定值问题1答案.docx

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定值问题1答案

定值问题

（1）

叶中豪（老封）

知识要点

定值问题有些平面图形的一部分几何元素是固定的，另一部分几何元素则在一定范围内变动，但与变动元素相关的某些几何量的值却保持不变，即为定值。

求定值的基本方法一般分为两步：

第一、把定值问题转化为一般的证明题，先要清楚定值是什么；第二再证明这个定值普遍成立。

在寻求定值是什么时，通常是使图形运动或变动到某一特殊位置或特殊场合，找出定值是什么，然后再证明一般性。

例题和习题

1.矩形ABCD中，M、N为AD、DC上的任意点。

求证：

2S△BMN＋AM·CN为定值。

2.已知：

P为正△ABC内任一点，作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。

求证：

BD＋CE＋AF为定值。

3.过平行四边形的顶点D作一直线与边BC相交于M，与AB的延长线相交于N。

求证：

为定值。

4.如图，在△ABC中，AD＝BE＝CF，O为△ABC内任一点，OA'∥AD，OB'∥BE，OC'∥CF。

求证：

OA'＋OB'＋OC'为定值。

5.△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，P是DE上任一点，联结BP延长交AC于G，联结CP延长交AB于F。

求证：

＋

是定值。

6.如图，△ABC是一个固定的三角形，且AB＝AC，直线EF、MN都垂直于BC。

求证：

不论MN、EF怎样平行运动，只要MN、EF之间的距离保持不变，五边形AMNFE的周长总是一个定值。

7.P是线段AB外一动点，PD⊥AB于D，且PD＝AB，H是△PAB的垂心，C是AB的中点。

求证：

CH＋DH为定值。

8.已知P为定角∠xAy平分线上的定点，过A、P两点任作一圆与∠xAy交于B、C两点。

求证：

AB＋AC为定值。

9.经过∠XOY的平分线上的一点A，任作一直线与OX及OY分别相交于P、Q。

求证：

为定值。

10.设M为Rt△ABC斜边BC的中点，过A、M两点任作一圆交BA延长线于E，过E引弦EF∥BC。

求证：

EF为定长。

11.圆O'的半径为R，以圆O'上一点O为圆心，以r为半径作圆，作圆O的一条切线使它交圆O'于A、B两点。

求证：

OA·OB为定值。

12.如图，矩形ABCD中，AB＝

BC，以AB为直径向外作半圆，P是半圆上的动点，联结PC、PD交AB于E、F。

求证：

AE2＋BF2为定值。