光明市的菜篮子工程.docx
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光明市的菜篮子工程
光明市的菜篮子工程
一、问题重述
光明市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况分别在花市A、城乡路口B和下塘街C设三个收购点。
清晨5点前菜农将蔬菜送至各收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场。
该市道路情况、各路段距离（单位:
100m）及各收购点、菜市场1..8的具体位置如图1:
图1:
该市道路情况、各路段距离及收购点、菜市场具体位置
按常年情况，,、,、,三个收购点每天收购量分别为200、170和160（单位:
100kg），各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kg）见表1。
设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/（100kg*100m）。
表1:
各菜市场的每天需求量及发生供应短缺是带来的损失
菜市场每天需求（100kg）短缺损失（元/100kg）
17510
2608
3805
47010
510010
6558
7905
8808（a）为该市设计一个从各收购点至各菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短期损失最小。
（b）若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案。
（c）为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增加的蔬菜每天应分别向A、B、C三个采购点各供应多少最经济合理。
二、模型的基本假设
1、只考虑运输费用和短缺费用，不考虑装卸等其他费用。
2、假设运输的蔬菜路途中没有损耗。
3、假设各市场蔬菜只来源于三个收购站，无其他来源且三个收购站所收购蔬菜全部运往8个菜市场。
4、假设规划增加蔬菜种植面积后，蔬菜供应总量恰好能满足8个菜市场的需求量。
三、符号说明
x:
第i个收购点向j市场供给的数量（i=1,2,3;j=1,2…,8）。
ij
x:
第j（j=1,2…8）个市场因供给量小于需求量的单位短缺损失。
4j
p:
第i个收购点向j市场供给的单位运费（i=1,2,3;j=1,2…,8）。
ij
b:
第i（i=1,2,3,4）个收购点供应量。
i
d:
第j（j=1,2…8）个市场需求量。
j
t:
规划增加蔬菜种植面积后，A、B、C三个收购点的增加的收购量。
i
Z:
总费用。
四、问题的分析与模型的建立
问题a:
这是一个产销不平衡的规划问题（产小于销），三个收购点每天蔬菜收购量为430（单位:
100kg），而8个菜市场每天共需510（单位:
100kg），所以，8个菜市场每天将共短缺80（单位:
100kg）。
可设一个虚拟的收购点D，每天蔬菜收购量为80（单位:
100kg），正好弥补8个菜市场每天短缺的那部分，则如表2:
表2:
加虚拟收购点后的产销平衡表
12345678产量
200A488191162220
170B14771612162317
160C20191114615510
D80销量75608070100559080610
但虚拟收购点D运往8个菜市场的运费无法计算。
在本题中，只考虑运费及蔬菜短缺时的总费用，考虑到虚拟收购点D运往8个菜市场的路径无法确定，及D所运往8个菜市场的
1
蔬菜均为各个菜市场短缺的，故可将8个菜市场短缺所造成的损失等效于D运往8个菜市场的运费。
所以，原题的等效描述如下:
分别在A、B、C和D设四个收购点。
清晨5点前菜农将蔬菜送至各收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场。
其中A、B、C、D四个收购点每天收购量分别为200、170、160和80（单位:
100kg）。
此时四个收购点每天收购量恰好等于8个菜市场每天需求量。
此时即为产销平衡的规划问题。
如表3:
表3:
等价替换后的产销平衡表
12345678产量
200A488191162220
170B14771612162317
160C20191114615510
D1085101085880
75608070100559080610销量
目标函数总费用Z包括两项:
蔬菜调运费、各市场供给量小于需求量的短缺损失。
此题中等效蔬菜调运费。
即:
48
pxz=ijij,,
i,,1j1
约束条件为:
8
x,b?
4个收购点的蔬菜全部供给给8个市场（i=1,2,3,4）,iji,1j
4
x,d?
每个市场的蔬菜都来自4个收购点（j=1,…,8）,ijji,1
x,0?
变量非负性限制（i=1,…,4;j=1,…,8）ij
综上，得出问题（a）的数学模型如下:
48
px,,ijijminz=
i,,1j1
8
x,bs.t（i=1,2,3,4）,iji
1j
4
x,d,ijj（j=1,…,8）
i,1
x,0（i=1，…,4;j=1,…,8）ij
2
问题b:
此时规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%的条件，则对需求量的约束条件进行了修
改。
即:
48
pxz=ijij,,
i,,1j1
约束条件为:
8
x,b?
4个收购点的蔬菜全部供给给8个市场（i=1,2,3,4）,iji,1j
4
x,d?
每个市场的蔬菜都来自4个收购点（j=1,…,8）,ijji,1
x,0.2d?
各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%（j=1,…,8）ijj
x,0?
变量非负性限制（i=1,…,4;j=1,…,8）ij
综上，得出问题（b）的数学模型如下:
48
pxijij,,minz=
i,,1j1
8
x,bs.t,（i=1,2,3,4）iji
1j
3
x,d,ijj（j=1,…,8）
i,1
x,0.2d（j=1,…,8）ijj
x,0（i=1,…,4;j=1,…,8）ij
问题c:
为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积。
此时A、B、C三个
收购点应恰好能满足8个菜市场的需求量。
假设规划增加蔬菜种植面积后，A、B、C三个
t收购点的收购量分别增加了（i=1,2,3）则:
i
38
px目标函数:
z=ijij,,
i,,1j1
3
约束条件为:
8
tx,b?
3个收购点的蔬菜全部供给给8个市场+（i=1,2,3）i,iji,1j
3
x,d?
每个市场的蔬菜都来自3个收购点（j=1,…,8）,ijj,1i
x,0?
变量非负性限制（i=1,2,3;j=1,…,8）ij
）的数学模型如下:
综上，得出问题（c
38
pxijij,,minz=
i,,1j1
8
x,bt,ijis.t+（i=1,2,3）i,1j
3
x,d,ijj（j=1,…,8）
i,1
x,0（i=1,2,3;j=1,…,8）ij
五、对模型的求解
pp为了求解模型，必须求出系数（），其中每一表示第i个收购点向j市场供ijij4，8
给单位量蔬菜的运费。
但因为从收购点至各菜市场单位量蔬菜单位路程的调运费用为1元/（100kg*100m），而蔬菜的单位量为100kg，单位距离为100m，则可求出第i个收购点到第
pj市场每单位蔬菜的单位距离运费为1元/（100m*100kg）*100m*100kg=1元。
因而在ij
x数值上等于第i个收购点到第j市场的距离值，从而等价于一个求最短路的问题。
对于4j
p（j=1,…,8）,因其每短缺100kg损失1元，而蔬菜的单位量为100kg，故在数值上等4j于第j个市场供应短缺时带来的损失值。
p从图中可以找出从第i个收购点到第j市场的最小距离值，也即单位最小运费ij表4:
单位最小运费
4
12345678A488191162220
B14771612162317
C20191114615510
D10851010858
问题a:
根据建立的模型，利用LINGO软件，求解模型的最优解，得出结果如下表:
表5:
各收购点向市场供应量分配表
12345678A754000305500B02070800000C0000700900D000000080
总计费用:
4610（元）
问题b:
根据建立的模型，利用LINGO软件求解模型的最优解，得出结果如下表:
表6:
各收购点向市场供应量分配表
12345678
A751000605500
B05064560000
C00002407264
D0016141601816
总计费用:
4806（元）
问题c:
ttt根据建立的模型，利用LINGO软件，求得模型的最优解结果如下表，其中==0，=80312（100kg），即C收购点的收购量增加了80（100kg），而A，B收购点的收购量没有增加。
表7:
各收购点向市场供应量分配表
5
12345678产量
200+0A754000305500
170+0B02080700000
160+80C00007009080
总计费用:
4770（元）
六、参考文献
[1].胡运权，运筹学基础及应用，北京:
高等教育出版社，2008.6
七、附录
问题求解的lingo源程序:
问题a:
问题a
model:
sets:
c/1..4/:
a;!
供应量;
s/1..8/:
b;!
需求量;
v（c,s）:
x,p;!
各个点供应量和单位价格;endsets
data:
a=20017016080;
b=75608070100559080;p=488191162220
14771612162317
20191114615510
10851010858;enddata
min=@sum（v:
x*p）;!
目标函数:
费用最小;@for（c（i）:
@sum（s（j）:
x（i,j））=a（i））;!
供应量应满足的条件;@for（s（j）:
@sum（c（i）:
x（i,j））=b（j））;!
需求量应满足的条件;end
运行结果:
6
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4610.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
12
VariableValueReducedCost
B
（1）200.00000.000000
B
（2）170.00000.000000
B（3）160.00000.000000
B（4）80.000000.000000
D
（1）75.000000.000000
D
（2）60.000000.000000
D（3）80.000000.000000
D（4）70.000000.000000
D（5）100.00000.000000
D（6）55.000000.000000
D（7）90.000000.000000
D（8）80.000000.000000
X（1,1）75.000000.000000
X（1,2）40.000000.000000
X（1,3）0.0000000.000000
X（1,4）0.0000002.000000
X（1,5）30.000000.000000
X（1,6）55.000000.000000
X（1,7）0.00000012.00000
X（1,8）0.0000005.000000
X（2,1）0.00000011.00000
X（2,2）20.000000.000000
X（2,3）80.000000.000000
X（2,4）70.000000.000000
X（2,5）0.0000002.000000
X（2,6）0.00000011.00000
X（2,7）0.00000014.00000
X（2,8）0.0000003.000000
X（3,1）0.00000021.00000
X（3,2）0.00000016.00000
X（3,3）0.0000008.000000
X（3,4）0.0000002.000000
X（3,5）70.000000.000000
X（3,6）0.00000014.00000
X（3,7）90.000000.000000
X（3,8）0.0000000.000000
X（4,1）0.00000013.00000
X（4,2）0.0000007.000000
7
X（4,3）0.0000004.000000
X（4,4）0.0000000.000000
X（4,5）0.0000006.000000
X（4,6）0.0000009.000000
X（4,7）0.0000002.000000
X（4,8）80.000000.000000
P（1,1）4.0000000.000000
P（1,2）8.0000000.000000
P（1,3）8.0000000.000000
P（1,4）19.000000.000000
P（1,5）11.000000.000000
P（1,6）6.0000000.000000
P（1,7）22.000000.000000
P（1,8）20.000000.000000
P（2,1）14.000000.000000
P（2,2）7.0000000.000000
P（2,3）7.0000000.000000
P（2,4）16.000000.000000
P（2,5）12.000000.000000
P（2,6）16.000000.000000
P（2,7）23.000000.000000
P（2,8）17.000000.000000
P（3,1）20.000000.000000
P（3,2）19.000000.000000
P（3,3）11.000000.000000
P（3,4）14.000000.000000
P（3,5）6.0000000.000000
P（3,6）15.000000.000000
P（3,7）5.0000000.000000
P（3,8）10.000000.000000
P（4,1）10.000000.000000
P（4,2）8.0000000.000000
P（4,3）5.0000000.000000
P（4,4）10.000000.000000
P（4,5）10.000000.000000
P（4,6）8.0000000.000000
P（4,7）5.0000000.000000
P（4,8）8.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
14610.000-1.000000
20.000000-8.000000
30.000000-7.000000
40.000000-3.000000
8
50.000000-1.000000
60.0000004.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.000000-9.000000
100.000000-3.000000
110.0000002.000000
120.000000-2.000000
130.000000-7.000000问题b:
model:
sets:
c/1..4/:
b;!
供应量;
s/1..8/:
d;!
需求量;
v（c,s）:
x,p;!
各个点供应量和单位价格;
endsets
data:
b=20017016080;
d=75608070100559080;
p=488191162220
14771612162317
20191114615510
10851010858;
enddata
min=@sum（v:
x*p）;!
目标函数:
费用最小;
@for（c（i）:
@sum（s（j）:
x（i,j））=b（i））;!
供应量应满足的条件;
@for（s（j）:
@sum（c（i）:
x（i,j））=d（j））;!
需求量应满足的条件;
@for（s（j）:
x（4,j）<=0.2*d（j））;!
8个菜市场的短缺量不得少于每个菜
市场需求量的20%;
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4806.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
14
VariableValueReducedCost
B
（1）200.00000.000000
B
（2）170.00000.000000
B（3）160.00000.000000
B（4）80.000000.000000
D
（1）75.000000.000000
D
（2）60.000000.000000
9
D（3）80.000000.000000
D（4）70.000000.000000
D（5）100.00000.000000
D（6）55.000000.000000
D（7）90.000000.000000
D（8）80.000000.000000
X（1,1）75.000000.000000
X（1,2）10.000000.000000
X（1,3）0.0000000.000000
X（1,4）0.0000002.000000
X（1,5）60.000000.000000
X（1,6）55.000000.000000
X（1,7）0.00000012.00000
X（1,8）0.0000005.000000
X（2,1）0.00000011.00000
X（2,2）50.000000.000000
X（2,3）64.000000.000000
X（2,4）56.000000.000000
X（2,5）0.0000002.000000
X（2,6）0.00000011.00000
X（2,7）0.00000014.00000
X（2,8）0.0000003.000000
X（3,1）0.00000021.00000
X（3,2）0.00000016.00000
X（3,3）0.0000008.000000
X（3,4）0.0000002.000000
X（3,5）24.000000.000000
X（3,6）0.00000014.00000
X（3,7）72.000000.000000
X（3,8）64.000000.000000
X（4,1）0.0000007.000000
X（4,2）0.0000001.000000
X（4,3）16.000000.000000
X（4,4）14.000000.000000
X（4,5）16.000000.000000
X（4,6）0.0000003.000000
X（4,7）18.000000.000000
X（4,8）16.000000.000000
P（1,1）4.0000000.000000
P（1,2）8.0000000.000000
P（1,3）8.0000000.000000
P（1,4）19.000000.000000
P（1,5）11.000000.000000
P（1,6）6.0000000.000000
10
P（1,7）22.000000.000000
P（1,8）20.000000.000000
P（2,1）14.000000.000000
P（2,2）7.0000000.000000
P（2,3）7.0000000.000000
P（2,4）16.000000.000000
P（2,5）12.000000.000000
P（2,6）16.000000.000000
P（2,7）23.000000.000000
P（2,8）17.000000.000000
P（3,1）20.000000.000000
P（3,2）19.000000.000000
P（3,3）11.000000.000000
P（3,4）14.000000.000000
P（3,5）6.0000000.000000
P（3,6）15.000000.000000
P（3,7）5.0000000.000000
P（3,8）10.000000.000000
P（4,1）10.000000.000000
P（4,2）8.0000000.000000
P（4,3）5.0000000.000000
P（4,4）10.000000.000000
P（4,5）10.000000.000000
P（4,6）8.0000000.000000
P（4,7）5.0000000.000000
P（4,
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