第2章《特殊三角形》常考题集0623 等腰三角形的判定.docx

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第2章《特殊三角形》常考题集0623等腰三角形的判定

《特殊三角形》常考题集（06）：

2.3等腰三角形的判定

一、选择题

1．（2010•宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（　　）

A．

5个

B．

6个

C．

7个

D．

8个

2．（2010•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）

A．

4个

B．

5个

C．

6个

D．

7个

3．（2008•大庆）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）

A．

3

B．

4

C．

6

D．

7

4．（2006•贵港）小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

5．（2004•宿迁）如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）

A．

（1）

（2）（3）

B．

（1）

（2）（4）

C．

（2）（3）（4）

D．

（1）（3）（4）

6．若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是（　　）

A．

等腰三角形

B．

直角三角形

C．

等边三角形

D．

锐角三角形

7．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

（第7题）

4个

8．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是（　　）

A．

直角三角形

B．

等边三角形

C．

等腰三角形

D．

等腰直角三角形

9．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：

（1）AC⊥BD；

（2）BC=DE；（3）∠DBC=

∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（　　）

A．

（1）和

（2）

B．

（2）和（3）

C．

（3）和（4）

D．

（1）和（4）

二、填空题

10．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有　_________　个．

11．△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC=　_________　．

12．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形有　_________　个．

13．（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　_________　cm．

解答题

14．（2008•金华）如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．

（1）求证：

△ABC≌△DCB；

（2）△OBC的形状是　_________　．（直接写出结论，不需证明）

15．（2008•乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，如图，并写下了四个等式：

①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）

16．（2008•温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：

文文：

“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；

彬彬：

“作△ABC的角平分线AD”．

数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：

“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”

（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；

（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．

17．（2008•内江）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．

18．（2006•南充）已知：

如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．

求证：

△ABC是等腰三角形．

19．（2006•兰州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：

①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．

（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？

（2）选择第

（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．

20．（2006•莱芜）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．

（1）求证：

△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；

（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？

为什么？

（4）请你猜想：

当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．

22．如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）

等式：

①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．

已知：

求证：

△AED是等腰三角形．

证明：

23．已知：

点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．

求证：

△ABC是等腰三角形．

24．已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC．将图中的等腰三角形全都写出来．并求∠B的度数．

25．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．

26．如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等腰三角形的理由．

27．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=

，△ABF是△ADE的旋转图形．

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转了多少度？

（3）AF的长度是多少？

（4）如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？

《特殊三角形》常考题集（06）：

2.3等腰三角形的判定

1．D　2.C　3．C4．B5．D　6．A7.C8.C9.B

10.311.312.513.5　

14．

（1）证明：

在△ABC和△DCB中

，

∴△ABC≌△DCB（SSS）．

（2）解：

∵△ABC≌△DCB，

∴∠OBC=∠OCB．

∴OB=OC．

∴△OBC为等腰三角形．

15．解：

已知：

①③（或①④，或②③，或②④）

证明：

在△ABE和△DCE中，

∵

，

∴△ABE≌△DCE，

∴AE=DE，

即△AED是等腰三角形．

16．

（1）解：

作辅助线不能同时满足两个条件；

（2）证明：

作△ABC的角平分线AD．

∴∠BAD=∠CAD，

又∵∠B=∠C，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD．

∴AB=AC．

17．解：

△AFC是等腰三角形．理由如下：

在△BAD与△BCE中，

∵∠B=∠B，∠BAD=∠BCE，BD=BE，

∴△BAD≌△BCE，

∴BA=BC，∠BAC=∠BCA，

∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．

∴AF=CF，

∴△AFC是等腰三角形．

18．证明：

作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵AO平分∠BAC，

∴∠3=∠4，

∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

∵∠1=∠2，

∴OB=OC．

∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．

∴∠5=∠6．

∴∠1+∠5=∠2+∠6．

即∠ABC=∠ACB．

∴AB=AC．

∴△ABC是等腰三角形．

19．解：

（1）①③，①④，②③和②④；

（2）以①④为条件，理由：

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB．

又∵∠DBO=∠ECO，

∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

20．解：

连接MA．

∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，

∴∠DAB=90°，

∵△EDA≌△CAB，

∴DA=AB，ED=AC，

∴△DAB是等腰直角三角形，又M为BD的中点，

∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），

AM=

BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∴∠EDM=∠MAC=105°，

在△MDE和△CAM中，

ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM

∴△MDE≌△CAM．

∴∠DME=∠AMC，ME=MC，

又∵∠DMA=90°，

∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．

∴△MEC是等腰直角三角形．

21．

（1）证明：

AB=AC

∴∠B=∠C．

在△DBE和△ECF中

，

∴△DBE≌△ECF（SAS）．

∴DE=EF．

∴DEF是等腰三角形．

（2）解：

∠A=40°，∠B=∠C，

∴∠B=∠C=70°．

∴∠BDE+∠DEB=110°．

△DBE≌△ECF．

∴∠FEC=∠BDE，

∴∠FEC+∠DEB=110°，

∴∠DEF=70°．

（3）解：

假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，

∴∠BDE+∠DEB=90°．

∴∠B=∠C=90°．

∴这与三角形的内角和定理相矛盾，

∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）解：

∠EDF+∠EFD=120°，即∠DEF=60°，

∴∠FEC+∠DEB=120°，即∠B=60°．

∵AB=AC，

∴∠A=60°．

22．解：

已知：

①③（或①④，或②③，或②④）

证明：

在△ABE和△DCE中

∵

∴△ABE≌△DCE；

∴AE=DE；

△AED是等腰三角形．

23．证明：

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴△BDF与△CDE为直角三角形，

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

24．解：

图中等腰三角形有△ABC，△ADB，△ADC

∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形；

∵BD=AD，DC=AC

∴△ADB和△ADC是等腰三角形；

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵BD=AD，DC=AC

∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC=2∠B，

在△ACD中，

∵∠ADC=∠DAC=2∠B，∠C=∠B，

∴5∠B=180°

∴∠B=36°．

25．解：

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，

∴∠DBO=∠DOB，

∠ECO=∠EOC，

∴BD=OD，CE=EO（等角对等边）

∵AD+DE+AE=10cm，

∴AD+BD+CE+EA=10cm，

又BC的长为5cm，所以△ABC的周长是：

AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm．

26．证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C（等边对等角）．（1分）

∵DE⊥BC于E，

∴∠FEB=∠FEC=90°．

∴∠B+∠EFB=∠C+∠EFC=90°．

∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）．（2分）

∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等），

∴∠EFC=∠ADF．（2分）

∴△ADF是等腰三角形．

27．解：

观察图形，由△ADE到△ABF的旋转可知：

（1）旋转中心是点A；

（2）顺时针旋转90°；

（3）由旋转可知BF=DE=

．

由勾股定理得：

AF=

=

．

（4）等腰直角三角形．

由旋转可知；AE与AF是对应边，

∴AE=AF，∠EAF=90°，

则△AEF是等腰直角三角形．

第2章《特殊三角形》常考题集（20）：

2.7直角三角形全等的判定

1．A2.D3.D4.B5.A6.D7.B8.B9.A10.D11.D12.D13.A14.B15.B16.B17.B18.D19.D20.B21.D22.A23.B24.B25.D26.B27.B28.C29.D30.B