导数中含参数单调性及取值范围.docx
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导数中含参数单调性及取值范围
应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调
性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的
热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用,仍将是高考压轴题•
一.含参数函数求单调性(求可导函数单调区间的一般步骤和方
法:
(1)确定函数定义域;
(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间,令导数小于0,解得减区间.)
例1(2012西2)已知函数f(x)2ax2a1,其中aR.
x1
(I)当a1时,求曲线yf(x)在原点处的切线方程;
(U)求f(x)的单调区间.
…a1时,f(x)£,f(x)2i2y^)
x
(,xj
x
(xm)
X2
(X2,)
f(x)
0
0
f(x)
f(Xj
/
f(X2)
故f(x)的单调减区间是(,a),(―,);单调增区间是(a,—).7分
aa
③当a0时,f(x)与f(x)的情况如下:
x
(,X2)
X2
区必)
X1
(X1,)
f(x)
0
0
f(x)
/
f(X2)
f(x)
/
f(a)
若f(x)在[0,)上存在最大值,必有f(0)0,解得a1,或a
所以a
0时,若f(x)在[0,
)上存在最大值和最小值,a的取值范围是(
综上,
a的取值范围是(,1]U(0,1]•
14分
设函数f(x)=ax—(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.
【解析】由已知得函数f(x)的定义域为
(1,),且f'(x)
J(a1),
x1
⑴当1a0时,f(x)0,
函数
f(x)在(1,
)上单调递减,
(2)当a0时,由f(x)0,解得
x
(1,1)a
1a
d,)
a
f'(x)
—
0
+
f(x)
]
极小值
Z
a
从上表可知
当
f(x)、f(x)随x的变化情况如下表
x(11)时,f'(x)o,函数f(x)在(11)上单调递减.
,a,a
)时,
f'(x)0,函数f(x)在
(1)上单调递增.
a,
综上所述:
当
0时,函数f(x)在(1,)上单调递减.当a0时,函数f(x)在(1丄)上单调递减,函数f(x)在(2
aa'
)上单调递
3
已知函数f(x)X2^a1,其中a0.
x
(I)若曲线yf(x)在(1,f
(1))处的切线与直线y1平行,求a的值;
(II)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值•
c333、
2a2(xa)
解:
f(x)2x22,x0-2分
xx
3
(I)由题意可得f
(1)2(1a)0,解得a1,3分
此时f
(1)4,在点(1,f
(1))处的切线为y4,与直线y1平行
故所求a值为1.
4分
(II)由f(x)0可得xa,a0,
5分
①当0a1时,f(x)0在(1,2]上恒成立,所以yf(x)在[1,2]上递增,
.6分
3
所以f(x)在[1,2]上的最小值为.......7分
②当1a2时,
x
(1,a)
a
(a,2)
f(x)
—
0
+
f(x)
极小
10分
2
由上表可得yf(x)在[1,2]上的最小值为f(a)3a111分
(n)是否存在实数a,使得对任意的x1,,都有f(x)0?
若存在
,求a的
③当a2时,f(x)0在[1,2)上恒成立,
取值范围;若不存在,请说明理由•
2(2012顺义2文)(•本小题共14分)
已知函数f(x)(a1)x22lnX,g(x)2ax,其中a1
(I)求曲线yf(x)在(1,f
(1))处的切线方程;
(n)设函数h(x)f(x)g(x),求h(x)的单调区间•
3(2012朝1)18.(本题满分14分)
已知函数f(x)ax21ex,aR.
(I)若函数f(x)在x1时取得极值,求a的值;
(n)当a0时,求函数f(x)的单调区间•
二参数范围
有单调性时分离常数法
(n)若f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围.
所以f(x)
令g(x)
11分
x2
整理得a
x
e
x,g(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(,3)
3
(3,)
g(x)
0
+
3
由此得ag(3)=e,即a的取值范
g(x)
极小值
z
练习1(2012怀柔2)设aR,函数f(x)ax33x2.
(I)若x2是函数yf(x)的极值点,求实数a的值;
(n)若函数g(x)exf(x)在[0,2]上是单调减函数,求实数f(x)3ax26x3x(ax2).
2是函数
a的取值范围.
围是e3.13分
2(2012石景山1)
已知函数f(x)
2alnx.
(I)若函数f(x)的图象在(2,f
(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;
(n)求函数f(x)的单调区间;
2
(川)若函数g(x)—f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
x
分类讨论求参数
1
例2(2012昌平1)已知函数•f(x)lnxax(a为实数)
(l)当a0时,求f(x)的最小值;
(II)若f(x)在[2,)上是单调函数,求a的取值范围
.5分
故f(X)minf
(1)1
11ax2x1
(叮由f(x)一—a2
xxx
2
②当a0时,令g(x)axx1
故此时f(x)在[2,)上只能是单调递减
4a
21门
1
f
(2)
0
即
0解得a
…….9分
4
4
c4a21小
1
当a
0时,
f(x)
在[2,)上只能是单调递增
f⑵
0即0,得a
4
4
故a
0
-.11分
综上a
(
丄]
[0,)
…….13分
4
根据性质求范围)
(零点例(2012昌平2)已知函数f(x)4lnxax26xb(a,b为常数),
且x2为f(x)的一个极值点.
(I)求a的值;
(n)求函数f(x)的单调区间;
(川)若函数yf(x)有3个不同的零点,求实数b的取值范围.
解:
(I)函数f(x)的定义域为(0,心)……i分:
f‘x)=—2ax6……2分
x
•-f
(2)24a60,则a=1.4分
单调递减区间为(1,2).
f(x)的极小值为f
(2)
4ln2
412b
4ln2
8
b……12分
f
(1)
b5
0
由题意可知
则
5b
8
4ln214分
f
(2)
4ln2
8b0
(I)求函数f(x)的单调区间;
(i)当a0时,f'(x),f(x)随着x的变化如下表
x
(,
3aa
(3a
a)
a
(a
f'(x
)
0
0
f(x:
极小
值
/
极大
值
函数f(x)的单调递增区间是(3a,a),函数f(x)的单调递减区间是(,3a),(a,)
G4分
当a0时,f'(x),f(x)随着x的变化如下表
a)
X
(,a)
a
(a,3a)
3a
(3a,
f'(X)
0
0
f(X)
极小值
/
极大值
函数f(x)的单调递增区间是(a,3a),函数f(x)的单调递减区间是(
(3a,
(“)当a1时,由(I)得f(x)是(3,1)上的增函数,是(1,)上的减函数
1
不等式例3(2012房山〔)设函数f(x)-x32ax23a2xa(aR).
3
(I)当a1时,求曲线yf(x)在点3,f(3)处的切线方程;
(n)求函数f(x)的单调区间和极值;
(川)若对于任意的x(3a,a),都有f(x)a1,求a的取值范围极值例4(2012丰台1)已知函数f(x)1x3ax21(aR).
3
(I)若曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线与直线x+yH=0平行,求a的值;(n)若a>0,函数y=f(x)在区间(a,a2-3)上存在极值,求a的取值范围;(川)若a>2,求证:
函数y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点.
(单调性)已知函数f(x)x3mx23m2x1(m0).
(n)若函数f(x)在区间(2m1,m1)上单调递增,求实数m的取值范围.
f'(x)x22x3,f'
(2)
22
⑴f'(x)x2mx3m.
令f'(x)0,得x3m或xm.••7分
由于m0,f(x),f(x)的变化情况如下表:
X
(,3m)
3m
(3m,m)
m
(m,)
f'(x)
+
0
0
+
f(x)
单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
所以函数f(x)的单调递增区间是(
3m)和(m,).9分
应有m仁3m或2m1>m,
11分
(2012朝2)设函数f(x)
alnx
0).
12分
2m1
(1)已知曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线I的斜率为23a,求实数a的值;
(n)讨论函数f(x)的单调性;
(川)在(I)的条件下,求证:
对于定义域内的任意一个x,都有f(x)3x.
(I)求实数a,b的值;
(2012西城一模)如图,抛物线y
(II)求函数g(x)axInx的单调区间
(2012东1)已知x1是函数f(x)(ax2)ex的一个极值点.
(I)求实数a的值;
(n)当%,x20,2时,证明:
f(xjf(X2)e
实用
2
C在第一象限),CD//AB.记|CD|
2x,梯形ABCD面积为S.
x9与x轴交于两点A,B,点C,D在抛物线上(点
(I)求面积S以x为自变量的函数式;
(i)解:
依题意,点C的横坐标为x,点C的纵坐标为yC
的横坐标xB满足方程
Xb
所以
由点
1^ICDI
C在第一象限,得0
|AB|)比
-(2x23)(x
2
9.
Xb
29)
(n)若LCDJk,其中k为常数,且0k1,求S的最大值.IAB|
0x3,
(n)解:
由
X
及o
k1,得0
x3k.
6分
3k,
记f(X)
(X3)(X2
9),
0x3k,
则f(X)
3x26x
9
3(x1)(x
3).
8分
S关于
S
(x
3)(
x的函数式为
所以
5分
令f(x)0,得x1.
9分
2
x9),0x3.
①若1
3k,即—k1时,f(x)与f(x)的变化情况如下:
3
X
(0,1)
1
(1,3k)
f(X)
0
f(x)
/
极大值
时,f(x)
3
0恒成立,
②若13k,即0k
所以,当x1时,f(X)取得最大值,且最大值为f
(1)32.ii分
13分
所以,f(x)的最大值为f(3k)27(1k)(1k2)
1
综上,—
1时,S的最大值为32;0k
2
时,S的最大值为27(1k)(1k)