12命题及充要条件.docx
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12命题及充要条件
§1.2 命题及充要条件
2014高考会这样考
1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充要条件．
复习备考要这样做
1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．
1．命题的定义
能够判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题．
2．四种命题及相互关系
原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题．
3．充分条件与必要条件
（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件．
[难点正本 疑点清源]
1．等价命题和等价转化
（1）逆命题与否命题互为逆否命题；
（2）互为逆否命题的两个命题同真假；
（3）当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．
2．集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；
（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件；
（4）若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．
2．“x>2”是“
<
”的________条件．
答案 充分不必要
解析 ①x>2⇒2x>0⇒
>
⇒
<
，
∴“x>2”是“
<
”的充分条件．
②
<
⇒x<0或x>2D⇒/x>2.
∴“x>2”是“
<
”的不必要条件．
3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“
＝
”的____________条件．
答案 必要不充分
解析 因为若a＝b<0，则
≠
，所以充分性不成立；反之，因为
＝
⇔
＝
⇔a＝b≥0，所以必要性成立，故“a＝b”是“
＝
”的必要不充分条件．
4．（2011·天津改编）设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x－2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的______________条件．
答案 充要
解析 因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝（2，＋∞），
B＝{x|x<0}＝（－∞，0），
所以A∪B＝（－∞，0）∪（2，＋∞），
C＝{x|x（x－2）>0}＝{x|x<0或x>2}
＝（－∞，0）∪（2，＋∞）．
即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
5．（2012·天津改编）设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的______________条件．
答案 充分不必要
解析 若φ＝0，则f（x）＝cosx是偶函数，
但是若f（x）＝cos（x＋φ）是偶函数，则φ＝π也成立．
故“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的充分不必要条件.
题型一 四种命题及真假判断
例1
已知命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．（填序号）
①否命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m>1”是真命题；
②逆命题“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”是假命题；
③逆否命题“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”是真命题；
④逆否命题“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．
思维启迪：
根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．
答案 ④
解析 命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．
探究提高
（1）熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；
（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；（3）认真仔细读题，必要时举特例．
有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
答案 ①③
解析 ①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．
题型二 充要条件的判断
例2
若f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0，x∈R），f（－1）＝0，则“b<－2a”是“f
（2）<0成立”的什么条件．
思维启迪：
由f（－1）＝0，得a－b＋c＝0.
下面只要判定“b<－2a”是“4a＋2b＋c<0”成立的什么条件．
解 “b<－2a”是“f
（2）<0成立”的充分不必要条件．
证明如下：
∵f（－1）＝0，∴a－b＋c＝0，
∴c＝b－a，∴f
（2）＝4a＋2b＋c＝3a＋3b.
若b<－2a，
则f
（2）＝3a＋3b<3a＋3×（－2a）
＝－3a<0（a>0）．
反之，若f
（2）＝4a＋2b＋c＝3a＋3b<0，则b<－a.
∵a>0，∴推不出b<－2a.
故“b<－2a”是“f
（2）<0成立”的充分不必要条件．
探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面进行分析：
一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝
，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列
{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得
＝
＝
，若B＝60°，则sinA＝
，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝
，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.
题型三 利用充要条件求参数
例3
已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|（x－a）·（x－8）≤0}．
（1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5思维启迪：
解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式来求解．
解
（1）由M∩P＝{x|5因此M∩P＝{x|5（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5探究提高 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．
变式训练3 已知p：
x2－4x－5≤0，q：
|x－3|0）．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
解 设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3从而有AB.故
解得a>4.
等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例：
（14分）已知p：
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m>0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
审题视角
（1）先求出两命题的解集，即将命题化为最简．
（2）再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．
规范解答
解 方法一 由q：
x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m，[2分]
∴綈q：
A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，[3分]
由p：
≤2，解得－2≤x≤10，[6分]
∴綈p：
B＝{x|x>10或x<－2}．[8分]
∵綈p是綈q的必要而不充分条件．
∴AB，∴
或
即m≥9或m>9.∴m≥9.[14分]
方法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴p是q的充分而不必要条件，[2分]
由q：
x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，
∴q：
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[5分]
由p：
≤2，解得－2≤x≤10，
∴p：
P＝{x|－2≤x≤10}．[7分]
∵p是q的充分而不必要条件，
∴PQ，∴
或
即m≥9或m>9.∴m≥9.[14分]
温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.
方法与技巧
1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个（或几个）作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．
3．命题的充要关系的判断方法
（1）定义法：
直接判断若p则q、若q则p的真假．
（2）等价法：
利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
（3）利用集合间的包含关系判断：
若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
失误与防范
1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．
2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
62分）
一、填空题（每小题5分，共35分）
1．（2012·湖南改编）命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是________________________．
答案 若tanα≠1，则α≠
解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：
若tanα≠1，则α≠
.
2．（2012·福建改编）已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是____________．
答案 x＝0
解析 ∵a＝（x－1,2），b＝（2,1），
∴a·b＝2（x－1）＋2×1＝2x.
又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.
3．已知集合M＝{x|0答案 必要不充分
解析 因为MN，所以a∈M⇒a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要不充分条件．
4．设集合A、B，有下列四个命题：
①A
B⇔对任意x∈A都有x∉B；
②A
B⇔A∩B＝∅；
③A
B⇔B
A；
④A
B⇔存在x∈A，使得x∉B.
其中假命题的序号是________．
答案 ①②③
解析 ①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}有A⃘B但2∈A且2∈B.
②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}有A
B而A∩B＝{2}．
③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}有A
B但B⊆A.
④正确．
5．下列命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sinα＝sinβ，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
答案 ①③④
解析 对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°D⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③对；对于④显然对．
6．已知p（x）：
x2＋2x－m>0，如果p
（1）是假命题，p
（2）是真命题，则实数m的取值范围为________．
答案 [3,8）
解析 因为p
（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，
解得m≥3；又因为p
（2）是真命题，所以4＋4－m>0，
解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
7．（2011·陕西）设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案 3或4
解析 ∵x2－4x＋n＝0有整数根，
∴x＝
＝2±
，
∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4.
当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；
当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.∴n＝3或n＝4.
二、解答题（共27分）
8．（13分）判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 原命题：
若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：
若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
判断如下：
∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－
<0，
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．
9．（14分）已知p：
|x－3|≤2，q：
（x－m＋1）（x－m－1）≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
解 由题意得p：
－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴綈p：
x<1或x>5.
q：
m－1≤x≤m＋1，∴綈q：
xm＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴
或
，
解得2B组 专项能力提升
（时间：
35分钟，满分：
58分）
一、填空题（每小题5分，共30分）
1．（2012·上海改编）对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的______________条件．
答案 必要不充分
解析 ∵mn>0，∴
或
当m>0，n>0且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，
当m<0，n<0时，方程mx2＋ny2＝1不表示任何图形，
所以条件不充分；反之，
当方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时有mn>0，
所以“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
2．已知p：
≥1，q：
|x－a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________．
答案 （2,3]
解析 由
≥1，得2由|x－a|<1，得a－1若p是q的充分不必要条件，则
，即2所以实数a的取值范围是（2,3]．
3．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的________________条件．
答案 必要不充分
解析 A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4.a>4D/⇒a>5，但a>5⇒a>4.故“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件．
4．设有两个命题p、q.其中p：
对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1>0恒成立；命题q：
f（x）＝（4a－3）x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
答案
∪（1，＋∞）
解析 当a＝0时，不等式为2x＋1>0，显然不能恒成立，故a＝0不适合；
当a≠0时，不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的条件是
解得a>1.即p：
{a|a>1}．
由f（x）在R上为减函数，得0<4a－3<1，
解得
{a|
由题意，可知p，q一真一假．
当p真q假时，a的取值范围是
{a|a>1}∩{a|a≤
或a≥1}＝{a|a>1}；
当p假q真时，a的取值范围是
{a|a≤1}∩{a|
所以a的取值范围是
∪（1，＋∞）．
5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
答案 [1,2）
解析 x∉[2,5]且x∉{x|x<1或x>4}是真命题．
由
得1≤x<2.
6．“m<
”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．
答案 充分不必要
解析 x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤
，∵m<
⇒m≤
，反之不成立．
故“m<
”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
二、解答题（共28分）
7．（14分）已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q.求证：
数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0且p≠1且q＝－1.
证明 先证必要性．
当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（p－1）pn－1≠0，
∴p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列．
要使{an}（n∈N＋）是等比数列，则
＝p，
即（p－1）p＝p（p＋q），∴q＝－1.
再证充分性
当p≠0，p≠1，且q＝－1时，Sn＝pn－1，
∴S1＝p－1，即a1＝p－1，又n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝（p－1）pn－1（n≥2），
又n＝1时也满足，∴an＝（p－1）·pn－1，
＝p（n≥2），
∴{an}是等比数列．即{an}是等比数列的充要条件是p≠0且p≠1且q＝－1.
8．（14分）已知全集U＝R，非空集合
A＝
，B＝
.
（1）当a＝
时，求（∁UB）∩A；
（2）命题p：
x∈A，命题q：
x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解
（1）当a＝
时，
A＝
＝
，
B＝
＝
，
∴∁UB＝
.
∴（∁UB）∩A＝
.
（2）∵a2＋2>a，∴B＝{x|a①当3a＋1>2，即a>
时，A＝{x|2∵p是q的充分条件，∴A⊆B.
∴
，即
.
②当3a＋1＝2，即a＝
时，A＝∅，不符合题意；
③当3a＋1<2，即a<
时，A＝{x|3a＋1由A⊆B得
，∴－
≤a<
.
综上所述，实数a的取值范围是
∪
.
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