ARCH模型在金融时间序列中的应用.docx

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ARCH模型在金融时间序列中的应用

第一章绪论1

第一章绪论

1.1论文的研究背景及意义

随着经济的发展,金融市场已逐渐成为经济发展的重要部分,金融理论的基

础是风险与收益的关系,而资产价格的波动一定程度反映了资产的风险特性。

对

价格波动如何随时间变化的理解是投资者在决策过程中面临的主要问题之一,市

场投资者可以利用对波动性的预测来进行风险管理、衍生证券的定价与对冲、市

场时机的把握和投资组合的选择。

如:

市场波动性预测与市场风险溢价有关,对确

定有条件的资产定价模型的风险溢价有很大影响;波动性预测对期权定价也有重

要意义,因为股票市场波动是决定期权价格的主要因素。

因此,如何更深刻理解

股票市场波动性特征并从中探寻其规律性,对金融理论而且对金融实践均具有重

要意义。

波动性是股票市场的最主要的特征之一,对股市的波动性研究始终是学

者们关注的热点。

对于波动性探究,首先想到的技术是经典成熟的B-J范式,即ARMA类时间

序列模型。

但大量的实证研究表明,金融数据中存在着波动性聚集性和尖峰厚尾

的特性,因此,用一般的时间序列模型来拟合金融数的波动性就显得不太合适。

1982年Engle开创性的提出了自回归条件异方差模型,即ARCH模型,将时变方

差建立为过去波动的函数,能更好的描述资产收益率的尖峰厚尾的特征。

1986年,

Bollerslev提出了广义ARCH模型,即GARCH模型,GARCH模型克服了ARCH

模型的一些缺点,受到了人们的欢迎。

将GARCH模型运用于金融时间序列的分

析能够更有效的捕捉条件方差的动态特征,从而简化了高阶的ARCH模型。

ARCH

族模型是标准金融领域里最重要的模型之一,不仅在于它是一项极有理论价值的

理论创新,更在其对于现实世界的刻画与解释能力。

由于ARCH族模型展示了时

间序列变量之间一系列重要的特殊的不确定形式,它已被广泛运用到检验金融模

型与定理,验证市场有效性,测算市场系统性风险以及寻求最优动态无风险策略

等众多领域。

ARCH族模型目前还在继续拓展其解释能力和运用领域,在超高

频数据分析,多维模型等金融计量方法和市场微观结构理念的分析工具方面将引

领金融经济学未来发展的前沿。

2ARCH模型在金融时间序列分析中的应用

我国股票市场从成立至今仅有十几年的时间,但其发展速度非常迅猛,目前

已成为刺激投资,推动我国经济发展的一个必不可少的部分。

然而,正是由于时

间过短,仍然存在着很多不完善之处,比如法制建设不健全,市场监管不力等;

同时实证工作的开展更是远远落后于股市的发展。

这些都造成了我国股票市场不

同于西方发达国家的一个鲜明特征?

投机色彩非常浓厚。

同时其波动幅度和风险

大大高于国外成熟的市场,尤其是异常和超常波动更是频繁出现,股票市场波动

特征及其影响因素研究是学者们和投资者所关注的焦点问题,也是政策制定者和

监管当局衡量、监管和规避市场风险必不可少的参考。

中国股市一向被称为:

政

策市,资金市,消息市。

所以政策,资金和消息对中国股市的波动会产生重大的

影响。

现有研究中国股市波动性特征基本上认为中国股票市场的波动性比发达国

家成熟股市波动程度大。

近年来研究中国股市波动性正方兴未艾,而且主要研究

的是沪深股市指数收益波动性。

因而用ARCH理论对我国股票市场进行实证研究主要有以下几个目的:

第

一,吸收西方国家先进的金融计量经济学理论,力争为推动我国股票市场实证研

究工作的向前迈进做出一点贡献,以使其更趋规范,更趋严谨,同时对实践也能

起到更好的引导作用;第二,通过模型的实证结果力争揭示我国股票市场的总体

特征,并为其规范和完善提出一些合理化的建议。

1.2国内外研究概况

1.2.1国外研究现状

金融时间序列分析研究是资产价值随时问演变的理论与实践,它是一个带有

高度经验性的学科,但是也像其他科学领域一样,理论是形成分析推断的基础。

然而,金融时间序列分析有一个区别于其他时间序列分析的主要特点:

金融理论

及其经验的时间序列都包含不确定因素。

例如,资产波动率有各种不同的定义,

对一个股票收益率序列,波动率是不能直接观察到的。

正因为带有不确定性,统

计理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。

20世纪60年代后期,计量经济学理论在全球得到了迅猛发展,同时也掀开第一章绪论3

了时间序列分析方法崭新的一页。

1970年,Box和Jenkins系统提出了ARMA模

型的一系列理论,从此越来越多的学者开始关注随机时间序列模型。

1982年,诺贝尔经济学奖获得者Engle教授在研究金融资产的价格变动行为

中发现,非线性时间序列模型中随机扰动项的方差常常是不稳定的,它不仅受过

去价格波动冲击的影响,并且大幅波动往往聚集在某些时段。

为描述和预测这

类现象,Engle提出了自回归异方差ARCH模型,其核心思想是:

某一特定时期

的随机误差的方差不仅仅取决与以前的误差,还取决于其本身先前的方差。

这一

假设使ARCH模型较好捕捉了金融时间序列数据中存在的波动性聚类现象。

Engle教授在提出ARCH模型后,认识到在某些具体经济研究中ARCH模型

的本身制约性,他与Lilien和Robins等人先后对ARCH模型作了改进。

Engle等

将ARCH模型引人条件均值回归,提出了ARCH-M模型。

在该文中,他们考虑

了一个由有风险资产与无风险资产组成的两资产模型,风险由有风险资产的条件

方差的函数度量,这样,风险厌恶者决定的价格会随时间扰动,均衡价格将决定

均值一方差之间的关系。

将ARCH-M模型应用于美国国债分析,他们发现,若取

三月期国债为无风险资产,那么六月期国债的超额收益率显著地受所估计的风险

项的影响。

此后,Engle教授等又提出了FIGARCH以及多变量GARCH等一系列

推广模型,这些拓展模型与原有的ARCH模型构成了一套比较完整的ARCH族

计量模型体系。

Bollerslev1986在Engle教授的研究基础上发现:

ARCH模型无法表达“某

些情形中自相关系数消退很慢”这一信息,实际应用中对完全自由滞后分布的估

计常导致对非负约束的破坏。

Bollerslev提出了广义自回归异方差模型GARCH,

GARCH模型除了考虑扰动项的滞后期之外,同时也加入了扰动项条件方差的滞

后。

而Taylor在1986年独立提出的GARCH1,1模型更是在实际经济研究中得

到广泛应用。

此外,对单变量模型,人们还提出了门限自回归模型TARCH,非

线性模型NARCH,指数GARCH（exponentialGARCH,EGARCH）模型,单整

GARCH（IGARCH）模型。

对多变量模型还有一般动态回归,多变量回归,向量

自回归,共同周期趋势分析等理论。

1.2.2国内研究现状4ARCH模型在金融时间序列分析中的应用

我国股市虽然历经多年发展,但是由于起步较晚以及受本身政策制度的影响,

依然存在很多缺陷,比如:

股票价格在很多时候难以反映上市公司的实际价值、

股票换手率较高、易受人为因素和政策变化的影响,股票波动率较大等。

为了给

管理者及投资者予合理的、科学的建议,专家、学者们利用各种理论对中国股市

进行了研究。

王立风2004提出了基于ARCH的股价预测模型,该模型通过建立高阶回归

的ARCH模型来预测股价变化。

朱宁、徐标和仝殿波2006等通过ARIMA模型分析时间序列的随机性和平稳

性,对上证指数的日数据和月数据进行预测分析,即对上证指数作短、中期预测,

用SAS软件检验模型的可行性,并预测应用。

许庆光2007提出了基于ARCH模型的上海股票市场特征的研究,从实证结

果中总结出上海股市的总体特征,并为其进一步发展完善提出了一些建议。

俞盛华、王志同2005通过对中国股票市场建立ARCH模型进行实证研究得

出结论:

上证股市收益率符合ARCH效应,我国股票市场的价格对信息这里的

信息指的是证券公司的信息披露,或其他相关证鉴会发布的信息的反应不够灵

敏,深沪股市ARCH模型的峰态系数较大,表明我国股票市场具有较强的投机色

彩。

蒋祥林、王春峰2004把Hamilton提出的状态转移ARCH模型SWARCH运

用于上证股市研究发现:

证监会各种政策的出台以及股市管理者的各种言论往往

会引起股市由较低波动性状态向较高波动性状态转移。

周少甫、陈千里2004应用无条件波动的修正Levene检验和条件波动的

GARCH模型对上海股市的周日效应进行了研究。

吴林祥、徐龙炳2002进一步应用稳态分布理论来研究中国股票市场股票收

益的特性,结果表明,中国股票市场股票收益构成的时间序列呈现狭峰、厚尾,

具有稳态特征。

岳朝龙2001分别利用GARCH模型、IGARCH模型、GARCH.M模型及

EGARCH模型分析了上证综合指数1997年9月23日至1999年12月30日收益

率的波动特征,发现我国股市的收益率具有条件异方差性。

高振坤等2005通过建立GARCH-BP神经网络预测模型,结合了GARCH模

型与BP模型的优点,通过实证表明:

GARCH-BP模型具有收敛速度快、学习能第一章绪论5

力强、预测精度较高、误差率较小等特点。

还有学者通过建立EGARCH-M等模型对我国股票市场波动非对称性进行实

证研究,结果表明我国股票市场正在逐渐趋于理性,投资者也更加注重股票的投

资价值而不是投机价值,整个市场的投机成分不断减少。

综上所述,目前的研究主要是集中在运用时间序列方法对上证指数收益率波

动特性、平稳性及随机性等特征进行实证分析,虽然也有人提出了上证指数收益

率时间序列的ARCH模型,并用于预测,但也只是简单地采用某一种模型,而对

一个时间序列建立ARCH模型的完整过程直至得到一个确定的拟合模型并用来

预测,特别是对有多个适用的模型,如何从中选择最理想的模型,现有的研究比

较少见。

1.3本文的研究目的

本文首先通过模拟随机数来检验ARCH模型的有效性,然后选择我国沪市作

为研究对象,从理论到实证,通过样本数据来建立ARCH模型,并应用该模型来

研究中国股市收益率的波动性特征,间接验证模型的实用性,并为监管部门及投

资者提供一些有借鉴价值的结论。

1.4本文的思路与结构框架

本文内容与结构:

第1章介绍了论文研究的背景,并从国内外的研究现状来说明本文研究的

必要性和实用性,并提出本文的研究目的和框架结构。

6ARCH模型在金融时间序列分析中的应用

第2章重点对ARCH模型做了详细介绍,并概述了其拓展模型。

第3章验证了ARCH模型的有效性,并对与建立模型相关的步骤进行了详

细讨论。

第4章基于ARCH模型,对沪市的波动性进行了实证研究。

第5章总结了本文的主要工作,创新之处,及后续工作与展望。

第二章ARCH模型的基础理论7

第二章ARCH模型的基础理论

2.1ARCH模型

自回归条件异方差过程ARCH过程在文献中有多种不同的定义方法,以下介

绍的是基于恩格尔在1982年提出的定义。

一个随机变量x有P阶的自回归表示形式ARP,如果:

xxxx2.1

tt0112t2pt?

其中,?

为独立同分布的白噪声过程,且有E?

0,D。

ARP过程2.1

ttt

是一稳定过程,它的特征多项式:

10?

zzz?

所有的根都在单位圆

12p

外。

若有一随机过程?

它的平方服从ARq过程:

2222.2

tt011qtqt

其中?

独立同分布,且有E?

0,D,t1,2,?

则?

称服从q阶的

tttt

ARCH过程,记作?

ARCHq。

222

由于随机变量的非负性,给定变量,,?

的值,白噪声过程?

的分布

tt?

1t?

是受约束的,因为它显然应满足:

;t1,2,?

为确保为一稳定过程,

t0t

假设2.2式的特征方程:

zz?

0的所有的根都在单位圆外。

若?

0,?

12p0i

1iq?

2,?

成立,以上条件等价于?

1。

12q22

这样,若?

ARCHq,那么的无条件方差,?

E为

ttt

一常数。

ARCH模型的一个重要特点是给出了计算时间序列的条件方差的方法,在每一

时刻t,ARCH过程的条件方差是过去的随机干扰的函数,可由递推公式计算。

8ARCH模型在金融时间序列分析中的应用

为进一步研究ARCHq过程的性质。

以下将?

ARCHq表示为:

htttt

并假设?

独立同分布,E?

0,D?

1。

h有表达式

tttt

222

h,显然,在任何时刻t,的

tt0112t2qt?

条件期望为:

Eh|,?

tt?

1tt

条件方差为:

Eh|,?

h。

tt?

1ttt

ARCH模型一经提出,就由于它突破了传统异方差模型方式并更好地与实践

相结合,而显示了强大的生命力,并成为经济计量学研究条件异方差的重要手段。

但简单的线性ARCH模型仍存在着一些缺陷:

○ARCHq模型在实际应用中为得到更好的拟合效果常需要很大的阶数q,这

不仅增大了计算量,还会带来诸如解释变量多重共线等其他问题。

○在ARCHq模型中,h的大小不仅取决于,i1,?

q。

而且也受正

ttiti负的影响。

事实上,在股市上当前的收益率与未来的波动幅度往往负相关,即所

谓杠杆效应。

股票价值的减少将提高资产负债比,因此提高了公司的风险,从而

导致未来波动的上升。

ARCH模型中条件方差只依赖于的大小,而与反映

titi的趋势无关,它未能充分利用所提供的信息。

ti2

○ARCHq中为方便起见,将h设为的线性函数,而现实中线性情况只是

tti特例,是对非线性情况的近似,对不同的问题,这种近似程度也是不同的。

○ARCHq中,被设定服从正态分布,但是越来越多的研究表明,在一些

金融序列中,这种正态分布假设并不符合实际。

2.2ARCH模型的其它拓展

1GARCH模型

当人们发现ARCH模型无法表达“某些情形中自相关系数消退很慢”这一信第二章ARCH模型的基础理论9

息,而且,在实际应用中对完全自由的滞后分布的估计常常导致对非负约束的破

坏时,巴拉斯拉夫Bollerslev,1986通过在条件方差的右边加入条件方差的一个

时滞结构来修正ARCH模型,并称其为广义ARCH模型GARCH,这样设定的

方差形式可以揭示金融资产收益所具有的波动集聚特征。

GARCH模型用少量参

数就可以建立,并表示出一个缓慢衰减的自相关趋势.GARCHp,q模型可用

如下形式表示:

yx,

ttt?

h,?

N0,1

tttt

222

hk?

tt0112t2qt?

q1t?

1pt?

当p0时,GARCH过程就成为ARCHq过程。

从上式可以看出,ARCHq过

程的条件方差仅为过去样本方差的线性函数。

而GARCHp,q将滞后条件方差也考

虑进来,增加了条件方差过程的自适应功能,为了保证条件方差大于0,参数需满

足:

k0,0,0,1,条件方差中包含三项:

k为常数,

0ijij0

ij11

为ARCH项,h为GARCH项。

it?

ijt?

1j?

模型系数之和的大小,反映了序列波动的持续性,即序列在

ij11

过去时刻波动的大小特征在当前时刻被“继承”下来,若越接近1,?

ij11

“继承”的就越多,整个序列的波动就越大,当其小于l时,说明某时刻的冲击会

逐渐消失,但当其大于1时,说明这个冲击的影响不但不会消失,反而会扩散。

除了广义的ARCH模型GARCH外,在过去几年中还出现了一些其他的ARCH

模型的推广形式,如方差无穷GARCHIGARCH模型,门限ARCHTARCH模型,

指数GARCHEGARH模型,均值GARCHGARCH-M模型,成分ARCHCARCH

模型等。

这些不同形式的ARCH类模型,作为一种动态非线性的时间序列模型,它们的

波动性随时间的变化而变化,并且在这些模型中波动性是与过去的波动性以及过

去的误差项方差紧密相关的,这类模型已经被广泛应用于验证金融理论中的规律

描述以及金融市场的预测和决策。

以下对其中的几种作简要的介绍。

10ARCH模型在金融时间序列分析中的应用

2EGARCH模型

值得注意的是,上述模型系数要求非负,但在1976年和1982年Black和Christie

就相继指出了股票市场上的“杠杆效应”,即当前的收益与未来的波动幅度负相

关,也就是说,h不仅与的大小有关,还与其符号正负有关。

鉴于此,Nelson1992

tti提出了指数GARCH模型EGARCH模型。

EGARCH模型用来刻画不同性质的冲击

对预期收益的影响。

波动性对收益率冲击的反应具有非对称效果,即负冲击所引

起的波动要大于同等程度的正冲击所引起的波动。

0表示杠杆效应的存在。

ti?

lnhk?

lnhtj0t?

jii

ji11

ti?

模型中条件方差采用了自然对数形式,意味着无论取任何实数,条件方差h

总是大于零的,无需考虑条件方差的非负性。

所以在对EGARCH模型作参数估计

时不需对约束,从而减少很多计算量,这是EGARCH模型的一大优点。

EGARCH模型的另一个重要特征是在条件方差h中引入参数,使得干扰项

t取正负值时有不同的变化,因此EGARCH模型可以很好的刻划金融市场中的不

对称性情况,比如在股票市场,若将利好消息看作对股价的正干扰,将利空消息

看作对股价的负干扰,若?

0时,那么一个负的干扰项?

0所引起的h的变化

比相同程度的正干扰0?

所引起的h的变化将更剧烈。

tt3TARCH模型

TARCH模型由Zakoian1990提出的,同样是刻画不同性质的冲击对预期收益

的影响。

hkhI

t0itijtj?

ktk?

tk?

ij11k?

其中I是一个虚拟变量,当时?

0时,I?

1,否则I0。

0和?

0对

tttttt第二章ARCH模型的基础理论11

条件方差的作用不相同。

当时?

0,其影响系数为,当?

0时,其影响系

tit

数为。

若?

0,则说明信息不对称,存在杠杆效应。

若?

0,说明

ikkk

ik11?

0比?

0对波动的影响更大。

若?

0,说明?

0比?

0对波动的影响更

ttktt

大。

4GARCH-M模型

Engle、Lilien和Robins于1987年提出了ARCH-MARCH-in-mean模型。

它把条

件方差引入均值方程中,描述风险溢价随时间变化,体现风险和收益的动态关系,

它提供了一个估计和检验时变型风险补偿的新方法。

ARCH-M模型是在普通回归方程等式右边增加一项h,模型表示为:

yx?

htttt称为风险系数,正值说明收益率与它的过去的波动正相关。

反映收益与

风险的正相关,?

1表示对市场风险要求较高的报酬,属于厌恶风险的投资者,?

1表示对市场风险要求较低的报酬,属于投机性强的投资者。

12ARCH模型在金融时间序列分析中的应用第三章ARCH模型的建立13

第三章ARCH模型的建立

建立一个ARCH模型主要包括以下六个步骤:

1检验ARCH模型的有效性

2对收益率序列进行自相关性检验,再根据自相关系数和偏相关系数进行模型

识别,并建立均值方程

3对均值方程的残差进行ARCH效应检验

4进行ARCH模型的参数估计

5模型的验证,判断模型是否合适

6用模型进行短期的预测并分析结果

7对模型进行评价

3.1ARCH模型的有效性验证

通过已知模型来产生随机数,再通过随机数来估计模型的参数,比较已知模

型的参数和由随机数求得的参数,来进行ARCH模型的参数估计方法的有效性研

究。

假设有ARCH2模型:

y0.01

222?

0.00010.900.05

tt?

12t对于该模型,我们模拟出1000个值来检验其有效性,模拟随机数的估计结果如下:

表3.1ARCH2模型参数估计的结果

参数估计值标准误差T统计量

C0.000248140.00011732.1154

K0.000100972.9424e-00634.3144

ARCH10.913260.02576935.4406

ARCH20.0426780.00790645.397914ARCH模型在金融时间序列分析中的应用

假设有GARCH1,1模型:

ytt

222?

0.00010.90.05

tt11t

为了更全面的检验有效性:

分别考虑残差服从正态分布和T分布两种情况:

表3.2基于正态分布的GARCH1,1模型参数估计结果

参数估计值标准误差T统计量

C-0.000931050.0012828-0.7258

K8.4946e-0054.8812e-0051.7403

GARCH10.89720.04280920.9581

ARCH10.0543050.0193372.8084

表3.3基于T分布的GARCH1,1参数估计结果

参数估计值标准误差T统计量

C-0.000148810.00087962-0.1692

K7.3121e-0053.8315e-0051.9084

GARCH10.906070.03768824.0410

ARCH10.0462260.0194712.3741

DoF3.31650.410718.0750

根据程序得到的数据,可知分析结果与预期相吻合,说明了ARCH模型以及

GARCH模型参数估计的有效性。

3.2模型识别与均值方程的建立

1回归模型的建立与检验

对于一般的一元线性回归模型或多元线性回归模型,可用最小二乘法估计其第三章ARCH模型的建立15

参数。

以下主要介绍有关线性回归模型的一些检验:

已知有含k个解释变量的多元回归模型:

yxx?

1tT?

2,?

tt01122tkktt,

○变量的显著性检验（t检验）

检验某一解释变量x是否对因变量y具有显著性影响,假设检验为:

HH:

0。

b是的无偏估计,tt?

k1,其中seb是b

01iiii

seb

的估计标准差,对于双边检验,若tt?

1T?

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