赣豫陕学年高中数学第一章立体几何初步61垂直关系的判定学案北师大版必修2.docx

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赣豫陕学年高中数学第一章立体几何初步61垂直关系的判定学案北师大版必修2

6．1　垂直关系的判定

学习目标　1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．

知识点一　直线与平面垂直的定义

思考　在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？

答案　不变，90°.

梳理　线面垂直的概念

定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直

记法

l⊥α

有关概念

直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫作垂足

图示

画法

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直

知识点二　直线和平面垂直的判定定理

将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．观察折痕AD与桌面的位置关系．

思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？

答案　不一定．

思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？

答案　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．

梳理　判定定理

文字语言

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直

符号语言

l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A⇒l⊥α

图形语言

知识点三　二面角

思考1　观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？

答案　二面角．

思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？

答案　二面角的平面角．

梳理　

（1）定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

（2）相关概念：

①这条直线叫作二面角的棱．②两个半平面叫作二面角的面．

（3）二面角的记法

以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角面α－AB－β.

（4）二面角的平面角：

若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

知识点四　平面与平面垂直

思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？

此时铅锤线与地面什么关系？

答案　都是垂直．

梳理　

（1）平面与平面垂直的概念

①定义：

如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

②画法：

③记法：

α⊥β.

（2）判定定理

文字语言

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，lβ⇒α⊥β

1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．（　×　）

2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.（　×　）

3．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．（　√　）

4．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（　√　）

类型一　线面垂直的定义及判定定理的理解

例1　下列命题中，正确的序号是________．

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　④⑤

解析　当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．

反思与感悟　

（1）对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．

（2）判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．

跟踪训练1　

（1）若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）

A．平面OABB．平面OAC

C．平面OBCD．平面ABC

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．（填序号）

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　

（1）C　

（2）①③④

解析　

（1）∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

（2）根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．

类型二　线面垂直的判定

例2　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：

BC⊥平面PAC.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC.

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.

而PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

引申探究　若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：

AE⊥平面PBC.

证明　由例2知BC⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.

∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC平面PBC，

∴AE⊥平面PBC.

反思与感悟　

（1）使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义．

②线面垂直的判定定理．

③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．

跟踪训练2　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：

PB⊥平面AEF.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　由引申探究知AE⊥平面PBC.

∵PB平面PBC，

∴AE⊥PB，又AF⊥PB，

且AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF，

∴PB⊥平面AEF.

类型三　面面垂直的判定

例3　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：

平面EBD⊥平面ABCD.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　连接AC，与BD交于O点，连接OE.

∵O为AC的中点，E为SA的中点，

∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.

反思与感悟　

（1）由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．

（2）证明面面垂直的常用方法：

①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．

跟踪训练3　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：

平面BDC1⊥平面BDC.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　由题设知BC⊥CC1，

BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，

即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，DC，BC平面BDC，

所以DC1⊥平面BDC.

又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

类型四　与二面角有关的计算

例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．

考点　二面角

题点　看图索角

解　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.

由题意知B1O⊥A1C1，

又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，

所以BO⊥A1C1，

所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥OB1.

设正方体的棱长为a，则OB1＝a，

在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，

所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.

反思与感悟　

（1）求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．

（2）为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．

跟踪训练4　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

考点　二面角

题点　看图索角

解　由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，

∴AC⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

又PC平面PAC，

∴PC⊥BC.

又∵BC是二面角P－BC－A的棱，

∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．

由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面（　　）

A．有且只有一个B．至多一个

C．有一个或无数个D．不存在

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　B

解析　若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．

2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　）

A．α∥β，且mαB．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且nβD．m⊥n，且n∥β

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　B

解析　A中，由α∥β，且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，mβ或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.

3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是（　　）

A．异面B．平行

C．垂直D．不确定

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　C

解析　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.

∵AC平面ABC，∴l⊥AC.

4．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为________．

考点　二面角

题点　看图索角

答案　60°

解析　由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点．取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.

由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.

又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，

∴∠PQO即是二面角P－AC