简单，增强了学生学习新知的自信心，同时也为下面函数图像的学习打下了基础。

自

主

获

取

，

探

索

新

知

画反比例函数的图象：

同学们还记得作函数图象的步骤吗？

下面请同学们试着作出反比例函数

的图象。

学生思考、相互讨论、自己动手画图。

作反比例函数

的图象。

（出示下面的三个问题引导学生思考）

1）列表时自变量的取值应注意些什么问题？

2）描点：

以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。

3）连线：

按怎样的顺序来连结所描出的各点，从而作出函数的图像？

教师利用实物投影仪展示学生成果。

请同学们仔细观察并进行讨论展示图象画得对还是不对？

如果不对，它们分别错在哪里？

为什么？

多媒体演示正确画法：

列表、描点、连线

列表，描点，连线。

学生动手画图。

学生思考，回答

 学生按顺序描出各点，注意要细心。

学生小组讨论，相互交流，然后动手画图。

学生通过观察、思考、交流发现问题。

让学生回忆、类比，注意比较与画一次函数的图象时列表的相同点与不同点。

让学生独立描点，观察描出的点的位置。

培养学生细心的良好品质。

培养学生先“估计”、“猜想”，然后带着猜想去描点作图，从而验证推理正确与否的能力。

通过自我尝试、发现问题、纠正错误的过程，以及学生自主探究、合作交流、反馈评价，培养学生团结协作的情感和勇于探索、创新的精神。

双

边

置

疑

，

深

入

探

究

议一议：

（1）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？

与同伴进行交流。

（2）曲线的发展趋势如何，它们能与x轴相交吗？

与y轴呢？

学生容易总结出：

1、在列表时，自变量的取值应取绝对值相等而符号相反时的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；

2、列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；

3、在连线时要用“光滑”的曲线，不能用折线。

4、图象具有无限延伸性，但不与坐标轴相交。

（多媒体汇总出4条注意事项）

学生思考，试着发表自己的看法

通过上一环节的“猜想”与“实践”，学生对反比例函数的图像有了一定的认识，议一议的设置是引导学生进行认真思考，在讨论中加以认识。

使其对图像的认识更深刻。

动

手

操

作

，

知

识

升

华

动手操作

，知识升华

1．做一做：

作反比例函数

的图象

。

此函数的图象在什么象限？

请同学们画图验证自己的猜想。

2．想一想：

观察

和

的图象，对照你所作的两个函数图象，找一下它们的相同点和不同点。

提问：

（1）反比例函数的图象是什么样子的？

（2）当k＞0时，反比例函数的图象在哪些象限？

当k＜0呢？

（3）反比例函数的图象与坐标轴能否有交点？

（4）结合反比例函数的图象分析列表中所列举出来的点坐标之间具有什么特征？

分组讨论，并鼓励全体同学要细心，有耐心，善于观察、善于发现并相信靠大家的智慧会全部找出。

然后找学生代表小结本组讨论的结果。

3．看一看，找一找:

观察反比例函数

、y=

、

、

的图象，你能发现什么相同点和不同点

（1）反比例函数的图象是什么样子的？

（2）当k＞0时，反比例函数的图象在哪些象限？

当k＜0呢？

（3）在每一个象限内，随着x的增大，y的值是怎样变化的？

你能说说这是为什么吗？

4．知识提炼：

反比例函数的基本性质

（1）反比例函数

的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。

（2）反比例函数

的图象，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，在每一象限内，y的值x值的增大而减小；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y的值x值的增大而增大。

（3）因k≠0,x≠0故y≠0,所以它们都不与坐标轴相交。

（4）反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形。

学生思考：

由k=﹣6得xy=﹣6，x、y异号所以反比例函数

的图象分布在二、四象限。

学生认真观察，相互讨论，

观察分析，合作交流，分组讨论。

呈现本组的讨论结果。

学生小组讨论，交流，派代表表述本组的讨论结果。

学生拿到这个函数，先猜想图像的位置及走向，再动手画图，形成技能。

这一环节意在培养学生的观察、猜想能力，用自主探索、合作讨论交流的方式，促进学生的积极参与，积极的去发现、思考，体会学习方法。

通过对反比例函数图象的观察、分析、归纳，初步感知双曲线的特征，为下一步总结反比例函数的性质埋下伏笔。

通过学生经历对反比例函数的探索，开动脑筋，发现规律。

既梳理了学生的思维，又极大的活跃了课堂气氛，使学生在轻松愉快的探索、交流、合作过程中，自然而然的找到了反比例函数图象的特点。

培养学生的观察、比较、发现、总结的能力，用自主探索、合作讨论交流的方式，促进学生的积极参与，积极发现、思考、体会，让学生体会努力后成功的感觉。

强

化

新

知

，

巩

固

提

高

1．随堂练习，反馈评价

1）.

是反比例函数，则它的解析式为________,它的图象在第_______象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大而_________.

2）.已知两个反比例函数的图象A和B，请你判断哪一个是

的图像，哪一个是

的图象。

为什么？

已知点D（―2，

）在函数

的图像上，则

=______

3）.试分别说明反比例函数

、

、

的图象所在的象限。

2．变式训练，启迪创新

若点A（3,y1），点B（5,y2）在双曲线

上，则y1与y2的大小关系是_______.

在此基础上做变式训练。

（1）若A（-3,y1），点B（-5,y2）呢？

同一象限按增减，跨越象限怎么办？

（2）若A（3,y1），点B（-5,y2）呢？

（3）若A（-3,y1），点B（5,y2）呢？

学生思考，作答。

巩固新知

学生通过反比例函数的性质及图像，认真思考、识图，找到问题的突破口。

这三个练习由浅入深、由易到难，既考查了上一节的内容，同时也把反比例函数的性质有机的融入到其中，让学生循序渐进的应用所学知识解决问题，使学生进一步巩固和理解反比例函数的图象及性质。

根据学生所做情况，发现问题，及时纠正。

变式训练的设计，从不同的角度对本节课的知识进行巩固，使学生能举一反三、触类旁通。

能够灵活的运用所学的知识。

梳理归纳

，

知识小结

利用提问形式，师生共同小结，设计下列问题：

1.反比例函数的图像是什么样子的？

2.画反比例函数的图象时都应注意哪些问题？

它与坐标轴是否有交点？

3.反比例函数的图像具有什么特点？

学生认真梳理本节课知识，自由发言。

畅谈体会。

师生共同小结，帮助学生全面的理解、掌握知识，从而将本节内容纳入知识系统。

进一步落实教学目标。

学生围绕自身感触最大的方面畅谈体会，促进其自主学习。

课后习题设计

必作题：

（1）在同一坐标系中，作出函数

，

的图象；

（2）反比例函数

上有两点A（

，

）和B（

）若

，则

和

有怎样的关系？

选作题：

（3）在反比例函数

（a为常数）的图象上有A（-3,y1）,B（-1,y2）,C（2,y3）三点，则函数值y1、y2、y3的大小关系是________。

探索题：

（4）.在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，那么S1与S2有什么关系？

为什么？

学生认真复习完本节课的内容后，独立完成下面的几个习题。

分层练习，一是必作题，促进知识的巩固；二是选作题，提高学生思维的深度及广度；三是探索题，进一步培养学生的发散思维，为下节课学习打下铺垫、埋下伏笔。

六.板书设计

反比例函数的图象与性质

一．作函数图象的步骤：

列表、描点、连线

二．反比例函数的基本性质：

1.双曲线，永不与坐标轴相交。

既是中心对称图形，又是轴对称图形。

2.当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；

3.当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

七.学生学习活动评价设计

学生学习活动评价表

项目

评分细则

得分

课前预习

（20分）

课前熟知所学内容，明确学习目标并预习到位；预习检查时汇报表现优秀，出色的完成预习案上的任务。

（20分）

对所学内容较熟，明确学习目标并预习到位；预习检查时汇报表现良好，教好的完成预习案上的任务。

（15分）

知道所学内容，明确学习目标并有预习；完成预习任务，能作预习汇报。

（10分）

不知道所学内容，学习目标不明或者并有预习；没完成预习任务，不能作预习汇报

（10分以下）

课堂表现（60分）

自主学习（20分）

在导学案的指引下独立自主学习，求知欲强，自主学习时能勾画重点、发现问题，敢于质疑，交流时能展示自己优秀的自学成果。

（20分）

在导学案的指引下独立自主学习，求知欲强，自主学习时能勾画重点、发现问题，敢于质疑，交流时能展示自己较好的自学成果。

（15分）

在导学案的指引下能独立自主学习，有一定的自学方法，能发现一些问题，在交流时能展示自己的自学成果。

（10分）

不能独立自主学习，缺乏自学方法，交流时不能展示自己的自学成果或者没有成果展示。

（5分以下）

合作学习（20分）

积极参加小组活动，有独立见解，动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。

（20分）

积极参加小组活动，动手、动口、动脑能力较强，与同学合作愉快。

（15分）

能参加小组活动，能与同学合作，但是动手、动口、动脑能力不佳，合作成效不高。

（10分）

不参加小组活动，在合作学习时懒于动手、动口、动脑，没有合作能力和习惯，不注重与同学配合。

（10分以下）

探究学习（20分）

善于倾听、敢于质疑、富于想象，经常得出合理的而且具有创新性的答案或者学习成果。

（20分）

善于倾听、有一定的质疑、想象能力，经常得出具有创新性的答案或者学习成果。

（15分）

碰到问题能质疑，但是缺乏思考，偶尔能得出具有创新性的答案或者学习成果。

（10分）

缺乏创造品质，懒于思考，没有创造性思维成果。

（10分以下）

作业完成

（20分）

按时保质保量独立完成，格式清晰，字迹工整，答案有独特见解。

（20分）

格式清晰，字迹工整，按时保质保量独立完成。

（15分）

基本能按时完成。

 （10分）

字迹潦草，马马虎虎，有不交作业或抄袭等的现象。

（5分或以下）

总评

80分以上优秀，70-80良好，

60以上合格，60分以下不合格。

总分：

等级：

八．教学反思

1.本节课主要通过提出问题，让学生经历估计、猜想、实践、观察、思考、归纳等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象及性质。

在新知探究过程中，给学生更多的思维空间，教师适时加以引导，让学生自己发现并纠正错误，从而加深了学生对问题的理解。

2．在课堂教学中既要让学生进行充分的探究和讨论，又要按计划完成教学任务，这有一定的难度。

因此在教学过程中教师应该引导学生沿着一个正确的猜想和讨论模式进行高效率的探究和讨论。

3.本节课在初次作反比例函数的图像时，学生在连接各点遇到了困难，教师适时引导他们寻找解决的问题的思路，并在解决问题的过程中总结获得的经验，而不是直接给出解决问题的方案。

本节课从提出问题到解决问题的过程当中，提供了“阶梯”式的问题串，使每一个学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历。

4.不足与改进：

在教学过程中，学生提出问题的时间和机会较少。

我的改进设想是：

多留时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性，这样能更大的激发学生的探索热情，同时也为进一步学习反比例函数图象的性质埋下伏笔。