名师推荐资料新高考物理一轮复习 考点大通关 专题44 万有引力定律学案.docx

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名师推荐资料新高考物理一轮复习考点大通关专题44万有引力定律学案

专题4.4万有引力定律

考点精讲

一、开普勒行星运动定律

（1）开普勒第一定律（轨道定律）：

所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．

（2）开普勒第二定律（面积定律）：

对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．

（3）开普勒第三定律（周期定律）：

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即a3T2＝k.

二、万有引力定律

1．内容：

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．

2．公式：

F＝Gm1m2r2，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2.

3．适用条件

（1）严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

（2）均匀的球体可视为质点，其中r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点的距离．

4．计算星球表面（附近）的重力加速度g（不考虑星球自转）：

mg＝GmMR2，得g＝GMR2.

5．计算星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′：

mg′＝GmM（R＋h）2，得g′＝GM（R＋h）2.

所以gg′＝（R＋h）2R2.

6．万有引力与重力的关系

（1）在赤道上F万＝F向＋mg，即mg＝GMmR2－mω2R；

（2）在两极F万＝mg，即mg＝GMmR2；

（3）在一般位置，万有引力等于mg与F向的矢量和．

考点精练

题组1开普勒行星运动定律

1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（）

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

【答案】B

【解析】开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．

2．关于开普勒行星运动的公式R3T2＝k，以下理解正确的是（）

A．k是一个与行星无关的量

B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则2地＝2月

C．T表示行星运动的自转周期

D．T表示行星运动的公转周期

【答案】AD

4．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是（）

A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处

C．离太阳越近的行星的运动周期越长

D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等

【答案】D

【解析】所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，但不是同一轨道，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A、B错；所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，离太阳越近的行星，其运动周期越短，故C项错，D项对。

5．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。

天文学家哈雷曾经在1662年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现。

这颗彗星最近出现的时间是1986年，它下次飞近地球大约是哪一年（）

A．2042年B．2052年

C．2062年D．2072年

【答案】C

【解析】根据开普勒第三定律有T彗T地＝R彗R地32＝1832＝76.4，又T地＝1年，所以T彗≈76年，彗星下次飞近地球的大致年份是1986＋76＝2062年，本题答案为C。

6．（多选）据报道，美国探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，并投入彗星的怀抱，实现了人类历史上第一次对彗星的“大碰撞”，如图所示．设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一椭圆，其运行周期为5.74年，则下列说法中正确的是（）

A．探测器的最小发射速度为7.9km/s

B．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的加速度大于远日点处的加速度

C．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的线速度小于远日点处的线速度

D．探测器运行的周期小于5.74年

【答案】BD

【解析】.要想脱离地球控制，发射速度要达到第二宇宙速度11.2km/s，故选项A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律GMmr2＝ma，得a＝GMr2，可知近日点的加速度大，故选项B正确；根据开普勒第二定律可知，行星绕日运行的近日点的线速度大，远日点的线速度小，故选项C错误；探测器的运行轨道高度比彗星低，根据开普勒第三定律r3T2＝k可知探测器的运行周期一定比彗星的运行周期小，故选项D正确．

7．长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19600km，公转周期T1＝6.39天。

2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48000km，则它的公转周期T2最接近于（）

A．15天B．25天C．35天D．45天

【答案】B

【解析】根据开普勒第三定律312121＝322222，代入数据计算可得T2约等于25天。

选项B正确。

题组2万有引力定律引力常量

1．下面关于行星对太阳的引力的说法中正确的是（）

A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力

B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关

C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力

D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比

【答案】A

【解析】天体之间的引力是同一种性质力。

2．关于太阳与行星间引力的公式F＝GMmr2，下列说法正确的是（）

A．公式中的G是引力常量，是人为规定的

B．太阳与行星间的引力是一对平衡力

C．公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系

D．公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关

【答案】C

3．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。

已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。

关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）

A．太阳引力远大于月球引力

B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等

D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

【答案】AD

【解析】由万有引力定律F＝GMmR2可知，F∝MR2，太阳与月球对相同质量海水的引力之比F日F月＝1.6875×102，故A对，B错；月球与不同区域海水的距离不同，故吸引力大小有差异，故C错，D对。

4．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。

地球的密度为（）

A．3π（g0－g）GT2g0B．3πg0GT2（g0－g）C．3πGT2D．3πGT2g0g

【答案】B

题组3利用万有引力定律研究天体运动

1．（多选）通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是（）

A．卫星的速度和角速度B．卫星的质量和轨道半径

C．卫星的质量和角速度D．卫星的运行周期和轨道半径

【答案】AD

【解析】根据线速度和角速度可以求出半径r＝vω，根据万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，整理可得M＝v3Gω，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，有GMmr2＝m2πT2r，整理得M＝4π2r3GT2，故选项D正确．

2．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球运动的周期之比可求得（）

A．火星和地球的质量之比

B．火星和太阳的质量之比

C．火星和地球到太阳的距离之比

D．火星和地球绕太阳运行的速度大小之比

【答案】CD

【解析】由GMmr2＝4mπ2rT2，得T2＝4π2r3GM，则22＝32。

由此式可知C选项正确。

由GMmr2＝mv2r，得v2＝GMr，由此式可知D选项正确。

3．最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。

假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（）

A．恒星质量与太阳质量之比

B．恒星密度与太阳密度之比

C．行星质量与地球质量之比

D．行星运行速度与地球公转速度之比

【答案】AD

4．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，太阳质量M为。

【答案】4π2r3GT2

【解析】设太阳质量为M，火星的质量为m。

火星与太阳间的引力提供向心力，则有GMmr2＝mv2r，v＝2πrT。

两式联立得M＝4π2r3GT2。

题组4星球表面的重力加速度

1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（）

A．0B．GM（R＋h）2

C.GMm（R＋h）2D．GMh2

【答案】B.

【解析】飞船所受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMm（R＋h）2＝mgh，得gh＝GM（R＋h）2，选项B正确．

2．火星的质量和半径分别约为地球的0.1倍和0.5倍，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（）

A．0.2gB．0.4g

C．2.5gD．5g

【答案】B

方法突破

方法1求解万有引力的方法

诠释：

万有引力定律公式

只适用于两个质点间的作用，或是两个质量分布均匀的球体间的万有引力作用，此处r指两球心间的距离。

若两物体不是质量分布均匀点的球体且又不可看成质点，可用填补法、等效法、对称法等方法解决。

题组5求解万有引力的方法

1．（填补法）如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝R2，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（）

A．F2B．F8

C．7F8D．F4

【答案】C

【解析】利用填补法来分析此题原来物体间的万有引力为F，挖去半径为R2的球的质量为原来球的质量的18，其他条件不变，故剩余部分对质点P的引力为F－F8＝78F。

2．（等效法）一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示．已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，剩余部分对m2的万有引力为。

【答案】41mm2225r2G

3．（对称法等效法）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。

一矿井深度为d。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）

A．1－dRB．1＋dR

C．（R－dR）2D．（RR－d）2

【答案】A

【解析】如图所示，

根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可知：

地面与矿井底部之间的环形部分对放在矿井底部的物体的引力为零，设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，由地球表面的物体m1受到的重力近似等于万有引力，故m1g＝GMm1R2，再将矿井底部所在的球体抽取出来，设矿井底部处的重力加速度为g′，该球体质量为M′，半径r＝R－d，同理可得矿井底部处的物体m2受到的重力m2g′＝GM′m2r2，且由M＝ρV＝ρ·43πR3，M′＝ρV′＝ρ·43π（R－d）3，联立解得g′g＝1－dR，A对。

点评：

万有引力定律公式

的使用必须满足其使用的条件，而当条件不满足时，要采用方法进行等效处理后方可用。

方法2处理双星系统的方法

诠释：

1.双星系统的特点：

（1）两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等；

（2）两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等；（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L。

2.双星问题的处理方法

双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm1m2L2＝m1ω2r1＝m2ω2r2。

3.双星问题的两个结论

（1）运动半径：

m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。

（2）质量之和：

由于ω＝2πT，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝4π2L3GT2。

题组6处理双星系统的方法

1．宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）

A．双星相互间的万有引力不变

B．双星做圆周运动的角速度均增大

C．双星做圆周运动的动能均减小

D．双星做圆周运动的半径均增大

【答案】CD

2．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7:

1，同时绕它们连线点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的（）

A．轨道半径约为卡戎的17B．角速度大小约为卡戎的17

C．线速度大小约为卡戎的7倍D．向心力大小约为卡戎的7倍

【答案】A

【解析】设两星轨道半径分别为r1、r2，则GMmL2＝Mω2r1＝mω2r2。

r1:

r2＝mM＝1:

7，选项A正确；由于双星周期相同，由ω＝2πT知角速度相同，选项B错误；线速度v＝ωr，知v1:

v2＝1:

7，选项C错误；根据a＝ω2r知a1:

a2＝1:

7，选项D错误。

3.2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr（a星的轨道半径大于b星的轨道半径），则（）

A.b星的周期为l－Δrl＋ΔrT

B.a星的线速度大小为l＋ΔrT

C.a、b两颗星的半径之比为ll－Δr

D.a、b两颗星的质量之比为l＋Δrl－Δr

【答案】B

4．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。

两颗星球组成的双星m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。

则可知（）

A．m1与m2做圆周运动的角速度之比为2∶3

B．m1与m2做圆周运动的线速度之比为3∶2

C．m1做圆周运动的半径为25L

D．m2做圆周运动的半径为25L

【答案】C

【解析】双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动，角速度相同，选项A错误；由Gm1m2L2＝m1ω2r1＝m2ω2r2得r1∶r2＝m2∶m1＝2∶3，由v＝ωr得m1与m2做圆周运动的线速度之比为v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项B错误；m1做圆周运动的半径为25L，m2做圆周运动的半径为35L，选项C正确，D错误。

5．研究发现，双星系统在演化过程中两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星的总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时做圆周运动的周期为（）

A.n3k2TB.n3kTC.n2kTD.nkT

【答案】B

5.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图3所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是（）

图3

A.每颗星做圆周运动的角速度为GmL3

B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍

D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍

【答案】C

【解析】任意两星间的万有引力F＝Gm2L2，对任一星受力分析，如图所示.

由图中几何关系和牛顿第二定律可得：

F＝ma＝mω2L3，联立可得：

ω＝3GmL3，a＝ω2L3＝3GmL2，选项A、B错误；由周期公式可得：

T＝2πω＝2πL33Gm，当L和m都变为原来的2倍，则周期T′＝2T，选项C正确；由速度公式可得：

v＝ωL3＝GmL，当L和m都变为原来的2倍，则线速度v′＝v，选项D错误.

6.（多选）宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图4所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为a，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗星体都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G，则（）

图4

A.每颗星做圆周运动的线速度大小为Gma

B.每颗星做圆周运动的角速度大小为Gma3

C.每颗星做圆周运动的周期为2π2a3Gm

D.每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关

【答案】AD

【解析】由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r＝22a，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：

Gm22＋2Gm2a2cos45°＝m2，解得v＝Gma，角速度为ω＝vr＝Gma3，周期为T＝2πω＝2π2a3Gm，加速度a＝v2r＝2＋1Gm2a2，故选项A、D正确，B、C错误.

方法3．天体质量和密度的计算

（1）自力更生法：

利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

①由GMmR2＝mg得天体质量M＝gR2G.

②天体密度：

ρ＝MV＝4πR3＝3g4πGR.

（2）借助外援法：

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.

①由GMmr2＝m4π2rT2得天体的质量为M＝4π2r3GT2.

②若已知天体的半径R，则天体的密度

ρ＝MV＝4πR3＝3πr3GT2R3.

③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T，就可估算出中心天体的密度．

题组7

1．（多选）1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出（）

A．地球的质量m地＝gR2G

B．太阳的质量m太＝322222

C．月球的质量m月＝312121

D．可求月球、地球及太阳的密度

【答案】AB.

【解析】对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝Gm地m0R2，所以地球质量m地＝gR2G，A项正确．对地球绕太阳运动来说，有2222＝m地2222L2，则m太＝322222，B项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误．

2．如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知万有引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（）

A．M＝4π2（R＋hGt2，ρ＝3π（R＋hGt2R3

B．M＝4π2（R＋hGt2，ρ＝3π（R＋hGt2R3

C．M＝4π2t2（R＋hGn2，ρ＝3πt2（R＋hGn2R3

D．M＝4π2n2（R＋hGt2，ρ＝3πn2（R＋hGt2R3

【答案】D

3.到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过30枚探测器到达过火星，并发回了大量数据.如果已知万有引力常量为G，根据下列测量数据，能够得出火星密度的是（）

A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T

B.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r

C.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度v

D.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω

【答案】D

【解析】根据GMmr2＝mr（2πT）2可以得出火星的质量，但火星的半径未知，无法求出密度.故A错误；测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期和轨道半径，根据万有引力提供向心力，可以求出太阳的质量，由于火星是环绕天体，不能求出其质量，所以无法求出密度.故B错误；根据GMmr2＝mv2r，得M＝v2rG，密度ρ＝4πr3＝3v24πGr2，由于火星的半径未知，无法求出密度.故C错误；根据GMmr2＝mrω2得，M＝r3ω2G，则密度ρ＝4πr3＝3ω24πG，可以求出火星的密度.故D正确.

4.据新闻报导，“天宫二号”将于2016年秋季择机发射，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道.设每经过时间t，“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度.已知引力常量为G，则地球的质量是（）

A.l2Gθ3tB.θ3Gl2tC.t2Gθl3D.l3Gθt2

【答案】D

【解析】“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：

r＝lθ

t时间内“天宫二号”通过的弧长是l，所以线速度：

v＝lt

“天宫二号”做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，则：

GMmr2＝mv2r，所以M＝rv2G＝l3Gθt2.