环形路上的行程问题1.ppt

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五年级数学思维培优专项训练第四讲环形路上的行程问题环形道路上的行程问题本质上讲就是环形道路上的行程问题本质上讲就是追及问题或相遇问题追及问题或相遇问题。

当二人或二物。

当二人或二物同时同时运动时就是追及问题，追及距离运动时就是追及问题，追及距离是二人是二人初始距离及环形道路之长的倍初始距离及环形道路之长的倍数之和数之和；当二人或二物；当二人或二物反向反向运动时就运动时就是相遇问题，相遇距离是二人是相遇问题，相遇距离是二人从出发从出发到相遇所行路程和到相遇所行路程和。

追及问题追及问题相差路程速度之差=追上时间追上时间速度之差=相差路程相差路程追上时间=速度之差相遇问题相遇问题速度之和速度之和相遇时间相遇时间=相遇路程相遇路程（路程之和）（路程之和）相遇路程相遇路程相遇时间相遇时间=速度之和速度之和相遇路程相遇路程速度之和速度之和=相遇时间相遇时间例例1如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑甲每分钟跑250米，乙每分钟跑米，乙每分钟跑200米。

两人米。

两人同时同时同地同地同同向向出发，出发，45分钟后甲追上了乙。

如果两人同时同地反向而分钟后甲追上了乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？

跑，经过多少分钟后两人相遇？

250分分乙乙甲甲乙乙甲甲200分分250分分200分分

（1）

（2）追上时间追上时间速度之差速度之差=相差路程相差路程（跑道长）（跑道长）跑道长：

跑道长：

45（250200）=2250（米）（米）相遇路程相遇路程速度之和速度之和=相遇时间相遇时间相遇时间：

相遇时间：

2250（250+200）=5（分钟）（分钟）答：

经过答：

经过5分钟两人相遇。

分钟两人相遇。

同一点出发，距离差=跑道长随随1.甲、乙两运动员在周长为甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，米，甲的平均速度是乙的甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面倍，甲在乙前面100米米处。

问几分钟后，甲第处。

问几分钟后，甲第1次追上乙？

次追上乙？

乙乙甲甲甲的速度：

甲的速度：

801.25=100米米/分分（400100）（10080）=15（分）（分）答：

答：

15分钟后，甲第一次追上乙。

分钟后，甲第一次追上乙。

同一点出发，距离差=跑道长例例2下图是一个圆形中央花园，下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端。

是直径的两端。

小军在小军在A点，小勇在点，小勇在B点，同时出发相向而行。

他俩点，同时出发相向而行。

他俩第第1次在次在C点相遇，点相遇，C点离点离A有有50米；第米；第2次在次在D点相遇，点相遇，D离离B有有30米。

问这个花园一周长多少米？

米。

问这个花园一周长多少米？

BACD小军小军小勇小勇第第1次相遇两人合起来走次相遇两人合起来走了半周长，从了半周长，从C点开始到点开始到D点相遇两人共走了一周点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。

长，两次共走了一周半。

小军：

小军：

ACD走了走了50米的米的3倍。

倍。

503=150（米）（米）半周：

半周：

150BD（30米米）周长（周长（15030）2=240（米）（米）答：

这个花园一周长答：

这个花园一周长240米。

米。

随堂练习2A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点，求圆的周长ABCD第第1次相遇两人合起来走了次相遇两人合起来走了半周长，从半周长，从C点开始到点开始到D点点相遇两人共走了一周长，两相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。

次共走了一周半。

ACD走了走了100米的米的3倍。

倍。

1003=300（米）（米）半周：

半周：

300BD（80米米）周长（周长（30080）2=440（米）（米）亮：

亮：

例例33如图，一个边长为如图，一个边长为100100米的正方形跑道。

甲从米的正方形跑道。

甲从AA点出发，乙从点出发，乙从CC点出发都逆时针同时起跑，甲的点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒速度每秒77米，乙的速度每秒米，乙的速度每秒55米。

他们拐弯处都米。

他们拐弯处都要停留要停留55秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？

乙乙甲甲ADBC100米米100米米7米米/秒秒5米米/秒秒甲乙相距甲乙相距200200米（相差距离）米（相差距离）。

且甲第一次追及乙要多拐。

且甲第一次追及乙要多拐两个弯。

即要多休息两个弯。

即要多休息5+5=105+5=10秒钟。

秒钟。

甲走的路程乙走到路程甲走的路程乙走到路程=200米米解：

设甲纯跑步时间为解：

设甲纯跑步时间为x秒。

则乙跑步的时间为秒。

则乙跑步的时间为x+10秒。

秒。

7x5（x+10）=200x=125甲跑的路程是：

甲跑的路程是：

1257=875（米）（米）当甲跑的当甲跑的800米时用时：

米时用时：

8007+57149.28（秒）又离开（秒）又离开A点。

点。

而乙到达而乙到达A点再离开时用时：

点再离开时用时：

6005+56=150（秒）（秒）因此：

从起跑到因此：

从起跑到149.28秒至秒至150秒的间隔内甲秒的间隔内甲乙都在乙都在A点。

点。

所以：

甲第一次追上乙，此时乙跑了所以：

甲第一次追上乙，此时乙跑了600米。

米。

例例6已知等边三角形已知等边三角形ABC的周长为的周长为360米，甲从米，甲从A点出发，按点出发，按逆时针方向前进，每分钟走逆时针方向前进，每分钟走55米，乙从米，乙从BC边上边上D点（距点（距C点点30米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走50米。

两人同时出发，米。

两人同时出发，几分钟相遇？

当乙到达几分钟相遇？

当乙到达A点时，甲在哪条边上，离点时，甲在哪条边上，离C点多远？

点多远？

ABCD30乙乙甲甲甲乙两人的相遇时间：

甲乙两人的相遇时间：

乙从乙从D到到A用的时间：

用的时间：

（3603230）（55+50）=2分分21050=4.2（分分）乙到乙到A点时甲走的路程：

点时甲走的路程：

554.2=231（米米）这时甲在这时甲在BC边上，离边上，离C点的距离：

点的距离：

36032231=9（米米）90m随随4.三个环形跑道相切排列，每个环形跑道的周长均为三个环形跑道相切排列，每个环形跑道的周长均为210厘厘米。

甲、乙两只爬虫分别从米。

甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示的方向出发，两地按箭头所示的方向出发，甲爬虫绕甲爬虫绕1、2号环形跑道作号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作号环形跑道作“8”字形循环运动，甲、乙两只爬虫的速度字形循环运动，甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟分别是每分钟20、15厘米。

问甲、乙两爬虫第二次相遇时，厘米。

问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？

甲爬虫爬了多少厘米？

ACB123D分析：

分析：

甲乙爬虫第一次相遇时，它们位于甲乙爬虫第一次相遇时，它们位于2号环形道的上方。

号环形道的上方。

它们共爬行了它们共爬行了3个个“半环形半环形”。

第二次相遇时它们共爬行了第二次相遇时它们共爬行了5个个“半环形半环形”。

则相遇时间是：

则相遇时间是：

21025（20+15）=15（分）（分）即：

甲爬虫爬行了：

即：

甲爬虫爬行了：

2015=300（米）（米）练习练习1甲乙两人在甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，米的环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑。

两人第一次和第二两人朝相反的方向跑。

两人第一次和第二次相遇间隔次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑秒，已知甲每秒跑6米，乙每米，乙每秒跑多少米？

秒跑多少米？

甲乙两人从第一次到第二次相遇共走：

甲乙两人从第一次到第二次相遇共走：

400米米40040=10（米（米/秒）秒）106=4（米（米/秒）秒）答：

乙每秒跑答：

乙每秒跑4米。

米。

练习练习2.甲用甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙秒可绕一环形跑道跑一圈，乙同时反方向跑，每隔同时反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。

秒与甲相遇一次。

问乙跑完一圈用多少秒？

问乙跑完一圈用多少秒？

解：

设乙跑完一圈用解：

设乙跑完一圈用x秒。

秒。

答：

乙跑完一圈用答：

乙跑完一圈用24秒。

秒。

115140x1+=X=24练习题练习题3甲乙从甲乙从360米的环形跑道上的同一地点同向跑米的环形跑道上的同一地点同向跑步。

甲每分钟跑步。

甲每分钟跑305米，乙每分钟跑米，乙每分钟跑275米。

米。

两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？

处？

360（305275）=12（分）（分）甲：

甲：

30512=3660（米）（米）共跑的圈数：

共跑的圈数：

3660360=10（圈）（圈）60（米）（米）答：

第一次相遇在离起点答：

第一次相遇在离起点60米处。

米处。

练习练习4.有一条长有一条长500米的环形跑道。

甲乙两人同时从米的环形跑道。

甲乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如分钟后相遇；如果两人同向而跑，则果两人同向而跑，则10分钟后相遇，已知甲跑的分钟后相遇，已知甲跑的比乙快，问甲乙两人每分钟各跑多少米？

比乙快，问甲乙两人每分钟各跑多少米？

甲乙速度之和：

甲乙速度之和：

5001=500（米（米/分）分）甲乙速度之差：

甲乙速度之差：

50010=50（米）（米）甲：

甲：

答：

甲每分钟跑答：

甲每分钟跑275米，乙每分钟跑米，乙每分钟跑225米。

米。

（500+50）2=275（米（米/分）分）乙：

乙：

500275=225（米（米/分）分）5.甲乙两人同时从甲乙两人同时从A点反向出发，沿点反向出发，沿400米环形跑道米环形跑道行走，甲每分钟走行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走米，乙每分钟走50米，这两米，这两人至少用多少分钟再在人至少用多少分钟再在A点相遇？

点相遇？

甲走一圈的时间：

甲走一圈的时间：

40080=5（分）（分）乙走一圈的时间：

乙走一圈的时间：

40050=8（分）（分）因为因为5和和8的最小公倍数是的最小公倍数是40.所以两人至少用所以两人至少用40分钟再在分钟再在A点相遇。

点相遇。

练习练习6.小明在小明在360米长的环形跑道上跑了一圈。

已知米长的环形跑道上跑了一圈。

已知他前一半时间每秒跑他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑米，后一半时间每秒跑4米，米，那么小明后一半路程用了多少秒？

那么小明后一半路程用了多少秒？

解：

设小明跑一圈用解：

设小明跑一圈用x秒。

秒。

（x2）5+（x2）4=360X=80前一半用时：

前一半用时：

1805=36（秒）（秒）后一半用时：

后一半用时：

8036=44（秒）（秒）答：

小明后一半路程用了答：

小明后一半路程用了44秒。

秒。

练习练习7.绕湖一周是绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发地点同时出发，反向而行，小王以，反向而行，小王以4千米千米/时的速时的速度每走度每走1小时后休息小时后休息5分钟；小张以分钟；小张以6千米千米/时的速时的速度每走度每走50分钟后休息分钟后休息10分钟。

问两人出发后多少分钟。

问两人出发后多少时间第一次相遇？

时间第一次相遇？

分析：

分析：

假设小王走了假设小王走了2小时小时10分：

分：

42=8（千米）（千米）小张在这段时间走了：

小张在这段时间走了：

2（6010）10+1=11（千米）（千米）此时两人相距：

此时两人相距：

24811=5（千米）（千米）则现在相遇时间：

则现在相遇时间：

5（6+4）=0.5（小时）（小时）=30分分第一次相遇时间：

第一次相遇时间：

2小时小时10分分+30分分=2小时小时40分。

分。

练习练习8.在在400米环形跑道上，米环形跑道上，A、B两点相距两点相距100米。

米。

甲乙两人分别从甲乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方两点同时出发，按逆时针方向跑步。

甲每秒跑向跑步。

甲每秒跑5米，乙每秒跑米，乙每秒跑4米，每人跑米，每人跑100米，都要停米，都要停10秒。

那么甲追上乙需要多长时秒。

那么甲追上乙需要多长时间？

间？

分析：

分析：

如果不考虑休息时间则甲追如果不