全国卷1理科数学试题解析纯word版完美版.docx

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全国卷1理科数学试题解析纯word版完美版

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学

一、选择题：

（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、已知集合{<1}，{3x<1}，则（）

A．A∩{<0}B．A∪C．A∪{>1}D．A∩∅

解析：

{<1}，{3x<1}={<0}，∴A∩{<0}，A∪{<1}，选A．

2、如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A．B．C．D．

解析：

设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2=4，圆的面积为π×12=π，图中黑色部分的概率为．则此点取自黑色部分的概率为=．故选B．

3、设有下面四个命题，其中正确的是（）

p1：

若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：

若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：

若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；

p4：

若复数z∈R，则∈R．

A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4

解析：

p1:

设，则==∈R，得到0，所以z∈R．故p1正确；

p2:

若z2=–1，满足z2∈R，而，不满足z2∈R，故p2不正确；

p3:

若z1=1，z2=2，则z1z2=2，满足z1z2，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；

p4:

实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确；故选B．

4、记为等差数列{}的前n项和，若a45=24，S6=48，则{}的公差为（）

A．1B．2C．4D．8

解析：

a451+31+424，S6=6a1+48，联立求得

①×3–②得（21–15）24，∴624，∴4，∴选C．

当然，我们在算的时候引用中间项更快更简单：

a45=24→a4.5=12，S6=48→a3.5=8，∴4．

5、函数f（x）在（–∞∞）单调递减，且为奇函数．若f

（1）=–1，则满足–1≤f（x–2）≤1的x的取值范围是（）

A．[–2,2]B．[–1,1]C．[0,4]D．[1,3]

解析：

因为f（x）为奇函数，所以f（–1）=–f

（1）=1，于是–1≤f（x–2）≤1等价于f

（1）≤f（x–2）≤f（–1）．

又f（x）在（–∞∞）单调递减，∴–1≤x–2≤1，∴1≤x≤3．故选D．

6、（1+）

（1）6展开式中x2的系数为（）

A．15B．20C．30D．35

解析：

（1+）

（1）6=1·

（1）6+·

（1）6．对

（1）6的x2项系数为C==15，

对·

（1）6的x2项系数为C=15，∴x2的系数为15+15=30．故选C．

7、某多面体的三视图如图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为（）

A．10B．12C．14D．16

解析：

由三视图可画出立体图

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，∴S梯=（2+4）×2÷2=6，S全=6×2=12．故选B．

8、右面程序框图是为了求出满足3n–2n>1000的最小偶数n，那么在

和

两个空白框中，可以分别填入（）

A．A>1000和1B．A>1000和2C．A≤1000和1D．A≤1000和2

解析：

因为要求A大于1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“

”中不能输入A>1000，排除A、B．

又要求n为偶数，且n初始值为0，“

”中n依次加2可保证其为偶，故选D．

9、已知曲线C1：

，C2：

（2），则下面结论正确的是（）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

解析：

C1：

，C2：

（2），首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1：

用诱导公式处理．（–）（）．横坐标变换需将ω=1变成ω=2，

即（）→

（2）2（）→

（2）2（）．

注意ω的系数，在右平移需将ω=2提到括号外面，这时平移至，

根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．

10、已知F为抛物线C：

y2=4x的交点，过F作两条互相垂直l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D，E两点，的最小值为（）

A．16B．14C．12D．10

解析：

设倾斜角为θ．作1垂直准线，2垂直x轴，易知．

∴·θ．同理，，∴=．又与垂直，即的倾斜角为+θ，=，而y2=4x，即2．∴2P（）=4==≥16，当θ=取等号，即最小值为16，故选A．

11、设x，y，z为正数，且235z，则（）

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

解析：

取对数：

235，=>，∴2x>3y．又∵25，则=<．∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D．

12、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：

N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）

A．440B．330C．220D．110

解析：

设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．

设第n组的项数为n，则n组的项数和为，

由题，N>100，令>100→n≥14且n∈，即N出现在第13组之后．第n组的和为=2n–1．

n组总共的和为–2n–2–n．

若要使前N项和为2的整数幂，则N–项的和2k–1应与–2–n互为相反数，即2k–1=2（k∈，n≥14）．

∴2（3）．∴29，5．∴+5=440，故选A．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分．

1、已知向量a，b的夹角为60°，2，1，则2．

解析：

22=（2b）22+2·2·60°+

（2）2=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，∴2=2．

2、设x，y满足约束条件，则3x–2y的最小值为．

解析：

不等式组表示的平面区域如图．

由3x–2y得x–，

求z的最小值，即求直线x–的纵截距的最大值

当直线x–过图中点A时，纵截距最大

由解得A点坐标为（–1,1），此时3×（–1）–2×1=–5．

3、已知双曲线C：

–=1，（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠60°，则C的离心率为．

解析：

如图，，．

∵∠60°，∴b，=，

∴θ==，又∵θ=，∴=，解得a2=3b2，∴==．

4、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的等边三角形的中心为O，D、E、F为元O上的点，△，△，△分别是一，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起△，△，△，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

3）的最大值为．

解析：

由题，连接，交与点G，由题，⊥，，即的长度与的长度或成正比．

设，则2x，5–x．∴三棱锥的高==．

又∵S△2·3x·=3x2，∴S△·x2·=·，

令f（x）=25x4–10x3，x∈（0,），f'（x）=100x3–50x4．

令f'（x）>0，即x4–2x3<0，x<2．∴f（x）≤f

（2）=80，∴V≤×=4，

体积最大值为43．

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17–21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

共60分．

1、△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为．

（1）求；

（2）若61，3，求△的周长．

解析：

本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.

（1）∵△面积且，∴=．∴a2=．

∵由正弦定理得22A，由≠0得．

（2）由

（1）得，．∵π，∴（π–B–C）=–（）–．

又∵A∈（0,π），∴60°，∴，．

由余弦定理得a222–9①

由正弦定理得·，·，∴·8②

由①②得．∴3+，即△的周长为3+．

2、（12分）如图，在四棱锥P–中，∥中，且∠∠90°．

（1）证明：

平面⊥平面；

（2）若，∠90°，求二面角A––C的余弦值．

解析：

（1）证明：

∵∠∠90°，∴⊥，⊥．又∵∥，∴⊥．

又∵∩，、⊂平面．∴⊥平面，又⊂平面．∴平面⊥平面．

（2）取中点O，中点E，连接，，∵∥

∴四边形为平行四边形，∴∥．

由

（1）知，⊥平面，∴⊥平面，又、⊂平面．

∴⊥，⊥．又∵，∴⊥．∴、、两两垂直

∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O–．

设2，∴D（–,0,0）、B（,2,0）、P（0,0,）、C（–,2,0），∴（–,0,–）、（,2,–）、（–2,0,0）

设（）为平面的法向量

由，得．令1，则，0，可得平面的一个法向量（0,1,）．

∵∠90°，∴⊥．

又知⊥平面，⊂平面．

∴⊥，又∩，∴⊥平面

即是平面的一个法向量，（–,0,–）．∴<>===–．

由图知二面角A––C为钝角，所以它的余弦值为–．

3、（12分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：

）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ,σ2）．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ–3σ,μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ–3σ,μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①试说明上述监控生产过程方法的合理性：

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

，

，其中为抽取的第i个零件的尺寸，1，2，...，16．

用样本平均数为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除（–3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：

若随机变量Z服从正态分布N（μ,σ2），则P（μ–3σ

解析：

（1）由题可知尺寸落在（μ–3σ,μ+3σ）之内的概率为0.9974，落在（μ–3σ,μ+3σ）之外的概率为0.0026．

P（0）（1–0.9974）0·0.997416≈0.9592，P（X≥1）=1–P（0）≈1–0.9592=0.0408，

由题可知（16,0.0026），∴E（X）=16×0.0026=0.0416．

（2）①尺寸落在（μ–3σ,μ+3σ）之外的概率为0.0026，

由正态分布知尺寸落在（μ–3σ,μ+3σ）之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理．

②（μ–3σ=9.97–3×0.212=9.334，μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，∴（μ–3σ,μ+3σ）=（9.334,10.606）

∵9.22∉（9.334,10606），∴需对当天的生产过程检查，因此剔除9.22．剔除数据之后：

μ==10.02．

σ2=[（9.95–10.02）2+（10.12–10.02）2+（9.96–10.02）2+（9.96–10.02）2+（10.01–10.02）2+（9.92–10.02）2+（9.98–10.02）2+（10.04–10.02）2+（10.26–10.02）2+（9.91–10.02）2+（10.13–10.02）2+（10.02–10.02）2+（10.04–10.02）2+（10.05–10.02）2+（9.95–10.02）2]×，∴σ=≈0.09．

4、（12分）已知椭圆C：

+=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1,），P4（1,）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：

l过定点．

解析：

（1）根据椭圆对称性，必过P3、P4．又P4横坐标为1，椭圆必不过P1，所以过P2、P3、P4三点

将P2（0,1）、P3（–1,）代入椭圆方程得，解得a2=4，b2=1．∴椭圆C的方程为：

2=1．

（2）①当斜率不存在时，设l：

，A（），B（m,–），22+=–=–1

得2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

②当斜率存在时，设l：

（b≠1），A（x11），B（x22），

联立，整理得（1+4k2）x2+84b2–4=0．∴x12=，x1x2=．

则22+====–1．

又b≠1，∴–2k–1，此时△=–64k，存在k使得△>0成立．

∴直线l的方程为–2k–1．当2时，–1．所以l过定点（2,–1）．

5、（12分）已知函数f（x）2（a–2）–x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

解析：

（1）由于f（x）2（a–2）–x，故f'（x）=22（a–2）–1=（–1）（21）

①当a≤0时，–1<0，21>0．从而f'（x）<0恒成立．

f（x）在R上单调递减

②当a>0时，令f'（x）=0，从而–1=0，得–．

x

（–∞,–）

–

（–∞）

f'（x）

–

0

+

f（x）

单调减

极小值

单调增

综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a>0时，f（x）在（–∞,–）上单调递减，在（–∞）上单调递增

（2）由

（1）知，

当a≤0时，f（x）在R上单调减，故f（x）在R上至多一个零点，不满足条件．

当a>0时，（–）=1–．

令g（a）=1–（a>0），则g'（a）=+>0．从而g（a）在（0∞）上单调增，而g

（1）=0．故当01时g（a）>0．

若a>1，则1–（a）>0，故f（x）>0恒成立，从而f（x）无零点，不满足条件．

若1，则1–0，故f（x）=0仅有一个实根–0，不满足条件．

若00．f（–1）=++1–>0．

故f（x）在（–1,–）上有一个实根，而又（–1）>=–．

且f（（–1））的（–1）次方·（a·e的（–1）次方–2）–（–1）=（–1）·（3––2）–（–1）=（–1）–（–1）>0．

故f（x）在（–（–1））上有一个实根．

又f（x）在（–∞,–）上单调减，在（–∞）单调增，故f（x）在R上至多两个实根．

又f（x）在（–1,–）及（–（–1））上均至少有一个实数根，故f（x）在R上恰有两个实根．

综上，0

（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

1、[选修4–4：

坐标系与参考方程]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）若–1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．

解析：

（1）–1时，直线l的方程为4y–3=0．曲线C的标准方程是2=1，

联立方程，解得：

或，则C与l交点坐标是（3,0）和（–）．

（2）直线l一般式方程是4y–4–0．设曲线C上点P（3θθ）．

则P到l距离=，其中φ=．依题意得：

，解得–16或8．

2、[选修4–5：

不等式选讲]已知函数f（x）=–x24，g（x）1–1|．

（1）当1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1,1]，求a的取值范围．

解析：

（1）当1时，f（x）=–x24，是开口向下，对称轴的二次函数．g（x）1–1，

当x∈（1∞）时，令–x24=2x，解得．

g（x）在（1∞）上单调递增，f（x）在（1∞）上单调递减．∴此时f（x）≥g（x）解集为（1,]．

当x∈[–1,1]时，g（x）=2，f（x）≥f（–1）=2；当x∈（–∞,–1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（–1）（–1）=2．

综上所述，f（x）≥g（x）解集[–1,]．

（2）依题意得：

–x24≥2在[–1,1]恒成立．

即x2––2≤0在[–1,1]恒成立．则只须，解出：

–1≤a≤1．故a取值范围是[–1,1]．