八年级数学下册北师大版期中概念公式定理归纳.docx

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八年级数学下册北师大版期中概念公式定理归纳

八年级数学下册北师大版期中概念、公式、定理归纳

第一章 三角形的证明

一、全等三角形判定、性质：

1.判定（SSS）（SAS）（ASA）（AAS）（HL直角三角形）

2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。

二、等腰三角形的性质

定理：

等腰三角形有两边相等；（定义）

定理：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

（三线合一）

推论2：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

三、等腰三角形的判定  

1.有关的定理及其推论

定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）    

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2.反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法  

四、直角三角形

1、直角三角形的性质

直角三角形的两锐角互余

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；   

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

3、互逆命题、互逆定理   

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.   

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.    

五、线段的垂直平分线、角平分线   

1、线段的垂直平分线。

性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（外心）

判定：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。

性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

（内心）

判定：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组

1.定义：

一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

2.基本性质：

性质1：

.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.（注：

移项要变号，但不等号不变）

性质2：

不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, 

性质3：

不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac

说明：

 比较大小:

作差法

a>b <===> a-b>0   a=b <===> a-b=0    a a-b<0

3.不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解

4.不等式的解集：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

5.解不等式：

求不等式解集的过程叫做解不等式。

边界:

有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈

6.一元一次不等式：

不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式

7.解不等式的步骤:

  1、去分母;    2、去括号;   3、移项、合并同类项;    

4、系数化为1。

8.列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：

（1） 审题；

（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）（根据不等量）关系式列不等式（组） （4）解不等式组；（5）检验（6）作答。

9一元一次不等式与一次函数 教材第50页

10.一元一次不等式组

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一次不等式组。

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，焦作这个一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式

解集

图示

叙述语言表达

x>b

大大取大

x>a

小小取小

a

大小小大中间找

无解

大大小小解不了

（是空集）

第三章 图形的平移与旋转

一、图形的平移  

1平移的定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

关键：

a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。

  b.图形平移三要素：

原位置、平移方向、平移距离。

2平移的规律（性质）：

经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。

注意：

平移后，原图形与平移后的图形全等。

3简单的平移作图：

平移作图要注意：

①方向；②距离。

整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。

二、图形的旋转  

1旋转的定义：

在平面内，将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。

关键：

a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。

b. 图形旋转四要素：

原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

2旋转的规律（性质）：

一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。

注意：

旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

3简单的旋转作图：

旋转作图要注意：

①旋转方向；②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

三、中心对称

1．概念：

中心对称、对称中心、对称点   

把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。

2．中心对称的基本性质：

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。

3．中心对称图形概念：

中心对称图形、对称中心   

把一个平面图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点叫做它的对称中心。

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系  

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比

6、图案的分析与设计  ①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。

 ②图案设计的基本手段主要有：

轴对称、平移、旋转三种方法。

第四章  因式分解

一、公式：

1. 因式分解定义：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。

2.公因式：

把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.

3.提公因式法：

如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法

4.找公因式的一般步骤：

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

5.公式法：

（1）ma+mb+mc=m（a+b+c） （ 2）a2_b2=（a+b）（a-b） （3）a2±2ab+b2=（a±b）2                            

6.、分解因式的一般步骤为:

（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.

（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.

（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.

7、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

（1）把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

（2）把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

补充：

十字相乘法

第五章 分式与分式方程

1.分式的定义：

如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。

对于任意一个分式，坟墓都不能为零。

2.注意事项

（1）分式与整式最本质的区别：

分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。

（2）分式有意义的条件：

分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。

（3）分式的值为零的条件：

分子为零且分母不为零

3.分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示 

注意：

（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

4.分式的乘除：

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.即:

 , 

5.分式乘方：

把分子、分母分别乘方. 即:

逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

6. 最简分式：

 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

7.分式的通分和约分：

关键先是分解因式

（1）分式的约分：

利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

（2）最简分式：

分子与分母没有公因式的分式

（3）分式的通分：

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这一过程称为分式的通分。

（4）最简公分母：

最简单的公分母简称最简公分母。

8.分式的加减：

（1）同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:

（2）异号分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算;

上述法则用式子表示是:

9.分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。

用式子表示为

注：

分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。

10.分式方程：

分母中含未知数的方程叫做分式方程。

 增根：

分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；

（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。

11.分式方程的解法：

（1）能化简的先化简

（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．

注：

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法：

将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

12.列分式方程解应用题:

步骤：

（1）审题

（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

应用题基本类型；

a.行程问题：

b.数字问题c.工程问题．d.顺水逆水问题 e．相遇问题   f追及问题g流水问题 h浓度问题m利润与折扣问题     

第六章 平行四边形

一、平行四边形的性质        

1、定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、性质:

（1）平行四边形的对边平行且相等。

（2）平行四边形的邻角互补 （3）平行四边形的对角相等  （4）平行四边形的对角线互相平分。

二、平行四边形的判定    

1、平行四边形的判定  

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

2、两条平行线的距离:

 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

 平行线间的距离处处相等。

 3、平行四边形的面积：

S平行四边形=底×高=ah 

三、三角形的中位线   

1、概念：

连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）  

2、定理：

 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半   

四、多边形的内角和与外角和   

1、多边形的内角和定理：

n边形的内角和等于（n-2）·180°；  

多边形的外角和定理：

任意多边形的外角和等于360°。

2、正多边形的每个内角度数：

［（n-2）·180°］/n

3、中心对称图形：

线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形    

不是中心对称图形：

四边形、三角形、梯形、边数为奇数的正多边形等 

4、常见的轴对称图形：

等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形

复习提纲

第一章三角形的证明

※知识点1全等三角形的判定及性质

判定定理简称

判定定理的内容

性质

SSS

三角形分别相等的两个三角形全等

全等三角形对应边相等、对应角相等

SAS

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

ASA

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

AAS

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 

※知识点2等腰三角形的性质定理及推论

内容

几何语言

条件与结论

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两底角相等。

简述为：

等边对等角

在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C

条件：

边相等，即AB=AC

结论：

角相等，即∠B=∠C

推论

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：

三线合一

在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC

条件：

等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一

结论：

该线也是其他两线 

※等腰三角形中的相等线段：

1.等腰三角形两底角的平分线相等

2.等腰三角形两腰上的高相等

3.两腰上的中线相等

4.底边的中点到两腰的距离相等

※知识点3等边三角形的性质定理

内容

性质定理

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度

解读

【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。

它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”

【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形

※知识点4等腰三角形的判定定理

内容

几何语言

条件与结论

等腰三角形的判定定理

有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：

等校对等边

在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC

条件：

角相等，即∠B=∠C

结论：

边相等，即AB=AC

解读

【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”

拓展

判定一个三角形是等腰三角形有两种方法

（1）利用等腰三角形；

（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 

※知识点5反证法

概念

证明的一般步骤

反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法

（1）假设命题的结论不成立

（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果

（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确

解读

【要点提示】

（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明

（2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

一.不等关系

※1.一般地,用符号“<”（或“≤”）,“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式

※2.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数<===>大于等于0（≥0）<===>0和正数<===>不小于0

非正数<===>小于等于0（≤0）<===>0和负数<===>不大于0

二.不等式的基本性质

※1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：

（1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即：

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

如果a>b,并且c<0,那么ac

※2.比较大小：

（a、b分别表示两个实数或整式）

一般地：

如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b；

如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；

如果a

即：

a>b<===>a-b>0

a=b<===>a-b=0

aa-b<0

三.不等式的解集：

※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

※2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，与方程的解不同

3.不等式的解集在数轴上的表示：

用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

①边界：

有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

②方向：

大向右，小向左

四.一元一次不等式：

※1.只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

※2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向。

※3.解一元一次不等式的步骤：

①去分母；

②去括号；

③移项；

④合并同类项；

⑤系数化为1（不等号的改变问题） 

※4.一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax

①当a>0时，解为；

②当a=0时，且b<0，则x取一切实数；

当a=0时，且b≥0，则无解；

③当a<0时，解为。

5.列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：

①审：

认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；

②设：

设出适当的未知数；

③列：

根据题中的不等关系，列出不等式；

④解：

解出所列的不等式的解集；

⑤答：

写出答案，并检验答案是否符合题意。

六.一元一次不等式组

※1.定义：

由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集。

如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解。

（解集的公共部分,通常是利用数轴来确定。

） 

※3.解一元一次不等式组的步骤：

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

两个一元一次不等式组的解集的四种情况（a、b为实数，且a

x>b，两大取较大

x>a，两小取小

a

无解，在大小分离没有解（是空集）

第三章图形的平移与旋转

一、平移变换：

1.概念：

在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.性质：

（1）平移前后图形全等； 

（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。

3.平移的作图步骤和方法：

（1）分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离；

（2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点；

（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点；

（4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；

（5）写出结论。

二、旋转变换：

1.概念：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

说明：

（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的；

（2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。

（3）旋转过程中旋转的方向是相同的．

（4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。

旋转不改变图形的大小和形状。

2.性质：

（1）对应点到旋转中心的距离相等； 

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋角；

（3）旋转前、后的图形全等。

3.旋转作图的步骤和方法：

（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；

（2）找出图形的关键点；

（3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点；

（4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。

说明：

在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。

4.常见考法 

（1）把平移旋转结合起来证明三角形全等；

（2）利用平移变换与旋转变换的性质，设计一些题目  

第四章 因式分解

一.分解因式

※1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

※2.因式分解与整式乘法是互逆关系：

因式分解与整式乘法的区别和联系：

（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。

二.提公共因式法

※1.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

※2.概念内涵：

（1）因式分解的最后结果应当是“积”；

（2）公因式可能是单项式,也可能是多项式；

（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律。

※3.易错点点评：

（1）注意项的符号与幂指数是否搞错；

（2）公因式是否提“干净”；

（3）多项式中某一项恰为公因式；提出后；括号中这一项为+1；不漏掉。

三.公式法

※1.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

※2.主要公式：

（1）平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

（2）完全平方公式：

※3.运用公式法：

（1）平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

①应是二项式或视作二