小学数学解题思路巧解妙算大全2.docx

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小学数学解题思路巧解妙算大全2

【小学数学解题思路大全】巧解妙算

（二）

1.特殊数题

（1）21－12

　　当被减数和减数个位和十位上的数字（零除外）交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即（2－1）×9。

减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝（3－1）×9＝18。

减数从12—89，都可类推。

　　被减数和减数同时扩大（或缩小）十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大（或缩小）相同的倍数，其差不变。

如

　　210－120＝（2－1）×90＝90，

　　0.65－0.56＝（6－5）×0.09＝0.09。

（2）31×51

　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

　　若十位数字的和满10，进1。

如

　　证明：

（10a＋1）（10b＋1）

　　＝100ab＋10a＋10b＋1

　　＝100ab＋10（a＋b）＋1

　　（3）26×8642×62

　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。

若个位数的积是一位数，前面补0。

证明：

（10a＋c）（10b＋c）

　　＝100ab＋10c（a＋b）＋cc

　　＝100（ab＋c）＋cc（a＋b＝10）。

（4）17×19

　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。

　　原式＝（17＋9）×10＋7×9＝323

证明：

（10＋a）（10＋b）

　　＝100＋10a＋10b＋ab

　　＝[（10＋a）＋b]×10＋ab。

（5）63×69

　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。

　　原式＝（63＋9）×6×10＋3×9

　　＝72×60＋27＝4347。

证明：

（10a＋c）（10a＋d）

　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd

　　＝10a[（10a＋c）＋d]＋cd。

（6）83×87

　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。

如

证明：

（10a＋c）（10a＋d）

　　=100aa＋10a（c＋d）＋cd

　　＝100a（a＋1）＋cd（c＋d＝10）。

（7）38×22

　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

　　原式＝（30＋8）×（30－8）

　　＝302－82＝836。

　　（8）88×37

　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

（9）36×15

　　乘数是15的两位数相乘。

　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×10＝540。

　　55×15

（10）125×101

　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。

125＋1＝126。

　　原式＝12625。

　　再如348×101，因为348＋3＝351，

　　原式＝35148。

（11）84×49

　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。

　　原式＝8400÷2－84

　　＝4200－84＝4116。

（12）85×99

　　两位数乘以9、99、999、…。

在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

　　原式＝8500－85＝8415

　　不难看出这类题的积：

　　最高位上的两位数（或一位数），是被乘数与1的差；

　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；

　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明：

设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a（a≠0），则

　　如果被乘数的个位数是1，例如

　　31×999

　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。

　　71×9999＝709999－70＝709929。

　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为（10a＋1）的形式，由9组成的自然数可表示为（10n－1）的形式，其积为

　　（10a＋1）（10n－1）＝10n＋1a＋（10n－1）－10a。

（13）1÷19

　　这是一道颇为繁复的计算题。

　　原式＝0.052631578947368421。

　　根据“如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。

　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：

（1）先用0.1÷2＝0.05。

（2）把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止。

　　仔细分析这个算式：

　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。

这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。

　　除数末位是9，都可用此法计算。

　　例如1÷29，用0.1÷3计算。

　　1÷399，用0.1÷40计算。

2.估算

　　数学素养与能力（含估算能力）的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。

已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。

　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：

“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。

当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。

检验预测或作出决定……”

（1）最高位估算

　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。

　　例11137＋5044－3169

　　最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。

　　如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。

　　例351.9×1.51

　　整体思考。

　　因为51.9≈50，

　　而50×1.51≈50×1.5＝75，

　　又51.9＞50，1.51＞1.5，

　　所以51.9×1.51＞75。

　　另外9×1＝9，

　　所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。

　　例43279÷79

　　把3279和79，看作3200和80。

准确商接近40，若相差较大，则是错的。

（2）最低位估算

　　例如，6403＋232＋1578

　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。

（3）规律估算

　　和大于每一个加数；

　　两个真分数（或纯小数）的和小于2；

　　一个真分数与一个带分数（或一个纯小数与一个带小数）的和大于这个带分数（或带小数），且小于这个带分数（或带小数）的整数部分与2的和；

　　两个带分数（或带小数）的和总是大于两个带分数（或带小数）整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；

　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；

　　差总是小于被减数；

　　整数与带分数（或带小数）的差小于整数与带分数（或带小数）的整数部分的差；带分数（或带小数），与整数的差大于带分数（或带小数）的整数部分与整数的差。

　　带分数（或带小数）与真分数（或纯小数）的差小于这个带分数（或带小数），且大于带分数（或带小数）减去1的差；

　　带分数与带分数（或带小数与带小数）的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；

　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；

　　若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；

　　带分数与带分数（或带小数与带小数）的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积；例如，

　　A＜AB＜B。

　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；

　　若除数＜1，则商＞被除数；

　　若除数＞1，则商＜被除数；

　　若被除数＞除数，则商＞1；

　　若被除数＜除数，则商＜1。

（4）位数估算

　　整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。

　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；

　　例如，451×7103

　　最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7（位数）。

在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；

　　例如，147342÷27

　　14不够27除，商是4－2＝2（位数）。

　　被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。

　　例如，30226÷238

　　302够238除，商是5－3＋1＝3（位数）。

（5）取整估算

　　把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。

　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。

　　12×8.5≈10×10，积接近100。

3.并项式

　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。

　　例13.34＋12.96＋6.66

　　　　＝12.96＋（3.34＋6.66）

　　＝12.96＋10＝22.96

　　＝3－3＝0

　　例315.74－（8.52＋3.74）

　　＝15.74－3.74－8.52

　　＝12－8.52＝3.48

　　例41600÷（400÷7）

　　＝1600÷400×7

　　＝4×7

　　＝28

4.提取式

　　根据乘法分配律，可逆联想。

　　＝（3.25＋6.75）×0.4＝10×0.4

　　＝4

5.合乘式

　　　　＝87.5×10×1＝875

　　　　＝8－7＝1

6.扩缩式

　　例11.6×16＋0.4×36

　　　　＝0.4×（64＋36）

　　　　＝0.4×100＝40

　　例216×45

7.分解式

　　例如，14×72＋42×76

　　＝14×3×24＋42×76

　　＝42×（24＋76）

　　＝42×100＝4200

8.约分式

　　　　＝3×7×2＝42

　　例2169÷4÷7×28÷13

　　=1988

　　例71988198********8÷198********91989被除数与除数，分别除

9.拆分式

10.拆积式

　　例如，32×1.25×25

　　＝8×1.25×（4×25）

　　＝10×100＝1000

11.换和式

　　例10.1257×8

　　　　＝（0.125＋0.0007）×8

　　　　＝1＋0.0056＝1.0056

　　例48.37－5.68

　　　　＝（8.37＋0.32）－（5.68＋0.32）

　　　　＝8.69－6＝2.69

12.换差式

13.换乘式

　　例1123＋234＋345＋456＋567＋678

　　　　＝（123＋678）×3

　　　　＝801×3＝2403

　　例2（6.72＋6.72＋6.72＋6.72）×25

　　　　＝6.72×（4×25）＝672

　　例345000÷8÷125

　　　　＝45000÷（8×125）

　　　　＝45000÷1000＝45

　　例49.728÷3.2÷25

　　　　＝9.728÷（0.8×4×25）

　　　　＝9.728÷80

　　　　＝0.9728÷8＝0.1216

　　例533333×33333

　　　　＝11111×99999

　　　　＝11111×（100000－1）

　　　　＝1111100000－11111

　　　　＝1111088889

　　综合应用，例如

　　＝1000＋7＝1007

　　＝（11.75＋1.25－4.15－0.85）×125.25（转）

　　＝[（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）]×125.25（合）

　　＝8×125.25

　　＝8×（125＋0.25）（拆）

　　＝8×125＋8×0.25＝1002

14.换除式

　　例如，5600÷（25×7）

　　＝5600÷7÷25

　　＝800÷25＝32

15.直接除

17.以乘代加

　　例17＋4＋5＋2＋3＋6

　　　　＝9×3＝27

　　如果两个分数的分子相同，且等于分母之和（或差），那么这两个分数的和（或差）等于它们的积。

18.以乘代减

　　知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。

　　可见，各分数的分子都是1。

第一个减数的分母等于被减数的分母加1。

第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。

（n为不小于2的自然数）其差等于其积

19.以加代乘

　　一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数（另个乘数）小1

20.以除代乘

　　例如，25×123678448

　　＝123678448×（100÷4）

　　＝12367844800÷4

　　＝3091961200

21.以减代除

　　＝1986－662＝1324

　　3510÷15

　　＝（3510－1170）÷10＝234

22.以乘代除

　　例如，2.7÷4÷6×24÷27

23.以除代除

　　观察其特点，

24.并数凑整

　　例如，372＋499

　　＝372＋500－1＝871

　　56.7－12.8

　　＝56.7－13＋0.2＝43.9

25.拆数凑整

　　例如，476＋302

　　＝476＋300＋2＝778

　　9.42－3.1

　　＝9.42－3－0.1＝6.32

26.加分数凑整

　　应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。

　　例38.37-5.68

　　　=（8.37+0.32）-（5.68+0.32）

　　　=8.69-6=2.69

30.凑公因数

　　例如，1992×27.5＋1982×72.5

　　＝1992×27.5＋（1992-10）×72.5

　　＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5

　　＝1992×（27.5＋72.5）-725

　　=199200-725=198475

　　或原式=（1982＋10）×27.5＋1982×72.5

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31.和差积法

32.直接写得数

　　观察整数和分数部分，显然原式=3。

33.变数为式

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34.分解再组合

　　例如，（1＋2＋3＋…＋99）＋（4＋8＋12＋…＋396）

　　＝（1＋2＋3＋…＋99）＋4（1+2+3＋…＋99）

　　＝5（1＋2+3＋…＋99）

35.先分解再通分

　　有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。

　　判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。

把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。

　　57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。

用3、19试除，

　　[57，76]＝19×3×4＝228。

　　26＝2×13，65和91是13的倍数。

　　最小公分母为

　　13×2×5×7＝910。

37.巧用分解质因数

　　教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。

其实，分解质因数在解题中很有用处。

提供新解法，启迪创造思维。

例1184×75

　　原式＝2×2×46×3×5×5

　　=46×3×（2×5）2

　　=138×100=13800。

38.“1、1”法

　　一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。

　　为便于记忆，称“1、1”法。

39.“1，9，9…10”法

　　一个整数减去一个小数（末位不为0），可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。

40.改变运算顺序

　　例1650×74÷65

　　　　＝（650÷65）×74

　　　　＝10×74＝740

　　例2176×98÷49

　　　　＝176×（98÷49）

　　　　＝176×2＝352

　　例37÷13×52÷4

　　例4102×99－0.125×99×8

　　　　＝102×99－1×99

　　　　＝99×（l00＋１）

　　　　＝9900＋99＝9999

41.用数据

　　熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。

　　例1由37×3＝111

　　知37×6＝111×2＝222

　　37×15＝37×3×5＝555

　　例31000以内（不包括整十、整百）只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；

　　5、25、125、625。

　　这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。

　　例4特殊分数化小数

　　分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。

　　分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。

　　分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。

　　例51～9π

　　1×3.14＝3.146×3.14＝18.84

　　2×3.14＝6.287×3.14＝21.98

　　3×3.14＝9.428×3.14＝25.12

　　4×3.14＝12.569×3.14＝28.26

　　5×3.14＝15.7

　　熟记这些数值，可口算。

　　3.14×13=10π+3π=40.82

　　3.14×89=90π-π

　　=282.6-3.14=279.46

　　π×1.58

　　变为整数，三位数前面补0改为四位数，

　　这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。

也可从高位算起。

42.想特殊性

　　仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。

　　所以可直接得0。

　　例3（1.9-1.9×0.9）÷（3.8－2.8）

　　除数为1，则商就是被除数。

43.想变式

44.用规律

　　例1682＋702

　　两个连续奇（偶）数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。

　　原式＝68×70×2＋4

　　＝9520＋4＝9524。

　　例2522－512＝52＋51＝103

　　两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。

　　例318×19＋20

　　任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。

　　原式＝20×19－18＝362。

　　例416×17－15×18

　　四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。

　　原式＝2。

　　证明：

设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，

　　则a（a＋1）－（a－1）（a＋2）

　　＝a2+a-a2-a＋2＝2。

　　例5一个从第一位开始有规律循环的多位数（包括整数部分是0的纯循环小数），乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。

　　ABAB×CD＝（AB×100＋AB）×CD

　　＝AB×100×CD＋AB×CD

　　＝（CD×100＋CD）×AB

　　＝CDCD×AB

　　如：

125×5×1616×78

　　＝125×5×7878×16

　　＝（125×8）×（5×2）×7878

　　＝78780000

45.基础题法

　　在基础题上深化。

例如，

　　观察

（1）的解题过程，

　　逆用各步的结构特点，

46.巧归纳

　　例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋1

　　1～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。

但速度太慢。

　　有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。

　　由图知

　　1＋2＋3＋2+1＝32，

　　1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。

　　不难发现，和为最大加数的平方。

显然，

　　5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5

　　＝302－42-4

＝900－16－4＝880。

【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题

（一）

1.想数码

　　例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：

两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。

某同学的答数是16246。

试问该同学的答数正确吗？

（如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由）。

　　思路一：

易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。

　　相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。

所以该同学的加法做错了。

正确答案是

　　思路二：

每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。

这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。

　　不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。

”

2.尾数法

　　例1比较1222×1222和1221×1223的大小。

　　由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。

　　知1222×1222＞1221×1223

　　例2二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。

求这两个数。

　　由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。

　　由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。

　　甲数是348，乙数是34。

　　例3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。

　　由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；

　　由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为

　　1