第一章1简谐运动.docx

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第一章1简谐运动

学案1　简谐运动

[学习目标定位]　1.了解什么是机械振动、简谐运动.2.知道什么是弹簧振子，理解振子的位移.3.知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义，理解周期和频率的关系.4.理解简谐运动的能量，学会分析弹簧振子中动能、势能和机械能的变化情况．

1．在弹性限度内，弹力的大小跟弹簧伸长（或缩短）的长度成正比．

2．机械能守恒定律：

在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

一、机械振动

物体（或物体的某一部分）在某一位置两侧所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动．这个位置称为平衡位置．

二．简谐运动

图1

1．振子模型：

如图1所示，如果小球与水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可以忽略不计，这样的系统称为弹簧振子．

2．如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动．

3．描述简谐运动的物理量有振幅、周期和频率．

4．做简谐运动的振动系统，如果不考虑摩擦和空气阻力，振动系统的总机械能守恒．

一、简谐运动

[问题设计]

如图2所示，小球静止在O点时，弹簧没有发生形变，长度为原长．把小球拉到平衡位置的右方A点时，弹簧伸长量为OA，放开小球，观察小球的振动，并回答下列问题．

图2

（1）若水平杆与小球之间有摩擦，则小球运动一段时间会停止，若忽略摩擦，会怎样？

（2）（忽略摩擦力）弹簧最大伸长的长度OA和弹簧最大压缩的长度OA′有什么关系？

（3）（忽略摩擦力）小球从A经O到A′和小球从A′经O到A所用的时间有什么关系？

（4）小球在运动过程中所受的弹力的方向有什么特点？

（5）若以O为坐标原点，沿振动方向建立Ox轴，向右为正，则小球受到的弹力与小球位移有什么关系？

（位移是相对于O点的）

答案　

（1）忽略水平杆与小球之间的摩擦力，小球将一直在O点附近往复运动下去．

（2）OA＝OA′

（3）两时间相等．

（4）弹力总是指向平衡位置．

（5）弹力F与位移x的关系为F＝－kx.

[要点提炼]

1．弹簧振子是一种理想化模型，表现在构造上是一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个小球；表现在运动上是没有（填“有”或“没有”）阻力．

2．弹簧振子的平衡位置：

振子原来静止时的位置．

3．位移

（1）定义：

振子在某时刻的位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段．

（2）特点：

运动学中位移是由初位置指向末位置，而振子的位移是以平衡位置为参考点，由平衡位置指向振子某时刻所在位置．

4．回复力

（1）回复力是根据力的作用效果命名的，它可以是弹力，也可以是其他力（包括摩擦力），或几个力的合力，或某个力的分力．

（2）回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．

5．简谐运动的动力学特征：

回复力F＝－kx.

（1）k是比例系数，并非弹簧的劲度系数（水平弹簧振子k为劲度系数）．其值由振动系统决定，与振幅无关．

（2）“－”号表示回复力的方向与位移的方向相反．

6．简谐运动是最简单、最基本的振动．一切复杂的振动都可看成是若干简谐运动的叠加．

[延伸思考]

判断弹簧振子的平衡位置是以“弹簧处于原长位置时振子的位置”为依据吗？

F＝－kx中的“x”是弹簧振子中弹簧的伸长量吗？

答案　不是．弹簧振子有多种表现形式，如图所示，有水平弹簧振子、竖直弹簧振子、光滑斜面上的弹簧振子等．水平弹簧振子的平衡位置是弹簧处于原长时振子的位置，而竖直弹簧振子处于平衡位置时，弹簧有一定的伸长量（伸长量为x0＝

），光滑斜面上弹簧振子处于平衡位置时，弹簧也有一定的伸长量．所以弹簧处于原长时，振子所在的位置不一定是弹簧振子的平衡位置，当弹簧振子不发生振动时，振子所处的位置为平衡位置．

从上面的分析知，F＝－kx中的“x”是振子离开平衡位置的位移，并不总等于弹簧的伸长量．

二、振幅、周期和频率

[问题设计]

图3

　如图3所示，水平桌面上的木质框架质量为M，悬挂在框架上的轻质弹簧劲度系数为k，小铁球质量为m.小铁球能静止在A点，现将小铁球从A上方1cm处的B由静止释放，经0.5s小铁球第1次到达A点．小铁球的运动可视为简谐运动，则：

1．小铁球的周期是多少？

振幅多大？

答案　T＝2s，A＝1cm.

2．有人说小铁球的振幅只不过是其振动过程中位移的一个特殊值而已，你是否赞同这个观点？

答案　不赞同．振动中的位移与振幅是振动中的两个重要物理量，其不同处有许多方面：

（1）振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，而位移是振动物体相对于平衡位置的位置变化．

（2）振幅是表示振动强弱的物理量，而位移是表示振动物体某时刻离开平衡位置的大小与方向．简谐运动中振幅是不变的，但位移是时刻变化的．（3）振幅是标量，位移是矢量．（4）振幅在数值上等于最大位移的大小．

[要点提炼]

1．振幅A

（1）振幅：

振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，在数值上等于最大位移的绝对值．

（2）物理意义：

表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的能量越大．

2．全振动

图4

振动物体往返一次（以后完全重复原来的运动）的运动叫做一次全振动，例如水平方向运动的弹簧振子的运动：

O→A→O→A′→O或A→O→A′→O→A为一次全振动．（如图4所示，其中O为平衡位置，A、A′为最大位移处）

3．周期和频率

内容

周期

频率

定义

做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间，叫做振动的周期

单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率

单位

单位为秒（s）

单位为赫兹（Hz）

物理

含义

周期是表示振动快慢的物理量

频率是表示振动快慢的物理量

决定

因素

物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关

关系式

T＝

或f＝

三、简谐运动的能量及运动中各物理量的变化

[问题设计]

图5

　如图5所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动，

（1）弹性势能最大的位置是________（A、O或B），动能最大的位置是________（A、O或B）．

（2）在一个周期内的能量是如何变化的？

答案　

（1）A、B　O　

（2）从A→O的过程中，动能增大，势能减小；从O→B，动能减小，势能增大；从B→O，动能增大，势能减小；从O→A，动能减小，势能增大；在平衡位置，动能最大，势能为零；在最大位移处，动能为零，势能最大．在一个周期内，动能和势能大小做两次周期性变化．

[要点提炼]

1．弹簧振子在振动的一个周期内，动能和弹性势能完成两次周期性的变化，经过平衡位置时，动能最大，弹性势能最小，经过最大位移处时，弹性势能最大，动能最小．

2．弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能和弹性势能之和不变，即总机械能守恒（所以振幅保持不变）．即E＝Ep＋Ek＝Epm＝Ekm＝

mv

.

3．简谐运动中，位移、回复力、加速度三者的变化周期相同，变化趋势相同，均与速度的变化趋势相反，平衡位置是位移、回复力和加速度方向变化的转折点．

4．最大位移处是速度方向变化的转折点．

一、对简谐运动回复力的理解

例1

　如图6所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是（　　）

图6

A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用

C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大

D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置

解析　回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．

答案　AD

二、对简谐运动的振幅、周期、频率的理解

例2

　弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20cm，振子由A运动到B的时间是2s，如图7所示，则（　　）

图7

A．从O→B→O振子做了一次全振动

B．振动周期为2s，振幅是10cm

C．从B开始经过6s，振子通过的路程是60cm

D．从O开始经过3s，振子处在平衡位置

解析　振子从O→B→O只完成半个全振动，A选项错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2s，所以振动周期是4s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10cm，B选项错误；t＝6s＝1

T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60cm，C选项正确；从O开始经过3s，振子处在位置A或B，D选项错误．

答案　C

针对训练　一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s（如图8所示）．过B点后再经过t＝0.5s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是（　　）

图8

A．0.5sB．1.0s

C．2.0sD．4.0s

答案　C

解析　该题考查的是振动的对称性．根据题意，由振动的对称性可知：

A、B的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝

×0.5s＝0.25s．质点从B向右到达右方最大位移处（设为D）的时间tBD＝

×0.5s＝0.25s．所以，质点从O到D的时间tOD＝

T＝0.25s＋0.25s＝0.5s．所以T＝2.0s.

三、对简谐运动能量的理解

例3

　如图9所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.

图9

（1）简谐运动的能量取决于________，物体振动时________能和________能相互转化，总______守恒．

（2）振子在振动过程中，下列说法中正确的是（　　）

A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小

B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小

C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变

（3）若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是（　　）

A．振幅不变B．振幅减小

C．最大动能不变D．最大动能减小

解析　

（1）简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．

（2）振子在平衡位置两侧做往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，弹性势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以总机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误．

（3）振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误．由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．

答案　

（1）振幅　动　弹性势　机械能

（2）ABD　（3）AC

1．（简谐运动的平衡位置和位移）如图10所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是（　　）

图10

A．钢球运动所能达到的最低处为平衡位置

B．钢球原来静止时的位置为平衡位置

C．钢球振动到距原静止位置下方3cm处时位移为3cm

D．钢球振动到距原静止位置上方2cm处时位移为2cm

答案　BC

解析　振子的平衡位置是指振子原来静止时的位置，故A错，B对．振子的位移为从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段，有方向，有正负，可判断C对，D错．

2．（对简谐运动回复力的理解）如图11所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　）

图11

A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力

B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力

C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力

D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力

答案　D

解析　物块A受到重力、支持力和B对它的摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．

3．（描述简谐运动的物理量）弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8cm，完成30次全振动所用时间为60s，则（　　）

A．振子的振动周期是2s，振幅是8cm

B．振子的振动频率是2Hz

C．振子完成一次全振动通过的路程是16cm

D．从振子通过O点时开始计时，3s内通过的路程为24cm

答案　CD

解析　A、B之间的距离为8cm，则振幅为4cm，故A错；T＝

s＝2s，f＝0.5Hz，B错；振子完成一次全振动通过的路程是4A，即16cm,3s内运动了1.5个周期，故总路程为24cm，C、D正确．

4．（简谐运动的能量）一个做简谐运动的物体，每次势能相同时，下列说法中正确的是（　　）

A．有相同的动能B．有相同的位移

C．有相同的加速度D．有相同的速度

答案　A

解析　做简谐运动的物体机械能守恒，当势能相同时，动能一定相同，A正确；当势能相同时，物体位移的大小相同，但方向无法确定，同理加速度及速度的方向关系也无法确定，故B、C、D错误．

题组一　对机械振动的理解

1．下列运动属于机械振动的是（　　）

①乒乓球在地面上的自由来回上下运动　②弹簧振子在竖直方向的上下运动　③秋千在空中的来回运动　④竖立于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动

A．①②B．②③

C．③④D．①②③④

答案　D

解析　机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动．故D项正确．

2．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是（　　）

A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置

B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

答案　B

解析　平衡位置是物体原来静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关．如乒乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的中心位置应在台面上方，A错误；振动位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的振动位移最大，B正确，C、D错误．

3．做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内（　　）

A．振子的位移越来越大

B．振子正向平衡位置运动

C．振子速度与位移同向

D．振子速度与位移方向相反

答案　BD

解析　弹簧振子在某段时间内速度越来越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小，A错，B对．位移方向是从平衡位置指向振子，故二者方向相反，C错，D对．

4．如图1所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处a向平衡位置O运动过程中（　　）

图1

A．位移方向向左，速度方向向左

B．位移方向向左，速度方向向右

C．位移不断增大，速度不断减小

D．位移不断减小，速度不断增大

答案　BD

解析　在振子从最大位移处a向平衡位置O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大，A、C错误；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确．

题组二　简谐运动的回复力

5．关于简谐运动的回复力，下列说法正确的是（　　）

A．可以是恒力

B．可以是方向不变而大小变化的力

C．可以是大小不变而方向改变的力

D．一定是变力

答案　D

6．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2kg，当它运动到平衡位置左侧20cm时，受到的回复力是4N；当它运动到平衡位置右侧40cm处时，它的加速度为（　　）

A．20m/s2，向右B．20m/s2，向左

C．40m/s2，向右D．40m/s2，向左

答案　D

解析　加速度方向指向平衡位置，因此方向向左．由力和位移的大小关系可知，当x＝40cm时，F＝8N，a＝

＝40m/s2.

题组三　简谐运动的振幅、周期、频率

7．一质点做简谐运动，振幅是4cm，频率是2.5Hz，某时刻该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5s质点的位移和路程分别是（　　）

A．4cm,24cmB．－4cm,100cm

C．零，100cmD．4cm,100cm

答案　D

解析　周期T＝

＝

s＝0.4s，t＝2.5s＝6

T，质点在2.5s时到达正向最大位移处，故位移为4cm，路程为6×4A＋A＝25A＝100cm.

8．质点沿直线以O点为平衡位置做简谐运动，A、B两点分别为正向最大位移处与负向最大位移处的点，A、B相距10cm，质点从A到B的时间为0.1s，从质点经过O点时开始计时，经0.5s，则下述说法正确的是（　　）

A．振幅为5cm

B．振幅为10cm

C．质点通过的路程为50cm

D．质点位移为50cm

答案　AC

解析　A、B相距10cm，则振幅为5cm.由A到B历时0.1s，则周期T＝0.2s，从平衡位置开始经过0.5s，即为2.5个周期，通过的路程为s＝2.5×4×5cm＝50cm，位移为0.故正确答案为A、C.

9.如图2所示，小球m连着轻质弹簧，放在光滑水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，O点为它的平衡位置，把m拉到A点，OA＝1cm，轻轻释放，经0.2s运动到O点，如果把m拉到A′点，使OA′＝2cm，弹簧仍在弹性限度范围内，则释放后运动到O点所需要的时间为（　　）

图2

A．0.2sB．0.4s

C．0.3sD．0.1s

答案　A

解析　不论将m由A点还是A′点释放，到达O点的时间都为四分之一个周期，其周期与振幅大小无关，只由振动系统本身决定，故选A.

10．如图3所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点时开始计时，则（　　）

图3

A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期

B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期

C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期

D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期

答案　B

解析　从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错．振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错．

11．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O，质点经过a点（xa＝－5cm）和b点（xb＝5cm）时速度相同，所用时间tab＝0.2s，质点由b回到a点所用的最短时间tba＝0.4s，则该质点做简谐运动的频率为（　　）

A．1HzB．1.25Hz

C．2HzD．2.5Hz

答案　B

解析　由题意可知a、b是关于平衡位置对称的点，且不是最大位移处，设右侧的最大位移处为c点，则运动的示意图如图所示．从a→b，tab＝0.2s；从b到c再到a，tba＝0.4s．由对称性可知，从b→c所用时间tbc＝0.1s，则tOc＝

＝0.2s，所以T＝0.8s，则f＝

＝1.25Hz，B正确．

题组四　对简谐运动的能量的理解

12．弹簧振子在水平方向上做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．在平衡位置时它的机械能最大

B．在最大位移处时它的弹性势能最大

C．从平衡位置到最大位移处它的动能减小

D．从最大位移处到平衡位置它的机械能减小

答案　BC

解析　弹簧振子做简谐运动时机械能守恒，因此选项A、D均错误；在最大位移处时，弹性势能最大，选项B正确；从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动，速度减小，动能减小，选项C正确．

13．物体做简谐运动的过程中，下述物理量中保持不变的是（　　）

A．振幅B．动能

C．势能D．机械能

答案　AD

解析　物体做简谐运动的过程中，机械能守恒，振幅不变，选项A、D正确；当物体向平衡位置运动时，动能增大，势能减小；当物体远离平衡位置运动时，动能减小，势能增大，选项B、C错误．

14．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为（　　）

A．2TB．T

C.

D.

答案　C

解析　振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没方向．C正确．

15.如图4为一水平弹簧振子的振动图像，由此可知（　　）

图4

A．在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大

B．在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小

C．在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小

D．在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大

答案　B

解析　题图描述的是振子在不同时刻的位置，t2和t4是在平衡位置处，t1和t3是在最大位移处，头脑中应出现弹簧振子运动的实物图形．根据弹簧振子运动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹力最大，所以B项正确．