有趣的数学游戏55748.docx
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有趣的数学游戏55748
实数、超实数和博弈游戏：
数学的结构之美
（一）一个博弈游戏
让我们来玩一个游戏。
下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。
我们轮流拿走一个自己的石子，并且规定如果一个石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。
谁先没有拿的了，谁就输了。
○●●○●●○●●○
●○○●○●●○●
○○○○
●●●○●●●
●
比如说，如果你先走的话，你可以把第四行的第三个石子拿走，按规定第四行将会只剩下前面两个石子：
○●●○●●○●●○
●○○●○●●○●
○○○○
●●
●
现在轮到我走了。
我可以拿走第二行倒数第二个石子，于是整个棋局变成了这样：
○●●○●●○●●○
●○○●○●●
○○○○
●●
●
现在，假如说你拿走了第二行中的第一个石子（于是第二行就没了），那么我就赢定了。
我可以拿走第一行中的第一个石子，从而让整个棋局只剩下后面三行：
○○○○
●●
●
这三行中有四个白石子，有三个黑石子，并且每一行都是同种石子。
于是整个局面完全变成了一个拼石子个数的游戏，我只需要一个一个地拿走白色石子，你必然将会率先无路可走。
受此启发，我们自然地想到了一种刻画棋局的方式：
把每个白色石子记作+1，把每个黑色石子记作-1。
于是○○○○+●●+●=4–2–1=1，结果是一个正数，这就表明该局面下我将必胜，即使此时轮到我先走。
你会发现上面的说法很有道理。
毕竟白色的石子越多，对我越有利，给我带来的效用为正；而黑色的石子会减小我获胜的希望，当然应该给它赋上一个负的值。
四白三黑算出来的结果为正1，直观意义就是我能以一步的优势获胜。
如果棋局是这样：
○○
●●●●
那么○○+●●●●=2–4=-2，是一个负数，这就意味着不管谁先走，你都能必胜，因为你能比我多走两步。
我们不妨把一个棋局对应的数叫做棋局的“特征值”。
特征值为正，就表明不管谁先走我都能必胜；特征值为负，就表明不管谁先走你都能必胜；而特征值的绝对值，则直观地量化了胜负的悬殊。
现在，考虑下面这个棋局：
○○
●●
那么○○+●●=2–2=0，这表明此时的情形介于“我必胜”和“你必胜”之间。
事实上也是这样——如果我先走你后走，你就赢定了；如果你先走我后走，我就赢定了。
这是因为，这个棋局的特征值为0，双方能够走的步数相同，当然谁后走谁就赢定了。
真正有趣的事情出现了。
考虑下面的棋局：
○●
它的特征值应该是多少呢？
容易看出，它的特征值是一个正数，因为不管谁先走，显然我都能赢。
同时，它的特征值也应该比1小，因为只有一个○要比○●赢得更爽一些。
事实上，单看○●黑方确实无论如何都会输，但在某些场合下，○后面的这个●能让黑方喘上一口气。
比如下面这个棋局：
○●
●
如果我先走，显然你必胜无疑。
如果你先走呢？
先走的人获胜的难度更大，你可要好好想想策略。
你可以拿走那个单独成行的●，但当我拿走○之后，你就得眼睁睁地看着自己剩下的那个●被一并收走。
此时，你或许会意识到，你本来还能多走一步的，可惜这一步被浪费掉了。
因此，你更好的做法就是，一上来先拿走○后面的●。
运用这种策略，显然你也会必胜无疑。
可见，不管是我先走还是你先走，整个棋局对于你来说都是必胜的，从而有○●+●=○●–1<0，这再次说明了○●是一个小于1的数。
那么，○●是否等于1/2呢？
答案是肯定的，考虑下面这个棋局：
○●
○●
●
如果我先走，本质上不同的走法只有一种，并且局面将会立即变成刚才那种你必胜的情形，因而你将必胜。
如果是你先走呢？
拿走那个单独成行的●会让你提前锁定败局，更好的选择则是像刚才一样，先拿走某个○后面的●，为自己多赢得一步。
现在，石子只剩下了○●、○、●这么三行。
那么，我应该拿走哪一个○呢？
拿走那个单独成行的○会让局面再次变回刚才那种你必胜的情形，更好的选择则是拿走后面有●的○，这样我便能让你损失一步。
掌握了这个技巧后，我就能做到必胜了。
综上所述，整个棋局是一个谁后走谁就赢定了的局面。
于是○●+○●+●=0，也就是○●+○●–1=0，可以解得○●等于1/2。
也就是说，在○●中，我将以半步的优势获胜。
对应地，●○就等于-1/2，此时你将以半步的优势获胜。
注意，目前并没有任何理论告诉我们，这么加减是合理的。
不过我们却发现，这么加减出来的结果真的是对的。
比如说，○●+○●+○●+●=1/2+1/2+1/2–1=1/2，而棋局
○●
○●
○●
●
对于我来说真的就是必胜的局面！
这背后一定有一个更深层次的原因：
棋局之间的加减和数与数之间的加减一定存在着某些共通的地方。
也就是说，为了解释“为什么棋局的加法和数的加法如此之像”，我们需要证明，两者具有完全相同的代数结构。
我们需要建立一个从棋局到实数的映射法则，然后说明全体棋局（或者全体棋局的一部分）与全体实数（或者全体实数的一部分）是同构的。
正如Poincaré所说，诗歌的艺术在于给相同的东西取不同的名字，数学的艺术在于给不同的东西取相同的名字。
两个看似毫不相关的东西竟然是同构的，这在数学中是最令人激动的事情之一。
（二）熟悉而又陌生的算术
为了说明棋局就是算术，我们首先要定义，什么是算术。
我们需要站在系统之外，对算术的本质做一个描述。
算术，就是对一些数做加减乘除的运算。
这似乎对我们完全没有帮助——什么是数，什么是加减乘除？
其实，数，就是一些具有大小关系的元素，这些元素可以按照它们的大小关系串成一根链条。
这意味着，首先，任意两个数都是可以比较大小的，并且对于两个不同的数x和y来说，x要么大于y，要么小于y。
然后，大小关系必须具有传递性，如果x小于y，y又小于z，那么x一定小于z。
形式化地说，我们要求元素之间存在某种暂且记作≤的关系，使得它们满足：
1.完全性：
对于任意的x和y，x≤y和y≤x当中至少有一个成立。
2.反对称性：
对于任意的x和y，如果x≤y和y≤x同时成立，那么x和y一定是同一个元素。
（今后我们用符号x=y表示x和y是同一个元素，注意这个新符号和≤的区别：
前者是一个真实的符号，它用来表达“是同一个元素”这个概念；后者则是我们假想的一种抽象符号，它不见得有什么具体的意义。
）
3.传递性：
对于任意的x、y和z，如果x≤y和y≤z同时成立，那么一定有x≤z。
这样的话，所有的元素都被≤穿成了一条绳子。
我们就说，这些元素构成了一个“全序关系”。
我们还需要元素之间的“加法”和“乘法”满足一系列的性质：
1.对加法封闭：
对于任意的x和y，x+y也仍然是某一个元素
2.对乘法封闭：
对于任意的x和y，x·y也仍然是某一个元素
3.加法交换律：
对于任意的x和y，x+y=y+x
4.乘法交换律：
对于任意的x和y，x·y=y·x
5.加法结合律：
对于任意的x、y和z，（x+y）+z=x+（y+z）
6.乘法结合律：
对于任意的x、y和z，（x·y）·z=x·（y·z）
7.乘法对加法的分配律：
对于任意的x、y和z，x·（y+z）=x·y+x·z
8.存在加法单位：
存在某一个特殊的元素，通常记作0，使得对于任意的x，都有x+0=x
9.存在乘法单位：
存在某一个特殊的元素，通常记作1，使得对于任意的x，都有x·1=x
10.存在加法逆元：
对于任意的x，总能找到某一个特殊的元素，通常记作-x，使得x+（-x）=0
11.存在乘法逆元：
对于任意不为0的x，总能找到某一个特殊的元素，通常记作x-1 ，使得x·x-1 =1
12.对于任意的x、y和z，如果x≤y，那么一定有x+z≤y+z
13.对于任意的x、y，如果0≤x和0≤y同时成立，那么一定有0≤x·y
有几点需要注意。
我们虽然只说了加法单位满足x+0等于x，但其实由于加法交换律，0+x也等于x。
乘法单位也是如此。
我们说“存在加法单位”，而没说“存在唯一的加法单位”，这是因为加法单位最多只能有一个，如果存在，必定唯一。
假如a和b是两个加法单位的话，你会发现因为a是加法单位，所以a+b等于b，又因为b是加法单位，所以a+b等于a，因而a=b。
我们说“存在加法逆元”，而没说“存在唯一的加法逆元”，也是因为同一个元素的加法逆元最多只能有一个，如果存在，必定唯一。
假设a有两个加法逆元b和c，那么就有b=b+0=b+（a+c）=（b+a）+c=0+c=c，因此b其实就是c。
乘法单位和乘法逆元也是如此。
这基本上刻画出了作为一个算术系统所有需要满足的性质。
第4条和第5条告诉了我们，加法和乘法并没有那么玄妙，它们不过是从元素对到元素的映射。
第6条到第10条列举了加法和乘法的基本性质。
第11条和第12条定义了0和1这两个特殊的数。
第13条中出现了“加法逆元”一词，不过“相反数”一词或许会更亲切一些。
第14条中出现了“乘法逆元”一词，不过“倒数”一词或许也会更亲切一些。
第13条和第14条实际上定义了减法和除法。
减去x，就相当于加上-x；除以x，就相当于乘以x-1 。
这两条性质保证了，我们可以自由地做减法，我们可以自由地做除法，得到的数也仍然是一个合法的元素，不会出现不够减、不允许减、不够除、不允许除的情况（除以0除外）。
因为，每一个元素都有相反数，每一个非0元素都有倒数。
等等，这些性质就能刻画算术系统了？
似乎漏掉了不少其他关键的性质吧。
比如，0乘以任何数都等于0，这条性质哪儿去了？
其实，剩下的没有写出的性质，包括（-1）·x=-x、0≤1、0≤x·x等等，都是已有性质的推论。
我们可以从已有性质出发，完全不关心它们的实际意义，抽象地证明出算术系统应该具有的其他性质。
例如，为了证明0·x=0，只需要注意到：
0·x=（0+0）·x=0·x+0·x
两边同时加上0·x的加法逆元，等式仍然成立（这是因为，如果a=b，那么加法运算将会把a+c和b+c映射到同一个数）：
0·x+（-0·x）=（0·x+0·x）+（-0·x）
0=0·x+（0·x+（-0·x））
0=0·x+0
0=0·x
同时满足第4条到第14条的话，这些元素就构成了一个“域”。
如果还满足第15条和第16条（当然还有第1条到第3条），这就是一个“有序域”。
最小的有序域是有理数域。
如果把上面所说的元素想成是全体有理数，把小于等于、加法和乘法解读为我们平常所说的小于等于、加法和乘法，那么整个系统满足上面所有16条性质。
实数域则是一个更“大”的有序域，而有理数域只是它的其中一个“子有序域”。
当然，还有一些有序域，它里面的元素根本不是常规意义上的数，它们之间的大小关系、加法乘法也根本不是常规意义上的大小关系和加法乘法。
不过，人们已经证明了，任何一个有序域里一定都包含有一个子有序域，它和有理数域同构——它里面的一切都和有理数一样，只是各个元素的名字不一样罢了。
也就是说，在任何一个有序域中，我们都可以从加法单位和乘法单位出发，把全部的或者部分的、本来有可能并不是数的元素看成是一个个的数，得到一个与有理数等价的系统：
加法单位就是0，乘法单位就是1，等于1+1的那个元素就是2，等于2+1的那个元素就是3，2的加法逆元就是-2，2的乘法逆元就是1/2，等等，而且这些元素确实是不同的元素，它们之间的小于等于、加法乘法的运算结果也确实符合有理数之间的运算结果。
正因为这样，我们才说，这16个有序域条件比较完整地描述了算术系统的要素，足以刻画算术系统了。
这里，我们突然有了一个非常激动人心的问题：
一个有序域有没有可能比实数域更大（实数域只和它的某个子有序域同构）？
有理数域已经封闭了，但加进去一系列新的元素之后，我们有可能得到一个封闭的、更大的实数域；那么，能否在实数域里面也加进去一些新的元素，让实数域进一步扩张成某个更大的有序域？
不不不，答案没有“复数域”那么简单——复数域不是有序域，因为它不是有序的。
也就是说，我们无法为所有复数安排≤关系，使得它能满足有序域的全部条件。
在这个比实数域更大的有序域中，我们不但能继续加减乘除，还要能继续做大小比较，每一个新的数和每一个原有的实数之间都有一个确定的大小关系。
直观上，这似乎是不大可能的，因为实数已经把那根“线”填满了。
（三）外星人的数学
对算术结构的形式化，让我想起了一些更折磨人的哲学问题：
我们的数学体系为什么是这样的？
一个文明的数学体系一定是这个样子的吗？
比方说，如果人类没有视觉这种感官，我们还会创立几何这门学科吗？
同时，人类是否会因为缺乏某种独特的感官，而没能建立起一个更加神奇的数学分支？
同样地，我们总会认为，自然数是最自然的概念，是每一种文明都不可避免会遇到的概念。
是这样吗？
会不会有某一种外星文明，他们也有一套自己的算术系统，虽然也有加减，虽然也有乘除，虽然跟我们正在使用的算术系统是同构的，但其直观意义和表示方法都跟我们完全不同。
或许，在我们这里很难表达的数，在他们那里看来几乎是平凡的；或许，在我们这里很直观很自然的数，在他们的体系里却需要异常复杂的记号来表示。
作为一个科幻迷，我甚至马上想到了，这应该是一个绝佳的科幻素材：
数学家发现了地外生命的某种全新的数学系统，并且一步一步尝试去解读它。
为此，数学家们必须抛弃任何已有的假设，忘掉什么是自然数，什么是零，什么是加减，什么是乘除，从一片空白开始，尝试理解外星算术系统，逐渐搭建起外星数学的大厦。
《你一生的故事》的数学版，多么激动人心的一件事情啊！
这样的小说已经有了。
你猜谁写的？
DonaldKnuth！
第一次听说这个时，第一反应除了膜拜还是膜拜：
Knuth简直是太牛了，他竟然写过一本小说！
这本100多页的小说叫做SurrealNumbers（中译《研究之美》，电子工业出版社2012年1月出版，顺便吐槽中译名），中文意思大致就是“超现实的数”。
我打算直接把它叫做“超实数”——正如“实数”就是“现实的数”一样，“超实数”也就是“超现实的数”了（其实，不得不说的是，“超实数”这个译名有一个很大的弊端：
它可能会与另一个叫做hyperrealnumbers的概念发生混淆）。
小说的副标题则是HowTwoEx-StudentsTurnedontoPureMathematicsandFoundTotalHappiness。
小说讲述了Alice和Bill，一对年轻男女，逃到一个漂亮的孤岛上“寻找自我”。
他们在岛上发现了一块古老的石板，石板上用希伯来语写着一些数学公理。
然后，我们将跟随Alice和Bill的思路，逐渐探索这些公理的意义，期间会走不少的弯路，历经一些失败的尝试，到最后终于成功恢复出了一个完整的算术系统。
根据Wikipedia的描述，一个全新的数学概念竟然首先出自于一本小说，这是极罕见的例子。
在下面的讨论中，时刻记住：
我们在学习外星数学。
我们不能有任何先入为主的概念。
请忘记“数”的概念，忘记“小于等于”的概念。
下面所说的“数”是某种全新的物体，它可能与我们熟知的数有某种对应的关系，也可能与我们熟知的数没有任何关系。
“小于等于”也是一种全新的概念，这四个字整个儿是一个新词，它不是由“小于”和“等于”合成的。
它的意思有可能和我们的小于等于相吻合，也有可能和我们的小于等于不吻合，甚至有可能根本就没有什么合理的“意思”。
“大于等于”只是一个与“小于等于”对称的说法。
如果x小于等于y，我们就说y大于等于x。
偶尔我们会用≤代替“小于等于”，用≥代替“大于等于”，不过也请假装这些符号对你来说是完全陌生的。
石板上的公理只有两个。
1.每个数都是用两个（由已有的数构成的）集合表示的，其中左边集合里不存在这样的数，它大于等于右边集合里的某个数。
假如a、b、c、d、e都是已经构造出来的数，并且从a、b里任取一个数，从c、d、e里任取一个数，前者都不会大于等于后者，那么把a、b放入左边的集合，把c、d、e放入右边的集合，我们就能得到一个新的数，比如f。
我们把它记作f={a,b|c,d,e}。
2.一个数小于等于另一个数，当且仅当前者的左集合里不存在大于等于后者的数，并且后者的右集合里不存在小于等于前者的数。
比如，如果x={a,b|c}，y={d|e}，那么x小于等于y，当且仅当a、b都不大于等于y，并且e不小于等于x。
可以看出，所有的数，包括它们之间的≤、≥关系，都是递归地表达出来的。
不过，我们每次都需要用已有的数来定义新的数，那我们从什么地方开始呢？
答案是，我们从空集开始。
左集合和右集合都为空，记作{|}，这是我们能够得到的第一个数。
再次提醒，这个数或许能被等价地理解为我们世界中的某个数，或许不能。
我们暂时不做这些假设。
我们把这个数记作α。
也就是说，α={|}。
容易看出，α≤α，因为α的左集合里确实没有哪个数大于等于α，并且α的右集合里确实没有哪个数小于等于α（事实上α的左集合里和右集合里根本就没有数）。
既然α≤α，反过来看，也可以说成是α≥α了。
在接下来的过程中时刻记住，α既小于等于自己，又大于等于自己。
接下来，我们可以构造两个新的数{|α}和{α|}，不妨把它们俩分别叫做β和γ。
注意，{α|α}是不合法的，它违反了公理1：
左集合里的数不能大于等于右集合里的数。
可以验证，β≤α，而α≤γ。
另外，β也是小于等于γ的，不过请注意，这并不是根据“小于等于”的传递性推出的，而是根据“小于等于”的定义直接验证的。
我们还不知道“小于等于”满足传递性。
事实上，我们还不知道“小于等于”有什么直观意义。
x小于等于y当且仅当x的左集合里不存在大于等于y的数，并且y的右集合里不存在小于等于x的数
β={|α}，α={|}⇒β小于等于α，或者说α大于等于β
α={|}，γ={α|}⇒α小于等于γ，或者说γ大于等于α
β={|α}，γ={α|}⇒β小于等于γ，或者说γ大于等于β
接下来，我们完全不理会≤背后有何直观意义，而是纯粹利用刚才的两个公理来证明，刚才看到的传递现象其实并不是巧合。
换句话说，在这个神秘的算术系统中，如果x≤y，并且y≤z，那么x≤z。
证明的基本方法是数学归纳法。
我们对三元组（x,y,z）施加归纳。
假设传递性对于更早产生的三元组都是成立的。
根据定义，如果x≤y，那么对于x的左集合中的任意一个元素xL 来说，y≤xL 都不成立。
这立即表明，z≤xL 是绝对不可能发生的，因为我们已经有了y≤z，如果还有z≤xL 的话，根据归纳假设，就会有y≤xL ，矛盾。
于是我们知道了，x的左集合里不存在大于等于z的元素。
用类似的方法可以推出，不可能出现zR ≤x的情况，其中zR 是z的右集合中的任意一个元素。
理由和刚才相仿：
如果x≤y和zR ≤x同时成立，由归纳假设就会得到zR ≤y，这与y≤z相矛盾。
于是我们知道了，z的右集合里不可能出现小于等于x的数。
综合上述两条便有x≤z。
由于超实数所具有的递归本质，在研究超实数的性质时，最基本的方法就是数学归纳法。
为了证明某个结论对任意一个数x都成立，我们通常会假设这个结论对所有可能的xL 和xR 都已经成立了；类似地，为了证明某个结论对任意一个二元组（x,y）都成立，我们通常会假设这个结论对所有可能的（xL,y）、（xR,y）、（x,yL）、（x,yR）都已经成立了。
让我们来做几个练习吧。
首先，让我们试着用数学归纳法来证明，对于任意一个数x都有：
1.x≰xL ，其中xL 是x的左集合中的任意一个元素
2.x≱xR ，其中xR 是x的右集合中的任意一个元素
3.x≤x
证明过程并不复杂。
假设这几条性质对于更早产生的数都成立。
为了证明对于任意xL 都有x≰xL ，我们只需要说明，在x的左集合中存在一个大于等于这个xL 的数即可。
这样的数是显然存在的，因为由归纳假设，xL ≤xL 或者说xL ≥xL 始终成立。
证明对于任意xR 都有x≱xR 的方法也是类似的。
好了，既然xL 都不大于等于x，并且xR 都不小于等于x，就说明x≤x了。
我们不妨把这三个结论分别叫做补充性质1、补充性质2和补充性质3。
我们今后会反复用到这三个补充性质。
有人或许会说：
x≰xL，岂不意味着x≥xL 吗？
为什么要说得那么麻烦呢？
别急，别急，我们目前还不知道x≰y能否推出x≥y呢。
不过，不管怎么说，x≥xL 还真是成立的。
我们可以证明这一点，基本思路仍然是数学归纳法。
为了证明对于任意xL 都有x≥xL ，我们只需要说明，这个xL 的左集合里不存在大于等于x的数，并且x的右集合里不存在小于等于这个xL 的数。
根据公理1的规定，后者显然是成立的。
前者的正确性则不太容易看出来：
根据归纳假设，这个xL 大于等于它的左集合里的所有元素，如果这个xL 的左集合里存在大于等于x的数，由传递性便可推出xL ≥x，与刚才的补充性质1矛盾。
类似地，补充性质2也有一个推论，即对于任意xR 都有x≤xR 。
证明方法几乎完全相同：
x≤xR 的意思就是x的左集合里不存在大于等于xR 的数，并且xR 的右集合里不存在小于等于x的数，两者可以分别由公理1和归纳假设推出。
补充性质1和补充性质2拥有这样的推论，这使我们开始猜测：
会不会在任何情况下，由x≰y都能推出x≥y呢？
的确是这样，而且证明过程很简单。
x≰y意味着某个xL 大于等于y，或者某个yR 小于等于x。
如果有某个xL 大于等于y，但刚才我们证明了x大于等于一切xL ，两者结合便有了x≥y；如果有某个yR 小于等于x，但刚才我们证明了y小于等于一切yR ，两者结合也能推出x≥y。
所以，不管是哪种情况，x≥y都是成立的。
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