导数中含参数单调性及取值范围.docx
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导数中含参数单调性及取值范围
应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点；利用导数研究函数的单调
性、极值、最值、图象仍将是高考的主题；利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的
热点；将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题•
一.含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方
法:
（1）确定函数定义域；
（2）求导数；（3）令导数大于0,解得增区间，令导数小于0,解得减区间.）
例1（2012西2）已知函数f（x）2ax2a1，其中aR.
x1
（I）当a1时，求曲线yf（x）在原点处的切线方程;
（U）求f（x）的单调区间.
…a1时，f（x）£，f（x）2i2y^）
x
（，xj
x
（xm）
X2
（X2,）
f（x）
0
0
f（x）
f（Xj
/
f（X2）
故f（x）的单调减区间是（,a），（―,）；单调增区间是（a,—）.7分
aa
③当a0时，f（x）与f（x）的情况如下：
x
（，X2）
X2
区必）
X1
（X1,）
f（x）
0
0
f（x）
/
f（X2）
f（x）
/
f（a）
若f（x）在［0,）上存在最大值，必有f（0）0，解得a1,或a
所以a
0时，若f（x）在［0,
）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（
综上,
a的取值范围是（,1］U（0,1］•
14分
设函数f（x）=ax—（a+1）ln（x+1）,其中a-1，求f（x）的单调区间.
【解析】由已知得函数f（x）的定义域为
（1,），且f'（x）
J（a1）,
x1
⑴当1a0时，f（x）0,
函数
f（x）在（1,
）上单调递减,
（2）当a0时，由f（x）0,解得
x
（1,1）a
1a
d,）
a
f'（x）
—
0
+
f（x）
]
极小值
Z
a
从上表可知
当
f（x）、f（x）随x的变化情况如下表
x（11）时，f'（x）o,函数f（x）在（11）上单调递减.
，a，a
）时，
f'（x）0,函数f（x）在
（1）上单调递增.
a，
综上所述：
当
0时，函数f（x）在（1,）上单调递减.当a0时，函数f（x）在（1丄）上单调递减，函数f（x）在（2
aa'
）上单调递
3
已知函数f（x）X2^a1,其中a0.
x
（I）若曲线yf（x）在（1,f
（1））处的切线与直线y1平行，求a的值;
（II）求函数f（x）在区间［1,2］上的最小值•
c333、
2a2（xa）
解：
f（x）2x22，x0-2分
xx
3
（I）由题意可得f
（1）2（1a）0，解得a1，3分
此时f
（1）4，在点（1,f
（1））处的切线为y4，与直线y1平行
故所求a值为1.
4分
（II）由f（x）0可得xa，a0，
5分
①当0a1时，f（x）0在（1,2］上恒成立，所以yf（x）在［1,2］上递增,
.6分
3
所以f（x）在［1,2］上的最小值为.......7分
②当1a2时，
x
（1,a）
a
（a,2）
f（x）
—
0
+
f（x）
极小
10分
2
由上表可得yf（x）在［1,2］上的最小值为f（a）3a111分
（n）是否存在实数a，使得对任意的x1,，都有f（x）0?
若存在
，求a的
③当a2时，f（x）0在［1,2）上恒成立，
取值范围；若不存在，请说明理由•
2（2012顺义2文）（•本小题共14分）
已知函数f（x）（a1）x22lnX,g（x）2ax,其中a1
（I）求曲线yf（x）在（1,f
（1））处的切线方程；
（n）设函数h（x）f（x）g（x），求h（x）的单调区间•
3（2012朝1）18.（本题满分14分）
已知函数f（x）ax21ex,aR.
（I）若函数f（x）在x1时取得极值，求a的值；
（n）当a0时，求函数f（x）的单调区间•
二参数范围
有单调性时分离常数法
（n）若f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围.
所以f（x）
令g（x）
11分
x2
整理得a
x
e
x,g（x）,g（x）的变化情况如下表：
x
（,3）
3
（3,）
g（x）
0
+
3
由此得ag（3）=e，即a的取值范
g（x）
极小值
z
练习1（2012怀柔2）设aR，函数f（x）ax33x2.
（I）若x2是函数yf（x）的极值点，求实数a的值；
（n）若函数g（x）exf（x）在[0,2]上是单调减函数，求实数f（x）3ax26x3x（ax2）.
2是函数
a的取值范围.
围是e3.13分
2（2012石景山1）
已知函数f（x）
2alnx.
（I）若函数f（x）的图象在（2,f
（2））处的切线斜率为1,求实数a的值;
（n）求函数f（x）的单调区间；
2
（川）若函数g（x）—f（x）在［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围.
x
分类讨论求参数
1
例2（2012昌平1）已知函数•f（x）lnxax（a为实数）
（l）当a0时，求f（x）的最小值;
（II）若f（x）在［2,）上是单调函数，求a的取值范围
.5分
故f（X）minf
（1）1
11ax2x1
（叮由f（x）一—a2
xxx
2
②当a0时，令g（x）axx1
故此时f（x）在［2,）上只能是单调递减
4a
21门
1
f
（2）
0
即
0解得a
…….9分
4
4
c4a21小
1
当a
0时，
f（x）
在［2,）上只能是单调递增
f⑵
0即0,得a
4
4
故a
0
-.11分
综上a
（
丄］
［0,）
…….13分
4
根据性质求范围）
（零点例（2012昌平2）已知函数f（x）4lnxax26xb（a,b为常数），
且x2为f（x）的一个极值点.
（I）求a的值；
（n）求函数f（x）的单调区间；
（川）若函数yf（x）有3个不同的零点，求实数b的取值范围.
解：
（I）函数f（x）的定义域为（0,心）……i分：
f‘x）=—2ax6……2分
x
•-f
（2）24a60，则a=1.4分
单调递减区间为（1,2）.
f（x）的极小值为f
（2）
4ln2
412b
4ln2
8
b……12分
f
（1）
b5
0
由题意可知
则
5b
8
4ln214分
f
（2）
4ln2
8b0
（I）求函数f（x）的单调区间;
（i）当a0时，f'（x）,f（x）随着x的变化如下表
x
（,
3aa
（3a
a）
a
（a
f'（x
）
0
0
f（x：
极小
值
/
极大
值
函数f（x）的单调递增区间是（3a,a）,函数f（x）的单调递减区间是（,3a）,（a,）
G4分
当a0时，f'（x）,f（x）随着x的变化如下表
a）
X
（,a）
a
（a,3a）
3a
（3a,
f'（X）
0
0
f（X）
极小值
/
极大值
函数f（x）的单调递增区间是（a,3a）,函数f（x）的单调递减区间是（
（3a,
（“）当a1时，由（I）得f（x）是（3,1）上的增函数，是（1,）上的减函数
1
不等式例3（2012房山〔）设函数f（x）-x32ax23a2xa（aR）.
3
（I）当a1时，求曲线yf（x）在点3,f（3）处的切线方程；
（n）求函数f（x）的单调区间和极值；
（川）若对于任意的x（3a,a），都有f（x）a1，求a的取值范围极值例4（2012丰台1）已知函数f（x）1x3ax21（aR）.
3
（I）若曲线y=f（x）在（1,f
（1））处的切线与直线x+yH=0平行，求a的值；（n）若a>0，函数y=f（x）在区间（a,a2-3）上存在极值，求a的取值范围；（川）若a>2，求证：
函数y=f（x）在（0,2）上恰有一个零点.
（单调性）已知函数f（x）x3mx23m2x1（m0）.
（n）若函数f（x）在区间（2m1,m1）上单调递增，求实数m的取值范围.
f'（x）x22x3，f'
（2）
22
⑴f'（x）x2mx3m.
令f'（x）0，得x3m或xm.••7分
由于m0,f（x）,f（x）的变化情况如下表:
X
（,3m）
3m
（3m,m）
m
（m,）
f'（x）
+
0
0
+
f（x）
单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
所以函数f（x）的单调递增区间是（
3m）和（m,）.9分
应有m仁3m或2m1>m,
11分
（2012朝2）设函数f（x）
alnx
0）.
12分
2m1
（1）已知曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线I的斜率为23a，求实数a的值;
（n）讨论函数f（x）的单调性；
（川）在（I）的条件下，求证：
对于定义域内的任意一个x，都有f（x）3x.
（I）求实数a,b的值；
（2012西城一模）如图，抛物线y
（II）求函数g（x）axInx的单调区间
（2012东1）已知x1是函数f（x）（ax2）ex的一个极值点.
（I）求实数a的值；
（n）当％,x20,2时，证明：
f（xjf（X2）e
实用
2
C在第一象限），CD//AB.记|CD|
2x，梯形ABCD面积为S.
x9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上（点
（I）求面积S以x为自变量的函数式；
（i）解：
依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yC
的横坐标xB满足方程
Xb
所以
由点
1^ICDI
C在第一象限，得0
|AB|）比
-（2x23）（x
2
9.
Xb
29）
（n）若LCDJk，其中k为常数，且0k1,求S的最大值.IAB|
0x3,
（n）解:
由
X
及o
k1，得0
x3k.
6分
3k，
记f（X）
（X3）（X2
9）,
0x3k，
则f（X）
3x26x
9
3（x1）（x
3）.
8分
S关于
S
（x
3）（
x的函数式为
所以
5分
令f（x）0，得x1.
9分
2
x9），0x3.
①若1
3k，即—k1时，f（x）与f（x）的变化情况如下:
3
X
（0,1）
1
（1,3k）
f（X）
0
f（x）
/
极大值
时，f（x）
3
0恒成立，
②若13k,即0k
所以，当x1时，f（X）取得最大值，且最大值为f
（1）32.ii分
13分
所以，f（x）的最大值为f（3k）27（1k）（1k2）
1
综上，—
1时，S的最大值为32；0k
2
时，S的最大值为27（1k）（1k）
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