数学专题训练动点问题一.docx

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数学专题训练动点问题一

数学专题训练：

动点问题

（一）

一.

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）

A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5

2．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　　．

3．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　　°．

4．如图，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、…在射线OA上，B1、B2、B3、…在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，…，An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6…）．若OA1=1，则A6B6的长是　　．

5．操作发现

将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．

问题解决

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

（1）求证：

△CDO是等腰三角形；

（2）若DF=8，求AD的长．

6．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，DE与BC的数量关系是　　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照

（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

7．分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，

（1）中结论还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：

AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

八年级数学专题训练：

动点问题

（一）

参考答案与试题解析

一.

1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）

A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5

【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．

【解答】解：

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，

∴AB=2BC=4（cm），

∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，

∴BD=

BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），

若∠BED=90°，

当A→B时，∵∠ABC=60°，

∴∠BDE=30°，

∴BE=

BD=

（cm），

∴t=3.5，

当B→A时，t=4+0.5=4.5．

若∠BDE=90°时，

当A→B时，∵∠ABC=60°，

∴∠BED=30°，

∴BE=2BD=2（cm），

∴t=4﹣2=2，

当B→A时，t=4+2=6（舍去）．

综上可得：

t的值为2或3.5或4.5．

故选D．

【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．

2．（2013•兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　（8052，0）　．

【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．

【解答】解：

∵点A（﹣3，0）、B（0，4），

∴AB=

=5，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：

4+5+3=12，

∵2013÷3=671，

∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，

∵671×12=8052，

∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．

故答案为：

（8052，0）．

【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．

3．（2013•衡阳）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　70　°．

【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．

【解答】解：

∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，

∴△OAB≌△OA1B1，

∴∠A1OB1=∠AOB=30°．

∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．

故答案为：

70．

【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．

4．（2013•铜仁市）如图，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、…在射线OA上，B1、B2、B3、…在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，…，An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6…）．若OA1=1，则A6B6的长是　32　．

【分析】仔细观察图形，分析其中的规律，得到AnBn的规律性公式，然后求得n=6时的值．

【解答】方法一：

解：

由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，

OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=

，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=

，A3B3=A3A4=4，…，

从中发现规律为AnBn=2An﹣1Bn﹣1，其中A1B1=1，

∴AnBn=2n﹣1．

当n=6时，A6B6=26﹣1=25=32．

故答案为：

32．

方法二：

⇒A2B1=

，

∵A2B1=2，

∴q=2，a1=1，

∴AnBn=1•2n﹣1=2n﹣1，

∴A6B6=26﹣1=32．

解题技巧：

由以上例题可知，确定数列第一项及公比是解题关键．

【点评】本题考查图形的规律性．本题的图形是由一系列有规律的等腰直角三角形所组成，仔细观察图形，发现其中的规律，是解决本题的关键．

5．（2013•威海）操作发现

将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．

问题解决

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

（1）求证：

△CDO是等腰三角形；

（2）若DF=8，求AD的长．

【分析】

（1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4

，HF=4，DB=8

，BF=16，进而得到BC=8

，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4

，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长．

【解答】

（1）证明：

由图①知BC=DE，

∴∠BDC=∠BCD，

∵∠DEF=30°，

∴∠BDC=∠BCD=75°，

∵∠ACB=45°，

∴∠DCO+∠BCO=75°

∴∠DCO=30°

∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°，

∴∠DOC=30°+45°=75°，

∴∠DOC=∠BDC，

∴△CDO是等腰三角形；

（2）解：

作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，

在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，

∴DH=4

，HF=4，

在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，

∴DB=8

，BF=16，

∴BC=BD=8

，

∵AG⊥BC，∠ABC=45°，

∴BG=AG=4

，

∴AG=DH，

∵AG⊥BC，DH⊥BF，

∴AG∥DH，

又∵AD∥BF，∠AGC=90°，

∴四边形AGHD为矩形，

∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4

﹣4=12﹣4

．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

6．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．

（1）如图1，DE与BC的数量关系是　DE=

BC　；

（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照

（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．

【分析】

（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=

BC；

（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=

BC可得到BF+BP=

DE；

（3）与

（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=

DE．

【解答】解：

（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°，

∵点D是AB的中点，

∴DB=DC，

∴△DCB为等边三角形，

∵DE⊥BC，

∴DE=

BC；

故答案为DE=

BC．

（2）BF+BP=

DE．理由如下：

∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

而∠CDB=60°，

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中

，

∴△DCP≌△DBF（SAS），

∴CP=BF，

而CP=BC﹣BP，

∴BF+BP=BC，

∵DE=

BC，

∴BC=

DE，

∴BF+BP=

DE；

（3）如图，

与

（2）一样可证明△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

而CP=BC+BP，

∴BF﹣BP=BC，

∴BF﹣BP=

DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：

判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

7．（2013•淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，

（1）中结论还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

【分析】

（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案；

（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案．

【解答】解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，

∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，

∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA，

∴∠FDG=∠EAF，

∵在△EAF和△GDF中，

，

∴△EAF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，

∴∠GFE=90°，

∴GF⊥EF，GF=EF；

（2）GF⊥EF，GF=EF成立；

理由：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，

∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，

∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，

∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，

∴∠EAF+∠CDF=45°，

∵∠CDF+∠GDF=45°，

∴∠FDG=∠EAF，

∵在△GDF和△EAF中，

，

∴△GDF≌△EAF（SAS），

∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，

∴∠GFE=90°，

∴GF⊥EF，GF=EF．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出△EAF≌△GDF是解题关键．

8．（2013•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：

AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

【分析】

（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）分两种情况讨论即可求解．

【解答】

（1）证明：

∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，

∴DF=

CD=2t，

∴DF=AE；

解：

（2）∵DF∥AB，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t=2t，

解得：

t=10，

即当t=10时，▱AEFD是菱形；

（3）当t=

时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；

当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：

当∠EDF=90°时，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t+4t=60，

∴t=

时，∠EDF=90°．

当∠DEF=90°时，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠DEA=30°，

∴AD=

AE，

AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=

CD=2t，

∴60﹣4t=t，

解得t=12．

综上所述，当t=

时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键．

参与本试卷答题和审题的老师有：

zcx；星期八；CJX；未来；gbl210；gsls；zhjh（排名不分先后）

菁优网

2017年4月26日