初中数学同步讲义 7年级 第10讲角教师版.docx
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初中数学同步讲义7年级第10讲角教师版
角
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1、结合生活情景认识角,知道角的各部分名称,会用不同的方法和材料做出角。
2、在操作活动中体验感知角有大小,会用多种方法来比较角的大小,在探索角的大小比较的过程中,发展数学思考能力。
3、在创造性使用工具和材料来制作角和比较角的大小的过程中,体验解决问题策略的多样性,培养学生的动手实践能力和创新意识。
1.角的定义与表示方法
(1)角的定义:
角的定义有两种,一种是静态的组成定义,一种是动态的形成定义。
角的组成定义:
有______的两条射线组成的图形叫做角,这个______是角的顶点,这两条射线是角的两条边。
角的形成定义:
由一条射线绕着它的______旋转而形成的图形叫做角。
(2)角的表示方法:
用三个大写的英文字母表示,其中表示顶点的字母应该写在____,如图1所示,表示为∠AOB;用一个大写的英文字母表示,这个字母表示角的____,如图1,还可以表示为∠O(这种方式适用于顶点处只有一个角的情况)。
用一个小写的希腊字母表示,如图2所示,表示∠α;④用数字表示标注,如图3所示,表示为∠1.
(3)易混淆点
角的大小与角画出的两边的长短无关,只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。
另外,若没有特别说明,一般指的角都是小于平角的角。
2.角的度量及换算
(1)常用的角的度量单位为___、___、___,这种角的度量制叫做角度制。
1゚=__,1’=__。
除角度之外,角的度量还有弧度制、密度制等。
(2)常见的角的分类:
锐角:
大于0゚,小于90゚的角;钝角:
大于90゚,小于180゚的角;1直角=__,1平角=,1周角=。
(3)角的度量工具有:
量角器、经纬仪、测角器等。
(4)借助三角尺可以画出30゚,45゚,60゚,90゚等特殊角,借助量角器可以画出任何给定的角。
3.角的比较与运算
(1)角的比较与运算
______,把要比较的两个角的顶点重合,把它们的一条边叠合在一起,再比较另一条边的位置,如图所示。
______,即用量角器量出角的度数,再按照度数比较角的大小。
(2)易混淆点
在用叠合法比较大小时,易忽略两个角的(一边重合,另一边在重合的这条边的同侧)。
4.角平分线
(1)定义:
从一个角的____出发,把这个角分成两个____的角的,叫做这个角的平分线。
(2)角的n等分线:
类似角的平分线,从角的顶点引出的射线,将角分成相等的n个角,叫做角的n等分线,例如角的三等分线、四等分线等。
5.角平分线的几何表示。
6.易混淆点
不能在角平分线的多种几何表达形式之间灵活转换。
7.余角和补角
(1)定义:
如果两个角的和等于90゚,就说这两个角互为__角,简称________,其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和等于______,就说这两个角互为补角,简称________,其中一个角是另一个角的补角。
(2)互余、互补至于两个角的数量关系有关,与位置无关。
8.余角、补角的性质
(1)余角的性质:
同角的余角相等。
(2)补角的性质:
同角的补角相等。
9.方位角
(1)定义:
以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,即正北、正南方向与物体运动的方向的夹角为方位角。
(2)注意事项:
方位角在叙述是,一般先说____,后说____,如南偏东30゚。
但与南北方向夹角为45゚时,常简称东北、东南、西北、西南,如南偏东____,即为东南方向。
参考答案
1.公共端点公共端点端点中间顶点
2.度分秒60’60”90゚180゚360゚
3.叠合法度量法
4.顶点相等射线
7.余两个角互余180゚两个角互补
9.南北东西45゚
1.角的定义及表示方法
【例1】下列对角的表示方法理解错误的是( )
A.角可用三个大写字母表示,顶点字母写在中间
每边上的点写在两旁
B.任何角都可以用一个字母表示
C.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
D.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
【解析】A,C,D都符合角的表示方法的要求,B,当角的顶点处只有一个角时,才能用一个字母表示,B说法错误.
答案:
B.
总结:
角的表示方法:
1.角可用三个大写字母表示
2.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上数字表示
3.记角时可靠近顶点处加上弧线,注上希腊字母来表示
练1.下列关于角的说法正确的个数是()
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大;③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形,故本选项错误;
②角的大小与开口大小有关,角的边是射线,没有长短之分,故本选项错误;
③角的边是射线,不能延长,故本选项错误;
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,说法正确.
所以只有④一个选项正确.
答案:
A
练2.下列说法中,不正确的是()
A.∠AOB的顶点是O点B.∠AOB的边是两条射线
C.射线BO,射线AO分别是∠AOB的边D.∠AOB与∠BOA表示的是同一个角
【解析】A三个大写字母表示角,则中间一个字母表示角的顶点;B角的两边是两条射线;C射线BO端点为B向BO方向延伸,而射线AO延AO方向延伸,而角是由两条射线共端点组成的,所以错误;D角的两边是射线。
答案:
C
练3如图,下列表示角的方法错误的是()
A.∠1与∠AOB表示同一个角
B.∠AOC可用∠O来表示
C.图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOC
D.∠β表示的是∠BOC
【解析】A同一个角的两种表示方法
B一个端点有多个点公用时,不可以用一个点来表示角。
C、D正确。
答案:
B
2.角的度量与比较大小
【例2】钟表在3点40分时,它的时针和分针所成的钝角的度数是 .用10倍的放大镜观察,这个角应是 .
【解析】每小时分针转360°,时针转动30°;每分钟分针旋转6°,时针旋转0.5°
答案:
130° 130°
总结:
角的大小与角画出的两边的长短无关,只与构成角的两边的两条射线张开的幅度大小有关。
练4.(2014濮阳一中)已知∠AOB=120°,OC在它的内部,且把∠AOB分成1:
3的两个角,那么∠AOC的度数为()
A.40°B.40°或80°C.30°D.30°或90°
【解析】120除以(1+3)=30°。
由于OC可能靠近OA,或OB所以出现了两种可能,
两种结果,∠AOC=30°或∠AOC=90°
答案:
D
练5.如图,平角AOB被分成的三个角∠AOC,∠COD,∠DOB的比为2∶3∶4,则其中最大的角是 度.
【解析】设∠AOC=2x°,则∠COD=3x°,∠DOB=4x°,
根据题意得:
2x+3x+4x=180,解得:
x=20,
则最大的角是4×20°=80°.
答案:
80
练6.比较大小:
38°15′___ 38.
15度(填“>”“=”或“<”).
【解析】因为1°=60′,所以38.15°=38°+(0.1
5×60)′=38°9′,所以
38°15′>38
.15度.
答案:
>
练7.51°28′30"=________度
【解析】51度28'30''=51度28.5'=51度+(28.5/600度=51度+0.475度=51.475度
答案:
51.475
3.角平分线
【例3】(2015北京文汇期末)如图,OB是∠AOC的角平分线,OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°,∠COE=60°,则∠BOD的度数为()
50°B.60°C.65°D.70°
【解析】∵OB是∠AOC的角平分线,OD是∠COE的角平分线,∠AOB=40°,∠COE=60°,
∴∠BOC=∠AOB=40°,∠COD=
∠COE=
×60°=30°,
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
答案:
D
练8.已知直线AB,CD相交于点O,OA平分
,
=70º,则
的度数是多少?
【解析】∵
=70º∴∠EOD=100º
∵OA平分角EOC
∴∠COA=∠EOA=35°
又∵∠BOD=180º-∠EOA-∠EOD=180º-35º-100º
∴∠BOD=55°
答案:
55°
练9.已知∠AOE=100º,∠DOF=80º。
OE平分∠DOC,OF平分∠AOC。
求∠EOF的度数。
【解析】已知∠AOE=∠AOC+∠COE=100°,∠DOF=∠DOC+∠COF=80°,∠DOC=
2∠COE,∠AOC=2∠COF,∠EOF=∠COE+∠COF。
则有∠AOE+∠DOF=∠AOC+∠COE+∠DOC+∠COF
=3∠COF+3∠COE=3∠EOF=180°,则∠EOF=60°
答案:
60°
练10.如图,∠AOB=90º,∠AOC是锐角,OF平分∠AOC,OE平分∠BOC,求∠EOF的度数。
【解析】OF平分∠AOC,∠FOC=1/2*∠AOC
OE平分∠BOC,∠EOC=1/2*∠BOC
∠EOF=∠FOC+∠EOC
=1/2*∠AOC+1/2*∠BOC
=1/2(∠AOC+∠BOC)
=1/2*∠AOB
=1/2*90°
=45°
答案:
45º
4.余角与补角方位角
【例4】如果一个角的补角是120°,则这个角的余角是( )
A.150°B.90°C.
60°D.30°
【解析】这个角的补角是120º,那么这个角为60º,所以余角为30º。
答案:
30º
总结:
互为补角的两个角和为180度,互为余角的两个角和为90度。
练11.A看B的方向是北偏东30°,那么B看A的方向是()
(A)南偏东60°(B)南偏西60°(C)南偏东30°(D)南偏西30°
【解析】反过来看,参照物不同,位置相反为南偏西30º。
答案:
D
练12.70°的余角是________,补角是_________。
【解析】互为余角的两个角和90º,互为补角的两个角和为180º。
答案:
20º110º
练13.∠(∠<90°)的余角是_________,它的补角是___________。
答案:
90º-∠180º-。
练14.若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数。
【解析】设补角为4x度,则余角为x度,据题意列方程得:
4x-x=90º
x=30º
90º-30º =60º
答案:
60º
1.下列说法正确的是()
A.两点之间直线最短
.用一个放大镜能够把一个图形放大,也能够把一个角的度数放大
.把一个角分成两个角的射线叫角的平分线
.直线
经过点
,那么点
在直线
上呢
2.下图中,小于平角的角有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
3.(2014前门外国语期末)如图所示,射线OA表示的方向,射线OB表示的方向,则
∠AOB=()
A.155°B.205°C.85°D.105°
4.一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点出发向南偏西15°方向走到C点,那么
ABC=()
A.60°B.15°C.45°D.70°
5.角也可以看作由旋转面形成的图形。
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1.下列说法中,正确的是()
A.平角是一条直线。
B.一条直线是一个周角
C.两边成一条直线的角是平角D.直线是平角
2.(2014五中分月考)已知如图:
试用三个大写字母表示:
∠1就是,
∠2就是,∠3就是,∠4就是。
3.在时刻8:
30,时钟上的时针与分针之间的夹角是______,20时15分,时针与分针的夹角是_______,2:
25时,时针与分针的夹角是________.
4.如图,AB是直线,∠1=∠2=50°36′求∠3的度数。
5.在∠AOB的内部引一条射线OC,可得几个小于平角的角
?
引两条射线OC、OD呢?
引三条射线OC、OD、OE呢?
若引n条射线一共会有多少个角?
6.已知一条射线OA,若从点O再引两条射线OB和OC,使∠AOB=600,∠BOC=200,
则∠AOC的度数为_____________
7.如图,把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度,得∠A′OB′,指出图中所有相等的角,并简要说明理由.
8.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:
5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数。
9.(2014吉安期末)直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,
∠1=40°,求∠2与∠3的度数。
10.如图1,点A在O的北偏东°,点B在O的°
点C在O的°,点D在O的°.
11.如图2所示,下列说法中错误的是()
A.
的方向是北偏东
B.
的方向是北偏西
C.
的方向是南偏西
D.
的方向是正东南方向
12.(2014中山一中期末)书店、学校、食堂在平面上分别用点
、
、
来表示,书店在学校的北偏西
,食堂在学校的南偏东
,则平面图上的
应该是()
A.
B.
C.
D.
13.甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是()
A.85°B.160°C.125°D.105°
14.
看
的方向是北偏东
,则
看
的方向是.
15.(2014成都中考)如果∠α和∠β互补,且α>β,则下列表示β的余角的式子中正确的有_______
90°—βα—90°½(α+β)
½(α—β)
A.
B.
C.D.
参考答案
当堂检测
1.D2.D3.A4.C5.一条射线绕着它的端点
家庭作业
1.C2.∠ABD∠CBD∠BDA
3.90º157.5º77.5º
4.79º28’
5.3610(n+1)(n+2)/2
6.40º或者80º
7.①∠AOB=∠A′OB′.
因∠A′OB′是由∠AOB旋转得到的.
②∠AOA′=∠BOB′.
∵∠AOB=∠A′OB′,
∴∠AOB-∠A′OB=∠A′OB′-∠A′OB,
∴∠AOA′=∠BOB′.
8.∵BE分∠ABC为2∶5两部分
∴∠ABE:
∠EBC=2:
5
∴2∠EBC=5∠ABE
设∠ABD=x
∴∠EBC=x+21°,∠ABE=x°-21°
∴2(x+21°)=5(x-21°)
∴x=49°
∴∠ABC=2x=98°
9.∠3=180°-∠FOC-∠1
=180°-90°-40°
=50°
∠AOD=180°-∠3
=180°-50°
=130°
∵OE平分∠AOD
∴∠2=½×∠AOD
=½×130°
=65°
10.30南偏东45南偏西75北偏西75
11.A
12.C
13.C
14.南偏西50º
15.B