完整版高等数学基础作业答案doc.docx
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高等数学基础第一次作业点评1
责任教师：
许院年
第1章函数
第2章极限与连续
（一）单项选择题
⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．
A.
f（x）（x）2，g（x）
x
B.
f（x）
x2，g（x）
x
C.f（x）lnx3，g（x）3lnx
D.
f（x）
x1，g（x）
x2
1
x
1
点评：
从函数的两要素可知：
两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也
相同。
而与自变量或因变量所用的字母无关。
⒉设函数f（x）的定义域为（
），则函数
f（x）f（x）的图形关于（
C）对称．
A.
坐标原点
B.
x轴
C.
y轴
D.
yx
点评：
可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于Y轴对称。
⒊下列函数中为奇函数是（B）．
A.
y
ln（1
x2）
B.
y
xcosx
C.
y
ax
ax
D.
y
ln（1
x）
2
f（x）f（x），则函数为偶函
点评：
可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。
若
数；若f（x）
f（x），则函数为奇函数。
⒋下列函数中为基本初等函数是（
C）．
A.
y
x
1
B.
y
x
C.
y
x
2
D.
y
1,
x
0
1,
x
0
点评：
基本初等函数是指：
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。
⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
A.
lim
x2
1
B.
limln（1x）
0
2
x
x
2
x0
C.
limsinx
0
D.
limxsin1
0
x
x
x
x
点评：
只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如
C，没有无穷大量乘以有界变量为
无穷小量。
⒍当x
0时，变量（
C）是无穷小量．
A.
sinx
B.
1
x
x
C.
xsin1
D.
ln（x2）
x
点评：
无穷小量乘以有界变量为无穷小量
⒎若函数f（x）在点x0满足（A），则f（x）在点x0连续。
A.
lim
f（x）
f（x0）
B.
f（x）在点x0
的某个邻域内有定义
xx0
C.
lim
f（x）
f（x0）
D.
limf（x）
limf（x）
xx0
xx0
xx0
点评：
直接用函数在某点连续的定义判断。
即函数在某点连续，则在该点的极限值等于函数值。
（二）填空题
x2
9
．{xx
3或x3}
⒈函数f（x）
ln（1x）的定义域是
x
3
点评：
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒉已知函数f（x1）
x2
x，则f（x）
．x2
x
点评：
正确理解函数对应关系
f的含义。
1）x
1
⒊lim（1
．e2
x2x
点评：
两个重要极限之一稍加变形。
1
⒋若函数f（x）
（1
x）x,
x
0，在x
0处连续，则k
．e
x
k,
x
0
点评：
用连续函数在某点连续的定义求解。
x
1,
x
0
．x0
⒌函数y
x
的间断点是
sinx,
0
点评：
因为函数在该点的函数值不等于极限值。
⒍若limf（x）
A，则当x
x0时，f（x）
A称为
．无穷小量
xx0
（三）计算题
求极限常用的方法有：
⑴利用极限的四则运算；
⑵利用两个重要极限；
⑶利用无穷小量的性质；
⑷利用连续函数的性质。
⒈设函数
ex,x0
f（x）
x,x0
求：
f
（2）,f（0）,f
（1）．
解：
f
（2）2
f（0）0
f
（1）e1e
点评：
求分段函数的函数值主要是要判断那一点是在哪一段上。
即正确选择某段函数。
⒉求函数ylglg2x1
的定义域．
x
lg2x1
解：
欲使函数有意义，必使
0，
x
即：
2x11亦即：
2x1x
x
解得函数的定义域是：
x1
点评：
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。
⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．
点评：
建立函数关系（即数学表达式）的一般步骤是：
⑴分析问题中的各个量，哪些是常量，哪些是变量，从而确定自变量和因变量，并设出表示它们的字母；
⑵建立适当的坐标系（若需要的话）；
⑶由已知条件或题意找出变量之间的关系，建立关系式；
⑷确定自变量的取值范围。
解：
设梯形的高
CM=x，则DM
R2
x2
梯形的上底DC
2R2
x2
，下底AB2R
则梯形的面积
s
（2R2
x2
2R）x
2
（R2
x2
R）x
（0
x
R）
⒋求lim
sin3x．
x0sin2x
3
limsin3x
3
1
3
x
0
3x
解：
原式=
sin2x
2
1
2
2
lim
2x
x
0
点评：
正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒌求lim
x2
1
．
x
1sin（x
1）
x
1
lim（x
1）
2
解：
原式=lim
x1
2
1sin（x1）
sin（x
1）
1
x
x
1
lim
x
1
x
1
点评：
正确利用两个重要极限，将函数作适当变形。
⒍求limtan3x．
x0
x
sin3x
3limsin3x
1
3limsin3x
1
1
解：
limcos3x
lim
3
1
3
x0
x
x0
3x
cos3x
x03x
x0cos3x
1
点评：
同上。
⒎求lim
1
x2
1．
x0
sinx
解：
原式=lim（
1
x2
1）（
1
x2
1）
lim
x
lim
1
0
1
0
x0
（
1x
2
1）sinx
x0
1
x
2
1
x0
sinx
x
点评：
同上。
⒏求lim（x
1）x．
x
x
3
解：
原式=limx
x3
?
x
3
x3
3
1
1
=lim
x
3
4
?
x
3
4
x
x
3
x
3
x
x
3
x
3
x
3
4
3
4
x
3
=lim
1
4
?
lim
1
=lim1
3
x
3
x
3
x
x
x
x
x3
4
4
4
4
=lim
1
lim
1
x
3
=
x
x
x3
⒐求lim
x2
6x
8．
x4
x2
5x
4
解：
原式=lim
（x
4）（x
2）
x
2
2
lim
3
x4（x4）（x1）
x4x1
⒑设函数
x34
4
=e4
（x
2）2,
x
1
f（x）x,
1
x1
x
1,
x
1
讨论f（x）的连续性，并写出其连续区间．
点评：
讨论分段函数在分段点处的连续性，只要研究函数
f（x）在该点处的左右极限情况，
然后再由函数连续性的定义判断。
解：
先看函数在分段点x
1处的情况，
∵lim
x1
lim
x1
∴lim
xi1
∴x
f（x）
lim（x
1）1
10
x
1
f（x）
limx
1
x
1
f（x）
limf（x），故limf（x）不存在。
x
1
x
1
1为函数
f（x）的间断点。
再看函数在分段点x1处的情况，
∵limf（x）
limx
1
x1
x1
limf（x）
lim（x
2）2
1
x1
x1
∴limf（x）
limf（x），故limf（x）1。
x1
x1
x1
又因为f
（1）xx11
所以limf（x）
f
（1）
x1
故x1是函数f（x）的连续点。
函数f（x）在连续区间是：
（,1）（1,）。
高等数学基础第二次作业
第3章
导数与微分
（一）单项选择题
⒈设f（0）0
且极限lim
f（x）存在，则lim
f（x）
（B）．
x0
x
x0
x
A.
f（0）
B.
f
（0）
C.
f（x）
D.
0
⒉设f（x）在x0可导，则lim
f（x0
2h）
f（x0）
（D）．
2h
h0
A.
2f（x0）
B.
f（x0）
C.2f（x0）
D.
f（x0）
⒊设f（x）
ex，则lim
f（1
x）
f
（1）
（A）．
x
0
x
A.
e
B.
2e
C.
1
D.
1
e
e
2
4
⒋设f（x）
x（x1）（x
2）
（x
99），则f（0）
（D）．
A.
99
B.
99
C.
99!
D.
99!
⒌下列结论中正确的是（
C）．
A.
若f（x）在点x0有极限，则在点
x0可导．
B.若f（x）在点x0连续，则在点x0可导．
C.若f（x）在点x0可导，则在点x0有极限．
D.若f（x）在点x0有极限，则在点x0连续．
（二）填空题
⒈设函数f（x）
x2sin1,
x
0
（0）
x
，则f
0,
x
0
⒉设f（ex）
e2x
5ex，则df（lnx）2lnx
dx
x
⒊曲线f（x）
x
1在（1,2）处的切线斜率是
⒋曲线f（x）
sinx在（
π
处的切线方程是
y
1）
2
⒌设yx2x，则y
x2x2lnx2．
⒍设yxlnx，则y
1．
x
0．
5
1．
2
1．
（三）计算题
⒈求下列函数的导数y：
点评：
这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。
⑴y
（x
x
3）ex
3
1
3
解：
y
（x2ex
3ex）
3x2ex
x2ex
3ex
3
1
2
=
ex（x2
3x2
3）
2
⑵y
cotx
x2lnx
解：
y
（cosx
x2lnx）
（
sinxsinx
cosxcosx
2xlnx
x2
）
sinx
sin2
x
x
=
1
2xlnx
x
sin2
x
x2
⑶y
lnx
解：
y
2xlnx
x
x（2lnx
1）
ln2
x
ln2x
⑷y
cosx
2x
x3
2xln2）x3
2x）
3x2
解：
y
（
sinx
（cosx
x6
=
xsinx
ln22xx
3cosx
3
2x
x4
x2
⑸y
lnx
sinx
（
1
2x）sinx
cosx（lnx
x2）
解：
y
x
sin2
x
（1
2x2）sinx
xcos（lnx
x2）
=
xsin2x
x4
⑹y
sinxlnx
解：
y
4x3
（cosx
lnx
sinx）
x
=4x3
cosxlnx
sinx
x
⑺y
解：
⑻y
sinxx2
3x
（cosx
y
cosx
=
extanx
2x）3x3xln3（sinxx2）
32x
2xln3（sinxx2）
3x
lnx
解：
y（extanx
ex
）
1
cos2x
x
ex（sinxcosx
1）1
=
2x
x
cos
⒉求下列函数的导数
y
：
这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当中间变量不多时，也可直接求。
设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
⑴y
ex
解：
y
ex
1
ex
x
2
x
2x
⑵ylncosx
解：
y
sinx
tanx
cosx
⑶y
x
xx
1
1
1
7
解：
因为y
x2
x4
x8
x8
1
所以
y
7x8
8
⑷ysin2x
解：
因为y
2sinx
cosx
sin2x
1
2
1）
所以
y
1（xx2）3（1
3
2
x
⑸ysinx2
解：
⑹y
解：
⑺y
22
ycosx2x2xcosx
ysinexex
=exsinexsinnxcosnx
解：
y
（sinnx）cosnx
sinnx
（cosnx）
=
nsinn
1xcosx
cosnx
sinnx
（sinnx）n
=
n
sinn1
（cos
x
cos
nx
sin
x
sin
nx
）
x
⑻y5sinx
解：
设y
5u
u
sinx
y
yu
ux=5u
ln5cosxln55sinxcosx
注：
因只有一次复合，也可直接计算。
⑼yecosx
解：
设y
eu
u
cosx
y
yuux=eu
（sinx）ecosxsinx
注：
因只有一次复合，也
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