a1a2a3是规范正交向量组.docx
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a1a2a3是规范正交向量组
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a1,a2,a3是规范正交向量组,
篇一：
第三讲向量组
第三讲向量组
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向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。
研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。
向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。
例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。
向量组主要分三大部分：
■线性表示与线性相关性：
向量的线性组合和线性表示；向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性；
■向量组的秩：
向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系；
■向量空间：
向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化：
正交阵及其性质。
教材:
第四,第五章第1节。
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一、主要内容
1、向量及其线性运算
----概念------------------------------------------
（1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组；
（2）设有向量a（a1,a2,,an）,b（b1,b2,,bn）,实数kR，则下列运算
ka（ka1,ka2,,kan），ab（a1b1,a2b2,,anbn），
称为向量的线性运算；
（3）设有向量组a1,a2,,an和向量b，若存在常数k1,k2,,kn，使得有
bk1a1k2a2knan，
则称向量b是向量组a1,a2,,an的线性组合[向量b可以由向量组a1,a2,,an的线性表
示]；
（4）设有两个同维向量组a:
a1,a2,,an，b:
b1,b2,,bm，
①若a中每个向量均可由向量组b线性表示，则称为向量组a可由向量组b线性表示；
②若向量组a与向量组b可相互线性表示，则称向量组a与向量组b为等价向量组。
注意:
等价矩阵[初等变换],等价向量组[线性表示],等价方程组[同解].
----转化---------------------------------
（1）向量组与矩阵：
m×n矩阵a与其行（列）向量组一一对应：
12。
a（a,a,,an）12m
（2）线性表示与线性方程组：
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示
x1bxaxaxa（a,a,,a）x2axnnn112212xn
axb有解r（a）r（a|b）。
注意：
行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。
（3）矩阵amn（a1,a2,,an）的列向量组可由矩阵bms（b1,b2,,bs）的列向量组线性表示存在数字矩阵xsn，使有abx；
矩阵amn112的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩b2snms
阵xms，使有axb。
[以书写二阶为例，规律记为“左行右列”。
]
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2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩
----概念--------------------------------------
（1）设有向量组a1,a2,an，如果存在一组不全为零的数x1,x2,xn，使
x1a1x2a2xnan0，
则称a1,a2,an线性相关；否则，称之为线性无关；
（2）如果在向量组a中能选出r个向量a1,a2,,ar满足：
（ⅰ）a1,a2,,ar线性无关；
a1,a2,,ar线性表示]，则称a1,a2,,ar为向量组a的一个最大无关组；a的最大无（ⅱ）a中任意r1个向量（如果有的话）均线性相关[a中任意向量均可由
关组所含向量的个数称为向量组a的秩，记为r（a）。
----转化----------------------------------
（1）设amn（a1,a2,,an）,x（x1,x2,,xn）t，则
列向量a1,a2,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零
解]r（a）n[r（a）n]；
注意：
向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。
由此可知：
当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。
当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。
---------------------------------------------------
4、线性无关向量组的正交化
----概念-------------------------------------------
（1）设有n维列向量xx1,x2,,xntt,yy1,y2,,yn，则称数
tnx为向量与y的内积。
内积具有下列性质：
（x,y）xyxiyi
i1
ⅰ
、对称性：
（x,y）（y,x）；
ⅱ、线性性：
（axby,z）a（x,z）b（y,z）；
ⅲ、非负性：
（x,x）0,（x,x）0x0。
ttn2
（2）对n维列向量xx1,x2,,xn，称非负数|x|xxxi为向
量x的模。
模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量。
i1
0对非零向量x，单位化得单位向量x
（3）①a与b正交（a,b）0；1。
x②两两正交的非零向量组称为正交向量组，即
m0,{ai}i1为正交向量组（ai,aj）0,
注意：
正交向量组是线性无关向量组，反之不然。
③两两正交的单位向量组称为标准正交向量组，即ij;ij.
m0,ij;{ai}i1为规范正交向量组（ai,aj）1,ij.
④以正交向量组作为空间的基称为正交基；以规范正交向量组作为空间的基称为标准正交基。
r注意：
向量b由基a1,a2,ar线性表示为：
bxaii；
i1
r（a,b）由正交基a1,a2,ar线性表示为：
bi；
i1iir由标准正交基a1,a2,ar线性表示为：
b（ai,b）ai。
i1
可见，向量在标准正交基下的坐标不需要解方程组，只需计算内积就可求得。
（4）方阵a为正交阵
naatataea1ata的行[列]向量组均为n维向量空间R的标准正交基aij
矩阵的线性变换称为正交变换。
正交阵具有下列性质：
ⅰ、a为正交阵aij（i,j1,2,,n）。
以正交阵为线性变换a1,at,a*均为正交阵ata*；
ⅱ、a为正交阵|a|=1；
ⅲ、正交阵的积为正交阵。
----方法------------------------------------施密特正交化设a1,a2,ar为线性无关向量组[基]，则可采用下列方法进行规范正交化：
ⅰ、正交化：
取b1a1；（b,a）b2a2b1；（b1,b1）（b,a）（b2,a3）13b3a3b1b2；（b1,b1）（b2,b2）
；（b,a（b,ar）（b,ar）r）brarb1b2br1，（b1,b1）（b2,b2）（br1,br1）
rr则{bi}i1为两两正交向量组[正交基]，且{bi}i1与{ai}ir1等价；bⅱ、单位化：
取ei（i1,2,,r），则{ei}ir1为规范正交向量组[规范正交|bi|
rr基]，且{ei}i与1{ai}i1等价。
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二、常考知识点
1、线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换[大题常考知识点]
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an（唯一/不唯一）线性表示axb
有（唯一/无穷多）解r（a）r（a|b）（n/n）；
列向量b不可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示
axb无解r（a）r（a|b）。
由此,可得判定两矩阵列（行）向量组线性表示:
a的列向量组可由b的列向量组线性表示bxa有解r（b）r（b|a）；
bxa无解a的列向量组不可由b的列向量组线性表示
r（b）r（b|；a）
a与b的列向量组等价bxa,axb均有解r（a）r（a|b）。
rb
注意：
行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。
2、向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换
设amn
列向量（a1,a2,,an）,x（x1,x2,,xn）t，则a1,a2,,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零解]r（a）n[r（a）n]a列满秩[非列满秩]。
由此可知：
当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。
当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。
内涵丰富：
向量组线性无关（相关）=线性齐次方程组只有零解（有非零解）=系数矩阵列满秩（不是列满秩）。
例如，若abo,bo，则a的列向量线性相关。
3、判定向量组线性相关性的重要结论⑴a1,a2,am（m2）线性相关a1,a2,am中“至少有一个”可由其余向量
线性表示；a1,a2,am（m2）线性无关a1,a2,am中“任意一个均不能”由其
余向量线性表示；
⑵a1,a2,am线性无关，a1,a2,am,b线性相关b可由a1,a2,,am唯一
篇二：
实验报告
数学实验报告
班级：
11数学
（1）班姓名：
黄思、刘锦锦学号：
20xx326660102、20xx326660104成绩：
1
2
班级：
11数学
（1）班姓名：
黄思、刘锦锦学号：
20xx326660102、20xx326660104成绩：
3
4
5
篇三：
向量组的线性相关性
线性相关性
一、填空题
例设向量组1（1,2,1）t,2（2,3,1）t,3（x,3,1）t,4（2,y,3）t,的秩为2，则xy
例已知向量组11,2,1，22,0,t，30,4,5线性相关，则t3．例若向量组1（1,2,3）t,2（2,3,4）t,3（3,4,t）t线性相关，则t5．
t
t
t
二、选择题
例设矩阵a、b、c均为n阶方阵，若abc，且b可逆，以下正确的是【Ｂ】．
（a）矩阵c的行向量组与矩阵a的行向量组等价；（b）矩阵c的列向量组与矩阵a的列向量组等价；（c矩阵c的行向量组与矩阵b的行向量组等价；（d）矩阵c的列向量组与矩阵b的列向量组等价．
1001
例10,21,31,41，其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相
cccc1243
关的为（c）
（a）1,2,3；（b）1,2,4;（c）
1,3,4;（d）2,3,4.
例设a1,a2,,as均为n维列向量，下列选项不正确的是【b】．
（a）对于任意一组不全为0的数k1,k2,,ks都有k1a1,k2a2ksas0，则a1,a2,,as线性无关；
（b）若a1,a2,,as线性相关，则对于任意一组不全为0数k1,k2,,ks都有
k1a1,k2a2ksas0；
（c）a1,a2,,as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s；（d）若a1,a2,,as线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．例设a1,a2,,as均为n维列向量，a是mn矩阵，下列选项正确的是【a】．
（a）若a1,a2,,as线性相关，则aa1,aa2,,aas线性相关；（b）若a1,a2,,as线性相关，则aa1,aa2,,aas线性无关；
（c）若a1,a2,,as线性无关，则aa1,aa2,,aas线性相关；（d）若a1,a2,,as线性无关，则aa1,aa2,,aas线性无关．
例设a是4阶矩阵，且a的行列式a0，则a中【（c）】．
（a）必有一列元素全为0；（b）必有两列元素成比例；
（c）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（d）任意列向量是其余列向量的线性组合．
12a1
2.设有向量组a:
11,21,32，及向量b，问a,b为何值时
45101
（1）向量不能由1,2,3线性表示;
（2）向量能由1,2,3线性表示，且表示式惟一;
三、解答题．
例（本题满分6分）设1，2为方阵a的两个不同特征值，1,2为a的相应于1的两个线性无
关的特征向量，3,4为a的相应于2的两个线性无关的特征向量，证明：
向量组1,2,3,4线性无关。
证明：
设k11k22k33k440，（a）
因为1,2为a的相应于1的两个线性无关的特征向量，3,4为a的相应于2的两个线性无关的特征
向量，有a12333,a424,11,a12,a
（a）式左右两端同时左乘a可得，1k111k222k332k440（b）（a）1（b）可得，
（12）k33（12）k440
又因为1，2为方阵a的两个不同特征值，且3,4线性无关，可得
k3k40
同理（a）2（b）可得k1k20
因此向量组1,2,3,4线性无关。
例1）（6分）设a为3阶矩阵，1，2为a的分别属于特征值1，1的特征向量，向量3满
足a323，证明1,2,3线性无关；证:
令k11k22k330，
（1）
则k1a1k2a2k3a30
于是有k11k22k3（23）0
（2）
（1）-
（2）得2k11k320，由1，2线性无关得k1k30，代入
（1）得k220，由20得k20，故1,2,3线性无关．
例（8分）1,2,,s是齐次线性方程组ax0的基础解系，满足a0，证明：
1,2,s,线性无关．
2.（6分）设n阶方阵a满足：
r（a）r．证明：
a可以表示成r个秩为1的矩阵之和．解：
（1）令k1
（1）k2
（2）ks（s）k
0
整理得k11k22kss（kk1ks）0，
上式两端左乘a得k1a1k2a2ksas（kk1ks）a0，则有（kk1ks）a0，由a0得（kk1ks）0，于是有k11k22kss0，
由1,2,,s线性无关得k1k2ks0，从而有k0，故1,2,s,线性无关．
例若向量1,2,3,4是n元非齐次线性方程组axb的解向量，那么它们的线性组合
k11k22k33k44也是该方程组解向量的充分必要条件是k1k2k3k41；
2设a是n阶矩阵，1和2是a的两个不同的特征值，1,2是a的属于特征值1的两个线性无关的特征向量，3是a的属于特征值2的特征向量，证明：
1,2,3线性无关．例1设1,2,,r为n维空间Rn中的正交向量组，证明：
1,2,,r线性无关.
令k11k22krr0（k1,k2,,krR），（2分）用it（i1,2,,r）左乘上式两端得，
k1it1k2it2kritr0（k1,k2,,krR），
由1,2,,r为n维空间R中的正交向量组知，itj则有ki0（i1,2,,r）.（5分）因此1,2,,r线性无关.（6分）
例设0是非齐次线性方程组axb的一个解,1,2,3是对应的齐次线性方程组ax0的基础解系,证明:
（1）0,1,2,3线性无关;
（2）0,10,20,30线性无关;证:
（1）令k0k11k22k330,
用a左乘上式两端得,ka0k1a1k2a2k3a30.则有ka00,由a0b0知,k0.。
于是有k11k22k330,
由1,2,3线性无关知,k1k2k30.因此0,1,2,3线性无关.
（2）令k0k1（10）k2（20）,k3（30）0,整理得（kk1k2k3）0k11k22k330由
（1）知0,1,2,3线性无关,于是得
n
0,ij
，
1,ij
（kk1k2k3）0,k10,k20,k30,
则有kk1k2k30,
因此0,10,20,30线性无关.
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