北航数值分析大作业一.docx
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北航数值分析大作业一
《数值分析B》大作业一
SY1103120朱舜杰
一.算法设计方案:
1.矩阵A的存储与检索
将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501].
由于C语言中数组角标都是从0开始的,所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素aij的方法是:
A的带内元素aij=C中的元素ci-j+2,j
2.求解λ1,λ501,λs
1首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。
λmin即为λs;
如果λmax>0,则λ501=λmax;如果λmax<0,则λ1=λmax。
②使用带原点平移的幂法(mifa()函数),令平移量p=λmax,求出对应的按摸最大的特征值λ,max,
如果λmax>0,则λ1=λ,max+p;如果λmax<0,则λ501=λ,max+p。
3.求解A的与数μk=λ1+k(λ501-λ1)/40的最接近的特征值λik(k=1,2,…,39)。
使用带原点平移的反幂法,令平移量p=μk,即可求出与μk最接近的特征值λik。
4.求解A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式detA。
①cond(A)2=|λ1/λn|,其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。
②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后,detA等于U所有对角线上元素的乘积。
二.源程序
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#defineE1.0e-12/*定义全局变量相对误差限*/
intmax2(inta,intb)/*求两个整型数最大值的子程序*/
{
if(a>b)
returna;
else
returnb;
}
intmin2(inta,intb)/*求两个整型数最小值的子程序*/
{
if(a>b)
returnb;
else
returna;
}
intmax3(inta,intb,intc)/*求三整型数最大值的子程序*/
{intt;
if(a>b)
t=a;
elset=b;
if(treturn(t);
}
voidassignment(doublearray[5][501])/*将矩阵A转存为数组C[5][501]*/
{
inti,j,k;
//所有元素归零
for(i=0;i<=4;)
{
for(j=0;j<=500;)
{
array[i][j]=0;
j++;
}
i++;
}
//第0,4行赋值
for(j=2;j<=500;)
{
k=500-j;
array[0][j]=-0.064;
array[4][k]=-0.064;
j++;
}
//第1,3行赋值
for(j=1;j<=500;)
{
k=500-j;
array[1][j]=0.16;
array[3][k]=0.16;
j++;
}
//第2行赋值
for(j=0;j<=500;)
{k=j;
j++;
array[2][k]=(1.64-0.024*j)*sin((double)(0.2*j))-0.64*exp((double)(0.1/j));
}
}
doublemifa(doubleu[501],doublearray[5][501],doublep)/*带原点平移的幂法*/
{
inti,j;/*u[501]为初始迭代向量*/
doublea,b,c=0;/*array[5][501]为矩阵A的转存矩阵*/
doubley[501];/*p为平移量*/
for(;;)
{
a=0;
b=0;
/*选用第一种迭代格式*/
//求ηk-1
for(i=0;i<=500;i++)
{
a=a+u[i]*u[i];
}
a=sqrt(a);
//求yk-1
for(i=0;i<=500;i++)
{
y[i]=u[i]/a;
}
//求uk
for(i=0;i<=500;i++)
{
u[i]=0;
for(j=max2(i-2,0);j<=min2(i+2,500);j++)
{
u[i]+=array[i-j+2][j]*y[j];
}
u[i]=u[i]-p*y[i];/*引入平移量*/
}
//求βk
for(i=0;i<=500;i++)
{
b+=y[i]*u[i];
}
if(fabs((b-c)/b)<=E)/*达到精度水平,迭代终止*/
break;
c=b;
}
return(b+p);/*直接返回A的特征值*/
}
voidchuzhi(doublea[])/*用随机数为初始迭代向量赋值*/
{
inti;
srand((int)time(0));
for(i=0;i<=500;i++)
{
a[i]=(10.0*rand()/RAND_MAX);/*生成0~10的随机数*/
}
}
voidchuzhi2(doublea[],intj)/*令初始迭代向量为ei*/
{
inti;
for(i=0;i<=500;i++)
{
a[i]=0;
}
a[j]=1;
}
voidLU(doublearray[5][501])/*对矩阵A进行Doolittle分解*/
{/*矩阵A转存在C[5][501]中*/
intj,k,t;/*分解结果L,U分别存在C[5][501]的上半部与下半部*/
for(k=0;k<=500;k++)
{
for(j=k;j<=min2((k+2),500);j++)
{
for(t=max3(0,k-2,j-2);t<=(k-1);t++)
{
array[k-j+2][j]-=array[k-t+2][t]*array[t-j+2][j];
}
}
if(k<500)
for(j=k+1;j<=min2((k+2),500);j++)
{
for(t=max3(0,k-2,j-2);t<=(k-1);t++)
{
array[j-k+2][k]-=array[j-t+2][t]*array[t-k+2][k];
}
array[j-k+2][k]=array[j-k+2][k]/array[2][k];
}
}
}
doublefmifa(doubleu[501],doublearray[5][501],doublep)
{/*带原点平移的反幂法*/
inti,j;
doublea,b,c=0;
doubley[501];
//引入平移量
for(i=0;i<=500;i++)
{
array[2][i]-=p;
}
//先将矩阵Doolittle分解
LU(array);
for(;;)
{
a=0;
b=0;
//求ηk-1
for(i=0;i<=500;i++)
{
a=a+u[i]*u[i];
}
a=sqrt(a);
//求yk-1
for(i=0;i<=500;i++)
{
y[i]=u[i]/a;
}
//回带过程,求解uk
for(i=0;i<=500;i++)
{
u[i]=y[i];
}
for(i=1;i<=500;i++)
{
for(j=max2(0,(i-2));j<=(i-1);j++)
{
u[i]-=array[i-j+2][j]*u[j];
}
}
u[500]=u[500]/array[2][500];
for(i=499;i>=0;i--)
{
for(j=i+1;j<=min2((i+2),500);j++)
{
u[i]-=array[i-j+2][j]*u[j];
}
u[i]=u[i]/array[2][i];
}
//求βk
for(i=0;i<=500;i++)
{
b+=y[i]*u[i];
}
if(fabs((b-c)/b)<=E)/*达到精度要求,迭代终止*/
break;
c=b;
}
return(p+(1/b));/*直接返回距离原点P最接近的A的特征值*/
}
//主函数
main()
{inti;
doubled1,d501,ds,d,a;
doubleu[501];
doubleMatrixC[5][501];
printf("《数值分析》计算实习题目第一题\n");
printf("SY1103120朱舜杰\n");
//将矩阵A转存为MatrixC
assignment(MatrixC);
//用带原点平移的幂法求解λ1,λ501
chuzhi(u);
d=mifa(u,MatrixC,0);
chuzhi(u);
a=mifa(u,MatrixC,d);
if(d<0)
{
d1=d;
d501=a;
}
else
{
d501=d;
d1=a;
}
printf("λ1=%.12e\n",d1);
printf("λ501=%.12e\n",d501);
//用反幂法求λs
chuzhi(u);
ds=fmifa(u,MatrixC,0);
printf("λs=%.12e\n",ds);
//用带原点平移的反幂法求λik
for(i=1;i<=39;i++)
{
a=d1+(i*(d501-d1))/40;
assignment(MatrixC);
chuzhi(u);
d=fmifa(u,MatrixC,a);
printf("与μ%02d=%+.12e最接近的特征值λi%02d=%+.12e\n",i,a,i,d);
}
//求A的条件数
d=fabs((d1/ds));
printf("A的(谱范数)条件数cond2=%.12e\n",d);
//求detA
assignment(MatrixC);
LU(MatrixC);
a=1;
for(i=0;i<=500;i++)
{
a*=MatrixC[2][i];
}
printf("行列式detA=%.12e\n",a);
//测试不同迭代初始向量对λ1计算结果的影响。
printf("改变迭代初始向量对λmax计算结果的测试如下:
\n");
assignment(MatrixC);
for(i=0;i<=500;i++)
{
chuzhi2(u,i);
d1=mifa(u,MatrixC,0);
printf("u%03d,λmax=%+e",i,d1);
if(((i+1)%3)==0)
printf("\n");
}
printf("Pressanykeytocontinue\n");
getchar();
}
三.程序结果:
四.分析初始向量选择对计算结果的影响
矩阵的初始向量选择,对结果的影响很大,选择不同的初始向量可能会得到的特征值。
以幂法为例(反幂法原理相同),选取初始迭代向量ui=ei(i=0,1,…500);
即u[j]=0,j≠i;u[j]=1,j=i。
测试结果如下:
试验结果发现只有当i取特定的一些值时才能得到正确的结果,即得到按摸最大的特征值。
i取不同值时,即取不同的初始向量时,可能得到不同的特征值。
这是因为以A的n个线性无关的特征向量为一组基,将初始向量线性表出时,按摸最大的特征值λ1对应的特征向量x1的系数α1如果为0,就无法求出特征值λ1。
如果按摸第二大的特征值λ2对应的特征向量x2的系数α2不为0,则求出该特征值。
若为0,则以此类推。