二次函数与面积专题.docx
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二次函数与面积专题
实用文案级九上数学专题训练三2019重庆市巴川中学初
二次函数与面积问题——________
等级班级______姓名_______
题型一：
在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）．2x与P在抛物线上（点P+bx+c（a≠0）与，轴交于AB两点，点y=ax1，抛物线例1、定义：
如图2222+bx+c（a≠0）y=ax，则称点P=AB为抛物线，AB两点不重合），如果△ABP的三边满足AP+BP
的勾股点．21）直接写出抛物线+1y=-x的勾股点的坐标；（23x的）是抛物线与轴交于A，B两点，点CP（1,+bx（a≠0）y=axC：
2
（2）如图，已知抛物线勾股点，求抛物线C的函数表达式；）的的点SQ（异于点P＝C2（3）在（）的条件下，点Q在抛物线上，求满足条件SABPABQ△△坐标．
2
图1图
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实用文案
23?
?
2xy?
?
xxyBC连接CB，与，轴交于点与轴交于点A如图，练习1.已知抛物线和点是抛物线的顶点．交抛物线的对称轴于点E,DS；、D的坐标，并求出C
（1）直接写出点A、B、ABD△的解析式；2）求出直线BC（P点坐标．4SP在第一象限内的抛物线上，且S＝，求3（）若点COE△△ABP
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实用文案
题型二：
已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大
2+bx-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，2.例如图，已知抛物线y=ax其中A点的坐标是（-1,0），C点坐标是（-4,-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求△ACE的最大面积及E点的坐标；
（3）在
（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使S＝S，若存在，求EAC△PAC△出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式：
在抛物线上是否存在点P，使S＝S，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请ABCPAC△△说明理由．
y
OB
x
A
C
y
OB
x
A
C
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实用文案
12x+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A已知抛物线[练习]1.如图,y=的坐标为
2.-1）的坐标为（0，（2，0），点C）求抛物线的解析式；（1的面积最大时，DCE当△D，连结DC，DE点）E是线段AC上一动点，过点E作⊥x轴于点（2的坐标；求点D的坐标，若不存为等腰三角形，若存在，求点PP，使△ACP（3）在直线BC上是否存在一点.在，说明理由
y
DoxABEC
题图26
y
DoxABEC
题图26
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2+k的伴随直线为y=a（x-h）+k.例如：
抛物线2．在平面直角坐标系xoy中，规定：
抛物线y=a（x-h）2-3的伴随直线为y=2（x+1）-3，即y=2（x+1）y=2x-1
2-4的顶点为.伴随直线为
（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）；抛物线
2-4与其伴随直线的交点坐标为和y=（x+1）；
2-4m与其伴随直线相交于点A,B（点）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x-1）A在点B（2x轴交于点C，D．的右侧）与
m的值；90°CAB＝求①若∠27S当取得最大值△PBC的面积记为S，BC②如果点P（x,y）是直线上方抛物线的一个动点，
4.时，求m的值
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2+bx+3A（1,0）B（5,0）3.y=ax．抛物线经过点和点1）求该抛物线所对应的函数解析式；（22y=0.6x+3CDPx轴下方，相交于两点，点、（是抛物线上的动点且位于）该抛物线与直线PM∥yxCDMN,PCPDP△PCD运动过程中，交于点，、轴和直线连结直线在点分别与轴，、P的坐标；若不存在，说明理由；的面积是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值及32QS=SQ的坐）的条件下，在抛物线上是否存在点）在（，若存在，求出点，使（PCD△QCD△标，若不存在，请说明理由．
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2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
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题型三：
抛物线中，以面积为条件的几何问题
2+bx（a＜0）过点E（10，0）例3.如图，抛物线y=ax，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？
最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
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2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，练习3:
1.如图，二次函数y=﹣xOB=OC=3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：
抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
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2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，﹣9）2.如图，已知二次函数y=ax，该函数的图象与y轴交于点A（0，﹣5），与x轴交于点B，C
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）过点A作AD∥x轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MN∥y轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s．
①求s关于m的函数解析式；
②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积．
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2+bx+6（a≠0）的图象交y轴于C点，交x轴于A，B两点（点A3.二次函数y=ax在点B的左侧），2﹣4x﹣12=0的横坐标是一元二次方程x的两个根．点A、点B
（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式．
（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
点的横，若MN左侧），且MN=MN）如图3，线段是直线y=x上的动线段（点M在点3（．以Qx轴的垂线与抛物线交于点N轴的垂线与x轴交于点P，过点作M坐标为n，过点作x的值；若不能，请说明理为顶点的四边形能否为平行四边形？
若能，请求出n，Q，N，点PM由．
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实用文案
4.如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线CF下方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PH的长，并求出线段PH的最大值及此时点P的坐标；
（3）当PF﹣PM=1时，若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．
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