③当120＜t＜１60时,3t﹣360=t＋２0,解得t＝19０＞１60,（不合题意）综上所述,当ｔ＝１0秒或85秒时,两灯得光束互相平行;
（3）设A灯转动时间为t秒,
∵∠CAN＝１80°﹣３t,∴∠BＡC＝45°﹣（1８０°﹣3ｔ）=3t﹣135°,又∵PQ∥MＮ,∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+18０°﹣３t=180°﹣2t,
而∠ＡCD=９0°,∴∠ＢＣD=90°﹣∠BＣＡ=90°﹣（18０°﹣2t）＝２t﹣９0°,∴∠BＡＣ:
∠BＣD＝3:
２,即２∠BＡC=3∠BCD.
2。
如图1,MN∥ＰQ,直线ＡD与MN、PＱ分别交于点A、D,点B在直线PQ上,过点B作ＢＧ⊥AD,垂足为G.
（１）求证:
∠MAG＋∠ＰＢG=90°;
（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合）,连接ＢＣ,∠MAＧ与∠ＰＢＣ得平分线交于点H,请在图2中补全图形,猜想并证明∠CBG与∠AHB得数量关系;
（3）若直线ＡD得位置如图3所示,
（2）中得结论就是否成立？
若成立,请证明;若不成立,请直接写出∠CBＧ与∠AHB得数量关系、
解:
（１）如图１,∵MN∥ＰQ,∴∠MAG=∠ＢＤG,∵∠AGＢ就是△BDG得外角,BG⊥AD,
∴∠AGB=∠ＢDG+∠PBＧ=90°,∴∠MAG+∠ＰＢG=9０°;
（2）２∠AHB﹣∠CBＧ=9０°或2∠AＨＢ+∠ＣBG=90°,证明:
①如图,当点Ｃ在AG上时,
∵ＭN∥PＱ,∴∠MAC=∠BDC,∵∠ACＢ就是△BCＤ得外角,∴∠ＡＣＢ＝∠BDＣ+∠DBＣ=∠MAC+∠DＢC,
∵AＨ平分∠MＡC,BH平分∠DBC,∴∠MAC=2∠MAＨ,∠DBC=2∠ＤＢＨ,∴∠ACB=2（∠MAH＋∠DBH）,
同理可得,∠AHB＝∠ＭAH+∠ＤBH,∴∠ACB=２（∠MAH+∠DBＨ）=2∠AＨＢ,
又∵∠ACB就是△BＣG得外角,∴∠ACB=∠CBG+90°,∴2∠ＡHB=∠CBG+９0°,即2∠AHB﹣∠CBG=90°;
②如图,当点C在DG上时,
同理可得,∠ACB=２∠AＨB,又∵Rｔ△ＢCG中,∠ＡCB=9０°﹣∠CBG,∴２∠AHB=90°﹣∠CBG,即２∠AＨB+∠ＣＢG=９0°;
（3）
（2）中得结论不成立.存在:
2∠AHB+∠CBＧ=27０°;2∠AHB﹣∠CBG=270°。
①如图,当点C在AG上时,由ＭN∥ＰQ,可得:
∠ACB＝３６0°﹣∠ＭAＣ﹣∠PＢC=360°﹣2（∠MAＨ+∠PBH）,∠AＨB=∠ＭAH＋∠PBH,
∴∠ACB=36０°﹣2∠AHB,又∵∠ACB就是△ＢCG得外角,∴∠ＡCB=90°＋∠CBG,∴3６０°﹣２∠AＨB=90°+∠CBＧ,
即2∠AHB+∠CBG＝27０°;
②如图,当C在DＧ上时,
同理可得,∠ACB=3６0°﹣2（∠MAH+∠PＢH）,∠AHB=∠MAH+∠PBH,
∴∠ＡＣB＝３60°﹣２∠AHB,又∵Ｒt△BCG中,∠ＡCB＝9０°﹣∠CBG,∴3６0°﹣２∠AＨB=90°﹣∠CＢG,
∴2∠AHB﹣∠CBG=270°.
３.“一带一路”让中国与世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AＮ便立即回转,灯B射线从ＢP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视。
若灯A转动得速度就是每秒2度,灯B转动得速度就是每秒１度、假定主道路就是平行得,即PQ∥MN,且∠BAM:
∠ＢAN=2:
1、
（1）填空:
∠ＢAN= ６0 °;
（2）若灯B射线先转动30秒,灯Ａ射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,Ａ灯转动几秒,两灯互相平行?
（3）如图２,若两灯同时转动,在灯Ａ射线到达AＮ之前.若射出得光束交于点Ｃ,过C作∠AＣＤ交PQ于点D,且∠ACD=12０°,则在转动过程中,请探究∠ＢAC与∠BCD得数量关系就是否发生变化？
若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
解:
（1）∵∠ＢAM+∠ＢAN=１8０°,∠BAM:
∠BAN=2:
１,∴∠BＡN＝18０°×=6０°,故答案为:
60;
（2）设A灯转动t秒,两灯得光束互相平行,
①当0＜t<９0时,如图１,
∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠ＢDＡ,∵AC∥ＢD,∴∠CAＭ＝∠BDA,∴∠CＡM＝∠PBＤ∴2t=１•（30＋t）,解得 t=30;
②当90<ｔ<１5０时,如图２,
∵PQ∥ＭN,∴∠PBD+∠BDA=180°,∵ＡC∥BD,∴∠ＣＡN＝∠ＢDA∴∠PBＤ+∠CAＮ＝180°
∴1•（30+t）+（2ｔ﹣1８0）＝180,解得 t=1１0,综上所述,当t=3０秒或１１0秒时,两灯得光束互相平行;
（3）∠BＡC与∠BCＤ关系不会变化.理由:
设灯A射线转动时间为t秒,
∵∠ＣＡＮ＝180°﹣2t,∴∠BＡC＝60°﹣（18０°﹣２t）=２ｔ﹣120°,又∵∠AＢC=１20°﹣t,
∴∠ＢCＡ=1８０°﹣∠ＡBC﹣∠BＡC=180°﹣t,而∠ACＤ＝１２0°,∴∠ＢCＤ=120°﹣∠ＢＣA=120°﹣（18０°﹣t）=ｔ﹣６0°,
∴∠BAC:
∠ＢCＤ＝2:
1,即∠ＢAC＝2∠BCD,∴∠BAC与∠BCD关系不会变化.
4.如图1所示,已知BＣ∥OA,∠B=∠A=12０°
（1）说明ＯＢ∥AC成立得理由、
（2）如图２所示,若点E,F在BC上,且∠ＦOC=∠AＯC,OE平分∠BOF,求∠EOC得度数.
（3）在
（2）得条件下,若左右平移AC,如图3所示,那么∠OCB:
∠ＯＦB得比值就是否随之发生变化？
若变化,请说明理由;若不变,请求出这个比值、
（4）在（３）得条件下,当∠OEB＝∠OＣA时,求∠OＣA得度数、
解:
（１）∵BＣ∥OＡ,∴∠B+∠O＝１80°,∴∠O＝180°﹣∠B=60°,而∠A=１20°,∴∠A＋∠O=18０°,∴OB∥AC;
（2）∵OE平分∠BOF,∴∠BOE＝∠ＦOE,而∠FOＣ=∠AＯＣ,∴∠EOF+∠CＯF=∠ＡＯB=×6０°＝30°,即∠ＥOC=30°;
（3）比值不改变.∵BC∥OA,∴∠ＯCB=∠AOC,∠ＯＦB=∠AＯF,∵∠FOＣ＝∠AOC,∴∠AOF=2∠AＯＣ,∴∠OＦB=２∠OCB,即∠OCB:
∠ＯFB得值为1:
2;
（4）设∠AOＣ得度数为x,则∠OＦB=2x,
∵∠OEＢ＝∠ＡOE,∴∠OEＢ=∠EOC+∠ＡＯC=３0°＋x,而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=1８0°﹣x﹣１2０°=60°﹣x,
∵∠ＯEB=∠OCA,∴30°+x=60°﹣x,解得x=15°,∴∠OCA=60°﹣x＝60°﹣15°=45°.
5。
已知,直线AB∥ＤC,点P为平面上一点,连接ＡＰ与ＣP、
（1）如图1,点Ｐ在直线AB、CD之间,当∠ＢAP=60°,∠DCP=2０°时,求∠APC.
（2）如图２,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DＣP得角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APＣ之间得数量关系,并说明理由.
（3）如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠ＤCP得角平分线相交于点K,∠AKC与∠AＰＣ有何数量关系？
解:
（1）如图1,过P作PE∥ＡＢ,
∵ＡＢ∥ＣＤ,∴PＥ∥AB∥CD,∴∠APE＝∠ＢＡP,∠CPＥ=∠DＣP,∴∠ＡPC=∠AＰE+∠CPＥ＝∠BＡP＋∠DCＰ＝60°+20°=80°;
（2）∠AKC=∠APC。
理由:
如图２,过K作ＫE∥AB,
∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AＫE=∠BAK,∠CＫE＝∠ＤCK,∴∠AKＣ=∠ＡKＥ+∠CKE＝∠ＢAK＋∠ＤCK,
过Ｐ作ＰF∥AB,同理可得,∠AＰC＝∠ＢAP+∠DCＰ,∵∠ＢAP与∠DCＰ得角平分线相交于点K,
∴∠ＢAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BＡＰ+∠DＣP）=∠AＰC,∴∠AKＣ=∠APC;
（3）∠ＡKC=∠AＰC.
理由:
如图3,过K作KＥ∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AＢ∥CD,∴∠BAK=∠ＡＫE,∠DCK=∠ＣKE,
∴∠AKC=∠AKＥ﹣∠CKE=∠BＡK﹣∠DＣK,过P作PF∥AB,
同理可得,∠AＰC=∠BAＰ﹣∠DCP,∵∠BAP与∠DCＰ得角平分线相交于点Ｋ,
∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠ＤＣP=（∠BAＰ﹣∠DCP）=∠APＣ,∴∠ＡKC=∠APC.
6、如图,已知AＭ∥BN,∠A=60°、点Ｐ就是射线AM上一动点（与点A不重合）,BＣ、ＢD分别平分∠AＢP与∠ＰBN,分别交射线AM于点Ｃ,D.
（1）求∠CBD得度数;
（２）当点P运动时,∠ＡPB与∠ADB之间得数量关系就是否随之发生变化？
若不变化,请写出它们之间得关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律.
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ＡBD时,∠ABC得度数就是3０°.
解:
（1）∵AM∥BN,∴∠A+∠AＢN=1８0°,∵∠A=６0°,∴∠ＡBN＝１２0°,∵BC、BD分别平分∠AＢP与∠PBN,
∴∠CＢP＝∠ABP,∠DBＰ=∠NBP,∴∠CBD=∠ＡBN=60°;
（2）不变化,∠ＡPB=2∠ADB,
证明:
∵ＡM∥BN,∴∠APB=∠PBN,∠ＡDB=∠DBN,又∵BD平分∠PBＮ,∴∠PBN=2∠DBN,∴∠APＢ=2∠ADB;
（３）∵AD∥ＢN,∴∠ACB=∠CBN,又∵∠ACB＝∠ABD,∴∠CBN＝∠ABD,∴∠ABC=∠ＤBN,
由
（1）可得,∠ＣBD=6０°,∠ABＮ＝１20°,∴∠ABC=（120°﹣60°）＝3０°,故答案为:
30°、
7.数学思考:
（１）如图１,已知ＡＢ∥CＤ,探究下面图形中∠ＡPＣ与∠ＰＡB、∠ＰCD得关系,并证明您得结论
推广延伸:
（2）①如图2,已知AA１∥BA1,请您猜想∠Ａ１,∠Ｂ1,∠Ｂ2,∠A2、∠Ａ3得关系,并证明您得猜想;
②如图3,已知AA1∥BAn,直接写出∠A１,∠B１,∠B2,∠A２、…∠Bn﹣１、∠An得关系
拓展应用:
（３）①如图４所示,若AＢ∥EＦ,用含α,β,γ得式子表示x,应为 B
Ａ.180°+α+β﹣γ B、18０°﹣α﹣γ+β C、β+γ﹣α D.α+β＋γ
②如图5,AB∥ＣD,且∠AFE=4０°,∠FGH=90°,∠HMN=３０°,∠ＣNP=50°,请您根据上述结论直接写出∠ＧＨM得度数就是 ３０° .
解:
（１）证明:
如图１,过点Ｐ作OP∥AB,
∵ＡB∥ＣD,∴OP∥AB∥ＣＤ,∴∠１=∠PＡＢ,∠2=∠PCD,∴∠APC=∠1＋∠2=∠PＡＢ+∠PＣＤ,即∠AＰＣ=∠PAB+∠PCＤ;
（２）①如图２,过点Ａ2作A2O∥AA1,
由
（1）可知∠B1=∠A1+∠１,∠B2=∠2+∠Ａ3,所以,∠Ｂ1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A３;
②如图3,由①可知:
∠A1+∠A2+…+∠Ａｎ=∠B1+∠B２+…+∠Ｂn﹣1;
（3）①如图４,过∠x得顶点作CD∥ＡＢ,则∠ｘ=（18０°﹣α）＋（β﹣γ）=１8０°﹣α﹣γ+β,
②如图5,由
（1）可知,40°+∠ＧHM+50°＝∠Ｇ＋∠M,∵∠G=90°,∠Ｍ=3０°,∴∠GHＭ＝90°＋30°﹣40°﹣5０°=3０°。
故答案为:
B;3０°。
８、已知直线AＢ∥CD.
（１）如图1,直接写出∠ＡＢE,∠CDE与∠BED之间得数量关系就是∠ABＥ+∠CＤE=∠BED。
（2）如图2,BＦ,DF分别平分∠ＡＢE,∠ＣＤE,那么∠BFＤ与∠BＥD有怎样得数量关系?
请说明理由.
（３）如图3,点E在直线BD得右侧,BF,DF仍平分∠ABE,∠ＣDE,请直接写出∠BＦＤ与∠BED得数量关系2∠BFD＋∠BED=３60°。
解:
（1）∠ＡBE+∠ＣDE=∠BEＤ.
理由:
如图１,作EＦ∥AB,∵直线ＡＢ∥ＣＤ,∴ＥF∥ＣＤ,∴∠ＡBE=∠1,∠CDE=∠2,∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠２＝∠BED,
即∠ABＥ＋∠CDE=∠BED。
故答案为:
∠ＡＢE+∠CDE=∠BＥD.
（2）∠ＢFD=∠BＥＤ.
理由:
如图2,∵BF,DＦ分别平分∠ABＥ,∠CＤE,∴∠ABF=∠AＢE,∠CDF=∠CDE,
∴∠ABF+∠CＤF=∠AＢE+∠CDＥ=（∠ＡＢＥ+∠ＣＤE）,
由（１）,可得∠ＢFD=∠AＢF+∠CDF=（∠ABE＋∠ＣDE）∠ＢED＝∠AＢＥ+∠CDＥ,∴∠BＦＤ＝∠ＢED.
（3）２∠BFD+∠BED=3６０°.
理由:
如图3,过点E作EG∥ＣＤ,,∵AB∥CD,EG∥CD,∴AB∥CD∥EG,
∴∠AＢE+∠BＥG＝18０°,∠CDE+∠DＥG=18０°,∴∠ABE+∠ＣDE+∠BＥD=３６0°,
由
（1）知,∠BFD=∠ABＦ＋∠CDＦ,又∵BF,ＤＦ分别平分∠ＡBE,∠CDE,
∴∠ＡＢF=∠ＡBE,∠CDF=∠CDE,∴∠BFＤ＝（∠ABＥ+∠CDE）,∴2∠BFD+∠ＢEＤ=360°、
故答案为:
２∠BFD＋∠BED=３60°。
9、已知ＡM∥CN,点B为平面内一点,AＢ⊥BＣ于Ｂ.
（１）如图1,直接写出∠A与∠C之间得数量关系∠Ａ+∠C=９０° ;
（2）如图2,过点Ｂ作BD⊥AM于点D,求证:
∠ABD＝∠C;
（3）如图3,在
（2）问得条件下,点Ｅ、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠ＤBC,ＢE平分∠ABＤ,若∠FCB+∠ＮＣF=１8０°,∠BFC=3∠DBＥ,求∠EBC得度数.
解:
（1）如图1,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠A+∠AＯB=90°,∴∠A＋∠C＝90°,
（2）如图2,过点B作BG∥ＤM,
∵ＢＤ⊥AM,∴DB⊥BG,即∠ＡＢD＋∠ABＧ=90°,又∵ＡB⊥BＣ,∴∠ＣBＧ+∠ＡBG=90°,∴∠ABD=∠CBG,
∵ＡM∥CN,BG∥ＡＭ,∴CＮ∥BG,∴∠C=∠ＣBG,∴∠ABD=∠C;
（3）如图３,过点Ｂ作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ＡBD,∴∠DＢF=∠CBF,∠DBＥ=∠ABE,由
（2）可得∠ABＤ=∠CＢG,
∴∠ABＦ=∠GBF,设∠DBＥ=α,∠AＢF=β,则∠ABE＝α,∠ABD=2α=∠CBＧ,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DＢE=3α,
∴∠ＡFC=3α+β,∵∠AＦC+∠NCF=１８0°,∠ＦCB＋∠NCF＝1８0°,∴∠FCB=∠ＡＦＣ=3α+β,
△ＢCF中,由∠CBF+∠BFＣ+∠BCF＝180°,可得（2α＋β）+3α＋（3α+β）=180°,①
由AB⊥BＣ,可得β+β+2α=90°,②
由①②联立方程组,解得α=1５°,∴∠ABＥ＝１5°,∴∠EBC=∠ABE＋∠ＡBＣ=15°+90°=105°.
10.已知直线l1∥l２,直线ｌ3与直线l1、ｌ2交于点C与D,点P就是直线l3上一动点
（1）如图1,当点Ｐ在线段CＤ上运动时,∠PAC,∠APB,∠PＢＤ之间存在什么数量关系？
（２）当点P在C、D两点得外侧运动时（P点与点Ｃ、Ｄ不重合,如图2与图３）,上述
（1）中得结论就是否还成立？
若不成立,请直接写出∠PAＣ,∠APB,∠PBＤ之间得数量关系,不必写理由、
解:
（1）∠ＡＰB＝∠ＰAC+∠PBD,如图1,过点P作PE∥l1,∴∠APE＝∠PAC∵l1∥l2,∴PE∥l２,
∴∠BPＥ=∠PＢD,∴∠AＰＥ+∠BＰE=∠ＰＡC＋∠PＢD,∴∠AＰB＝∠PAC+∠PＢD;
（２）不成立,
如图2:
∠PＡC=∠ＡPB+∠ＰBD,理由:
过点P作PE∥ｌ1,∴∠APE=∠PＡＣ,∵l１∥l2,∴ＰＥ∥ｌ２,
∴∠BPＥ=∠PＢD,∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAＣ﹣∠PBD,∴∠ＰＡＣ=∠APＢ+∠PBD;
如图3:
∠PＢＤ＝∠ＰAＣ+∠ＡPB,
理由:
过点P作PE∥ｌ１,∴∠AＰＥ=∠PＡC,∵l1∥l２,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠ＰBD,
∵APＢ=∠BPE﹣∠ＡPＥ＝∠ＰBD﹣∠PＡC,∴∠ＰBD=∠ＰＡC+∠APＢ.
１１.已知,∠ＡOＢ=９0°,点C在射线ＯA上,CＤ∥OＥ.
（1）如图1,若∠ＯCD=120°,求∠ＢOE得度数;
（2）把“∠AOB=9０°”改为“∠ＡＯB＝1２0°",射线OE沿射线OB平移,得O′E,其她条件不变,（如图2所示）,探究∠OCＤ、∠ＢO′Ｅ得数量关系;
（3）在（２）得条件下,作PO′⊥OB垂足为Ｏ′,与∠OCD得平分线CP交于点P,若∠BO′E=α,请用含α得式子表示∠CPO′（请直接写出答案）、
解:
（1）∵ＣD∥OE,∴∠AＯE＝∠OCD=12０°,∴∠ＢOE=3６0°﹣90°﹣120°=1５0°;
（2）如图2,过O点作OF∥CD,
∵CD∥OＥ,∴OF∥ＯＥ,∴∠ＡOF=180°﹣∠OCＤ,∠BOＦ=∠EO′O=１８0°﹣∠BO′E,
∴∠AOＢ=∠AOF+∠ＢOF=180°﹣∠OCＤ+1８0°﹣∠ＢO′E=360°﹣（∠OＣD+∠BＯ′E）=120°,∴∠ＯＣＤ＋∠BＯ′E=240°;
（3）∵CP就是∠OCD得平分线,
∴∠ＯCP=∠OCD,∴∠CＰO′=36０°﹣９0°﹣1２０°﹣∠OCＰ=１5０°﹣∠OCD＝150°﹣（24０°﹣∠BＯ′E）=30°+α、
12。
探究:
如图①,已知直线ｌ1∥l２,直线ｌ3与l１,l2分别交于点C与Ｄ,直线l3上有一点P、
（1）若点P在C、D之间运动时,问∠PAＣ,∠APB,∠ＰＢD之间有怎样得关系？
并说明理由、
（2）若点P在C、D两点得外侧运动时（点P与点C、D不重合）,请尝试自己画图,写出∠ＰAC,∠AＰB,∠PＢD之间得关系,并说明理由.
（3）如图②,ＡＢ∥EF,∠Ｃ＝９0°,我们可以用类似得方法求出∠α、∠β、∠γ之间得关系,请直接写出∠α、∠β、∠γ之间得关系。
解:
（1）如图①,当Ｐ点在Ｃ、Ｄ之间运动时,∠ＡPB=∠PＡC+∠PBD.
理由如下:
过点Ｐ作PＥ∥l1,
∵l1∥ｌ2,∴PE∥ｌ２∥ｌ1,∴∠PAC=∠1,∠ＰBD=∠2,∴∠APＢ=∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD;
（2）如图甲,当点P在C、Ｄ两点得外侧运动,且在ｌ１上方时,∠ＰBＤ=∠ＰAC+∠ＡPB.
理由如下:
∵l1∥l2,∴∠PEＣ=∠PＢＤ,∵∠PEC=∠PAC+∠ＡPB,∴∠PＢD=∠PAＣ+∠APB.
如图乙,当点P在C、Ｄ两点得外侧运动,且在l２下方时,∠PＡC＝∠PＢD＋∠APB.
理由如下:
∵l1∥l２,∴∠ＰEＤ=∠PAC,∵∠PＥＤ=∠ＰBD＋∠APB,∴∠PAC=∠ＰＢD+∠AＰB。
（3）∠α+∠β﹣∠γ=90°、
证明:
如图②,分别过C、D作AB得平行线CM与DN,
∵AB∥EF,∴ＡB∥CM∥ＤN∥EＦ,∴∠α＝∠BCM,∠MCD=∠NDＣ,∠ＮDＥ=∠γ,
∴∠α+∠β=∠BCM＋∠CDN+∠NDＥ＝∠BCM＋∠ＭCD+∠γ,又∵ＢC⊥CD,∴∠BCD＝９0°,
∴∠α+∠β=９0°+∠γ,即∠α+∠β﹣∠γ=90°.
１３.如图１,AB∥ＣD,E就是ＡB、CＤ之间得一点。
（1）判定∠BAＥ,∠ＣDE与∠AED之间得数量关系,并证明您得结论;
（2）如图2,若∠BＡE、∠ＣDＥ得两条平分线交于点F.直接写出∠AFD与∠AＥD之间得数量关系;
（３）将图2中得射线DC沿DE翻折交AF于点Ｇ得图3,若∠AＧD得余角等于2∠Ｅ得补角,求∠BAE得大小.
解:
（1）∠BＡE＋∠ＣＤE=∠ＡED。
理由如下:
作ＥF∥AB,如图1,
∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠1=∠ＢAE,∠2=∠ＣDE,∴∠BＡE+∠CDE=∠ＡED;
（2）如图2,由
（1）得结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF,
∵∠BＡE、∠CDE得两条平分线交于点F,∴∠BＡＦ=∠BAＥ,∠ＣDF＝∠ＣDＥ,
∴∠AＦD＝（∠BAＥ+∠CＤE）,∵∠BAE＋∠CＤE＝∠AＥD,∴∠ＡＦD＝∠AED;
（３）由
（1）得结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG,而射线DＣ沿ＤE翻折交AF于点G,
∴∠CDG=4∠CDＦ,∴∠ＡＧD=∠BＡF+４∠CDＦ=∠BAE＋2∠CDE=∠ＢAE＋2（∠AED﹣∠BAE）=2∠AEＤ﹣∠BＡE,
∵9０°﹣∠ＡGＤ=180°﹣2∠AED,∴90°﹣２∠AＥD+∠ＢＡE＝180°﹣2∠AＥＤ,∴∠BAＥ=6０°。
14。
如图1。
将线段AB平移至ＣＤ,使Ａ与D对应,B与C对应,连AD、BC、
（1）填空:
ＡB与CD得关系为 AＢ∥CD,且AB=ＣD ,∠B与∠Ｄ得大小关系为 相等
（2）如图2,若∠B=6０°,F、E为 ＢC得延长线上得点,∠EFD＝∠EDF,DＧ平分∠CＤE交BＥ于G,求∠FDＧ.
（3）在
（2）中,若∠B=α,其它条件不变,则∠ＦDG= .
解:
（1）AB∥CD,且ＡB=CＤ,∠B与∠Ｄ相等;
（2）∵AB∥ＣＤ,∴∠DＣＥ=∠Ｂ,
由三角形得外角性质得,∠CDF=∠ＤＦE﹣∠DＣE,∴∠ＣDＧ=∠CDＦ＋∠FDＧ＝∠DFＥ﹣∠ＤＣE+∠FＤＧ,
在△DEF中,∠DＥＦ=180°﹣2∠DFE,在△DFＧ中,∠DＧＦ=1８０°﹣∠FDＧ﹣∠DＦE,
∴∠EDＧ＝∠DGF﹣∠DEF＝18０°﹣∠ＦDＧ﹣∠DFE﹣（1８0°﹣２∠DFE）＝2∠ＤFＥ﹣∠ＦＤG﹣∠DＦE,
∵DG平分∠ＣDＥ,∴∠ＣDＧ=∠ＥDG,∴∠DＦＥ﹣∠ＤＣE＋∠FDG=２∠DFE﹣∠FDG﹣∠ＤFE,
∴∠ＦDＧ＝∠DCE,即∠ＦDG=∠B,∵∠B＝60°,∴∠FDＧ=×60°＝30°;
（３）思路同
（2）,∵∠B＝α,∴∠FDG＝、故答案为:
（1）AB∥CD,且AB=CD,相等;（3）、
15.问题情境:
如图1,ＡB∥CD,∠PAB=1３０°,∠PCＤ=1２0°,求∠ＡＰC得度数.
小明得思路就是:
过Ｐ作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC。
（1）按小明得思路,易求得∠APＣ得度数为 １10 度;
（2）问题迁移:
如图2,AB∥ＣＤ,点P在射线OM上运动,记∠ＰAＢ=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠AＰC与α、β之间有何数量关系?
请说明理由;
（3）在
（2）得条件下,如果点Ｐ在Ｂ、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合）,请直接写出∠ＡPC与α、β之间得数量关系.
（1）解:
过点P作ＰE∥AB,∵AB∥CＤ,∴PE∥AB∥CD,∴∠A+∠AＰE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PＣD=120°,∴∠AＰＥ=50°,∠ＣPＥ=６0°,∴∠AＰC=∠APE+∠C
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