普通高等学校招生全国统一考试江苏卷文科数学试题及参考答案解析.docx
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普通高等学校招生全国统一考试江苏卷文科数学试题及参考答案解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1},则实数a的值为________．
2.已知复数z＝（1＋i）（1＋2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件、400件、300件、100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
4.如图是一个算法流程图，若输入的x的值为
，则输出的y的值是________．
（第4题）
5.若tan
＝
，则tanα＝________．
6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则
的值是________．
6.
（第6题）
7.记函数f（x）＝
的定义域为D，在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
8.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
9.设等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝
，S6＝
，则a8＝________．
10.某公司一年购买某种货物600t，每次购买xt，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
11.已知函数f（x）＝x3－2x＋ex－
，其中e是自然对数的底数，若f（a－1）＋f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是________．
12.如图，在同一个平面内，向量
，
，
的模分别为1，1，
，
与
的夹角为α，且tanα＝7，
与
的夹角为45°，若
＝m
＋n
（m，n∈R），则m＋n＝________．
（第12题）
13.在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：
x2＋y2＝50上，若
·
≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
14.设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）＝
其中集合D＝
，则方程f（x）－lgx＝0的解的个数是________．
二、解答题：
本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥A－
BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
（1）求证：
EF∥平面ABC；
（2）求证：
AD⊥AC.
（第15题）
16.（本小题满分14分）已知向量a＝（cosx，sinx），b＝（3，－
），x∈[0，π]．
（1）若a∥b，求x的值；
（2）记f（x）＝a·b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
＋
＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
，两准线之间的距离为8，点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
（第17题）
18.（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10
cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm，分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm,现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
（第18题）
19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k，若数列{an}满足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n（n>k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（1）求证：
等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）若数列{an}既是“P
（2）数列”，又是“P（3）数列”，求证：
{an}是等差数列．
20.（本小题满分16分）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1（a>0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）求证：
b2>3a；
（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于－
，求a的取值范围．
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）1.1
2.
【解析】化简，复数z＝1＋2i＋i＋2i2＝－1＋3i，故z的模为
.
3.18 【解析】因为丙的产量占总产量的
，由分层抽样的性质知应从丙中抽取60×
＝18（件）．
4.－2 【解析】因为输入的x的值小于1，所以将x＝
代入y＝2＋log2x，解得y＝－2.
5.
【解析】因为tan
＝
＝
，所以tanα＝
.
6.
【解析】设球的半径为R，则V1＝2R×πR2＝2πR3，V2＝
πR3，所以
＝
.
7.
【解析】由题意得6＋x－x2≥0，即（x＋2）（x－3）≤0，解得－2≤x≤3，由几何概型的性质知所求概率P＝
＝
.
8.2
【解析】根据双曲线方程易知a＝
，b＝1，c＝2，渐近线方程为y＝±
x，右准线方程为x＝
＝
.当x＝
时，代入渐近线方程y＝±
x中，得y＝±
，所以PQ＝2×
＝
.因为F1F2＝2c＝4,所以S四边形F1PF2Q＝
F1F2·PQ＝2
.
9.32 【解析】因为数列{an}是等比数列，设公比为q，则
S3＝
＝
，S6＝
＝
，由
＝1＋q3＝9，得q＝2.
把q＝2代入S3＝
中，易得
＝
，
所以a1＝
，所以an＝
·2n－1＝2n－3，所以a8＝25＝32.
10.30 【解析】设y为一年的总运费与总储存费用之和，则y＝
·6＋4x＝
＋4x≥2
＝240，当且仅当
＝4x，即x＝30时y取得最小值．
11.
【解析】因为f′（x）＝3x2－2＋ex＋e－x≥0，
所以f（x）在定义域内为单调增函数．
又f（－x）＝－x3＋2x＋
－ex＝－f（x），所以f（x）为奇函数．
因为f（a－1）＋f（2a2）≤0，所以f（a－1）≤－f（2a2），即f（a－1）≤f（－2a2）．
又因为f（x）为单调增函数，
所以a－1≤－2a2，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤
，
所以实数a的取值范围是
.
12.3 【解析】由tanα＝7，得tan
＝
＝－
，
以点O为坐标原点，
方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
则点A的坐标为A（1，0），
由tan
＝－
，
的模为1，可得B
.
由tanα＝7，OC的模为
，可得C
.
由
＝m
＋n
，得
所以m＋n＝3.
13.[－5
，1] 【解析】设点P的坐标为（x，y），则
＝（－12－x，－y），
＝（－x，6－y），
·
＝x2＋y2＋12x－6y≤20.因为x2＋y2＝50，所以
·
＝x2＋y2＋12x－6y＝50＋12x－6y≤20，即2x－y＋5≤0，所以点P的轨迹在直线2x－y＋5＝0的上方．
又因为点P在圆x2＋y2＝50上，所以点P是图中粗实线部分，
由图易知点P横坐标的取值范围是[xM，xN]，
因为xM＝－5
，
消去y，易得x2＋4x－5＝0，
解得x1＝－5，x2＝1，即xN＝1，
所以点P横坐标的取值范围是[－5
，1]．
（第13题）
14.8 【解析】由于f（x）∈[0，1），则需考虑1≤x<10的情况．
在此范围内，x∈Q且x∈Z时，设x＝
，p，q∈N*，p≥2，且p，q互质．
若lgx∈Q，则由lgx∈（0，1），可设lgx＝
，m，n∈N*，m≥2，且m，n互质，
因此10
＝
，则10n＝
，此时左边是整数，右边是非整数，矛盾，因此lgxQ.
因为D是有理数集，所以自变量x∈D所对应的函数值都为有理数，
因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期xD的部分的交点．
画出函数图象如图所示，图中交点除（1，0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，
且x＝1处（lgx）′＝
＝
<1，则在x＝1附近有一个交点，
因此方程解的个数为8.
（第14题）
15.
（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.
又因为EF
平面ABC，AB
平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC
平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.
因为AD
平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB
平面ABC，BC
平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC
平面ABC，所以AD⊥AC.
16.
（1）因为a＝（cosx，sinx），b＝（3，－
），a∥b，
所以－
cosx＝3sinx.
若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.
于是tanx＝－
.又x∈[0，π],所以x＝
.
（2）f（x）＝a·b＝（cosx，sinx）·（3，－
）＝3cosx－
sinx＝2
cos
.
因为x∈[0，π]，所以x＋
∈
，从而－1≤cos
≤
.
于是，当x＋
＝
，即x＝0时，f（x）取到最大值3；
当x＋
＝π，即x＝
时，f（x）取到最小值－2
.
17.
（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为
，两准线之间的距离为8，
所以
＝
，
＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝
＝
，
因此椭圆E的标准方程是
＋
＝1.
（2）由
（1）知，F1（－1，0），F2（1，0）．
设P（x0，y0），因为P为第一象限的点，故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，直线PF1的斜率为
，直线PF2的斜率为
，
因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－
，直线l2的斜率为－
，
从而直线l1的方程为y＝－
（x＋1），①
直线l2的方程为y＝－
（x－1）．②
由①②解得x＝－x0，y＝
，所以Q
.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得
＝±y0，
即x
－y
＝1或x
＋y
＝1.
又点P在椭圆E上，故
＋
＝1.
因此点P的坐标为
.
18.
（1）由正棱柱的定义知CC1⊥平面ABCD，AC
平面ABCD，所以CC1⊥AC.
如图
（1），记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．
因为AC＝
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