博弈论第一章.docx
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博弈论第一章
1完整信息静态博弈
1.0对策论研究的内容与根本形式
对策论研究的内容
对策论研究多个行为主体的决议问题。
对策论研究的形式
博弈(game),由多个行为主体组成的系统。
例
Stackelbergmodel
Cournotmodel
博弈的种类
参加者行动的时间与次序
同时行动——静态博弈;
先后行动——动向博弈。
参加者的信息多少
信息同样——完整信息;
信息不一样——不完整信息。
1.1根本理论:
博弈的标准式和纳什平衡
例1少儿游戏:
“石头、剪刀、布〞。
博弈的准式表示(normal-formrepresentation)
(1)参加人(player).
n个参加人:
1,2,⋯,i,⋯,n.
(2)略(strategy).
一个参加人的略是他采纳的一个行。
参加人i的略:
si.
参加人i的略空:
Si.
略的一个合:
s={s1,s2,⋯,sn}.
化表示:
s-i={s1,⋯,si-1,si+1,⋯,sn}.
(3)利润(payoff).
参加人i的利润:
ui=ui(s1,s2,⋯,sn)
n个参加人博弈的准形式表示:
G={S1,S2,⋯S,n;u1,u2,⋯u,n}
完整信息(completeinformation):
每个参加人知道其余人的略空和利润。
静博弈(staticgame):
全部的参加人同行。
每一个人行,不知道其余人的行。
例1〔〕:
博弈{石、剪刀、布}的描绘:
参加人:
1,2。
略空:
S1=S2={石、剪刀、布}
利润:
两人出手的函数
u1(石,石)=0,u1(石,剪刀)=1,u1(石,布)=-1
⋯
u2(石,石)=0,u2(石,剪刀)=-1,u2(石,布)=1
⋯⋯
利润表:
两个参加人,有限个略的博弈的表示方法。
P2
石头剪刀布
石头
0,0
1,-1
-1,1
P剪刀
-1,1
0,0
1,-1
1
布
1,-1
-1,1
0,0
博弈的:
可否知道每个参加人的略?
例2:
囚犯窘境(ThePrisoner’sDilemma)
囚犯2
缄默招认
缄默
-1,-1
-9,0
囚犯1
招认
0,-9
-6,-6
囚犯1的考:
无方缄默是招,自己“招〞好于“缄默〞。
囚犯2的考:
无方什么,“招〞好于“缄默〞。
两人的:
(招,招)。
定:
si是si的格劣略〔strictlydominated〕,假如:
ui(si,s-i)ui(si,s-i)
“缄默〞是“招认〞的严格劣战略
例3:
参加人2
左中右
上
1,0
1,3
3,0
参加人1中0,20,16,0
下
0,
2
2,
4
5,
3
参加人1:
没有严格劣战略。
参加人2:
“右〞严格劣于“中〞
考虑:
重复剔除严格劣战略(iteratedeliminationofstrictlydominated
strategies)
可预示的两人选择:
(下,中)。
例4:
图
参加人2
左中右
上
0,4
4,0
5,3
参加人1中4,00,45,3
下3,53,56,6
两人都没有格劣略。
两人会如何各自的略?
定:
s*=(s1,⋯,n
是一个什平衡
(Nashequilibrium),
假如
*
s*)
ui(si*,s-i*)
ui(si,s-i*)
什平衡最大化的解
maxui=ui(s1*,⋯s,i,⋯s,n*)
siSi
各例中的什平衡:
囚犯窘境:
〔招,招〕
例3:
〔下,中〕
例4〔1.1.4〕:
(下,右).
什平衡与重复剔除格劣略的关系:
没有被剔除的独一的略合是什平衡.
假如略是一个什平衡,它在重复剔除格劣略后留下.
多个什平衡
例5性(thebattleoftheSexes)
帕特
歌剧拳击
歌剧
2,1
0,0
克里斯
拳击
0,0
1,2
纳什平衡:
(歌剧,歌剧),(拳击,拳击)
1.2应用
例古诺双头垄断模型〔CournotModelofDuopoly〕
二个公司,生产产量:
q12
q
市场需求:
P=a–Q,
Q=q1
2
+q
公司本钱:
Cii
i
(q)=cq,i=1,2.
公司利润:
i(q1,q2)=Pqi–Ci(qi)=(a–(q1+q2))qi–cqi,
博弈的描绘:
参加人:
公司1,公司2
战略:
产量qi
利润:
i(q1,q2)
公司i选择产量求
max
(s,,s*):
iij
siSi
一阶条件
d1=a–c–2q1–q2*=0
dq1
和
d2=a–c–q1*–2q2=0
dq2
厂商选择自己利润最大的产量
q1=acq2
q2=acq1
2
2
解纳什平衡得
q1*=q2*=ac
3
利
π1=π2=(a–c–(ac+ac))ac=(ac)2
3339
当ui是可微分的候,什平衡以下方程的的解:
ui(s1,s2
...,sn)=0,i=1,⋯n,
si
思虑:
用重复剔除格劣略求什平衡
比:
假如两个厂商生
q1=q2=ac
4
利
2
π1=π2=(a–c–(ac+ac))ac=(ac)
4448
例特德双断模型〔BertrandModelofDuopoly〕
两个企生有差的商品。
消者企i的需求
qi(pi,pj)=a–pi+bpj,
本钱:
Ci(qi)=cqi,i=1,2.
略si:
pi0
利润:
i(pi,pj)=(a–pi+bpj)(pi–c)
什平衡(p1
2
足
*,p*)
max
i(pi,pj*)
=max(a–pi+bpj*)(pi–c)
解得p1
2
a
c
*=p*=
2
b
例最后要价仲裁(Final-offerArbitration)
一个公司和一个工会,经过一个仲裁员决定薪资。
公司和工会同时提出薪资:
wf,wu
仲裁员有一个标准:
x,选择两方建议中比较凑近x的建议:
假如x<(wf+wu)/2,那么wf
假如x>(wf+wu)/2,那么wu
wf(wf+wu)/2xwu
公司和工会不知道x,但知道x
的散布函数F(x)和密度函数f(x)。
剖析
wf被选择的概率:
Prob{x2
wu
}=Fwf
2
wu
wu被选择的概率:
Prob{x>wf
2
wu}=1–F
wf
wu
2
希望薪资
Ew=wfF
wf
wu
+wu1–F
wf
wu
2
2
wf*
知足
min
wfF
wf
wu*
+wu*
1–F
wf
wu*
wf
2
2
wu*
知足
max
wf*F
w*f
wu+wu
1–F
w*f
wu
wu
2
2
由一阶条件
F
wfwu
+1wff
wf
wu-1wuf
wfwu=0
2
2
2
2
2
1wff
wfwu
+1-Fwf
wu-1wuf
wfwu=0
2
2
2
2
2
由此解出薪资的平衡建议。
两式相减
F
wf
wu
=1
2
2
两式相加
u
wf
wu
f
wf
wu
=1
w*f
2
–w*f
2
假如x
为正态散布:
x~N(m,
2)
w*f
wu*
=m
2
wu*–wf*=1
=2
2,
f(m)
纳什平衡
wu*=m+2/2,wf*=m–2/2
例公共财富问题
一个乡村,有n个村民,在公共草地上放羊。
村民i放牧的羊数:
gi
全村的羊总数:
G=g1+...+gn
养一只羊的(个人)本钱为c,一只羊的价值为v(G)
当G0,v'(G)<0,v''(G)<0
当G>Gmax,v(G)=0
每个村民选择养羊数目使自己利润最大
giv(G)–cgi
一阶条件
v(G)+giv'(G)–c=0,i=1,...,n
将n个等式相加获得
nv(G)+Gv'(G)–nc=0
即纳什平衡G1知足
v(G1)+G1v'(G1)–c=0
n
全村在总利润最大的放牧数G2知足
maxG2v(G2)–cG2
一阶条件
v(G2)+G2v'(G2)–c=0
G1与G2哪一个大?
G1大
v
v(G)
OGmaxG
Gv'(G)/n
v'(G)
Gv'(G)
决议问题:
在条件变差时,利润上涨仍是降落?
在往常的(一人)决议中,假如有几个选择,决议者选择利润最大的一个。
假如外界条件改变,使他的一个或几个利润降落,那么它不论如何选择,
都不会使利润比本来更大。
例
在一块田里选择栽种的(纯)收入:
棉花
3000元
花生
3700元
玉米
3500元
假如本钱上涨,收入变成
棉花
3000元
花生
3200元
玉米
3400元
人决议利润往常降落
例
在多人决议时的利润降落与增添
〔1〕初始时
参加人
2
1
2
T
T
S
5,4
8,3
1
参加人1
S
4,3
6,5
2
平衡为〔S1,T1〕,参加人1的利润为5。
〔2〕外界条件使参加人1在选择S1时的利润降落
参加人2
T1T2
S13,45,2
参加人1
S24,36,5
平衡〔S2,T2〕
参加人1的利润6。
多人决议,利润可能上涨。
混淆战略和平衡的存在
例1少儿游:
“石、剪刀、布〞不存在什平衡。
如何略?
例6猜硬(MatchingPennies)
参加人2
正面反面
正面
-1,1
1,-1
参加人1
反面1,-1-1,1
也不存在什平衡。
将本来的略
sik称略(purestrategy)。
略空
Si
〔i1,⋯,iK〕。
=s
s
混淆略(mixedstrategy):
略空Si的概率散布
i〔i1,⋯,iK〕
:
p=pp.
——由参加人定。
〔参加者在可行中全部行的一个概
率散布〕
利润:
vi
(p
1,⋯,n
k
(
jjk
i1,⋯,n
p)=
p
)u(s
s)
=Eui(s1,⋯,sn)
——由概率算的希望。
的情况:
二个参加人
S1={s11,⋯,s1J},S2={s21,⋯s,2K}利润:
JK
v1(p1,p2)=p1jp2ku1(s1j,s2k)
j1k1
猜硬的利润:
假如
p1=(1,
3),p2
=(
1,2),
4
4
3
3
v1
=–1
×1
+
1×2+
3×1
–3×2
=-1/6
4
3
4
3
4
3
4
3
v2
=
1
1
1
2
3
1
3
2
4
×–×–
4
×
+
4
×=1/6
3
4
3
3
3
随意的混淆略,
p1
,
1-p)
,
2
,
1-q),
=(p
p=(q
v1(p1,p2)=pq(-1)+p(1-q)+(1-p)q+(1-p)(1-q)(-1)
=2p(1-2q)+2q-1
v2(p1,p2)=pq+p(1-q)(-1)+(1-p)q(-1)+(1-p)(1-q)
=2q(2p-1)+1–2p
混淆略中的劣略
例7
参加人2
LR
T
3,--
0,--
参加人1M
0,--
3,--
B
1,--
1,--
假如只考略,B不是格劣略。
在略,假如参加人
L,那么1选T,假如参加人2选R,那么1选R。
可否剔除B?
假如1选择p=(0.5,0.5,0),那么对2的任何混淆战略(q,1–q)
v1(p,q)=0.5q3+0.5(1-q)0+0.5q0+0.5(1-q)3=1.5考虑以概率1选择B,即pB=(0,0,1),那么
v1(pB,q)=q1+(1-q)1=1
即B为p的严格劣战略。
v
3
MT
p
1B
O1q
仿佛能够剔除B?
假如改写一下:
参加人2
LR
T
3,--
0,--
参加人1M
0,--
3,--
B
2,--
2,--
结果有何变化?
给出其余人的混淆战略p-i,i的最优反应:
p
vi(pi,p-i)vi(pi,p-i)
例6〔续〕在猜硬币中,参加人1的利润:
v1(p1,p2)=pq(-1)+p(1-q)+(1-p)q+(1-p)(1-q)(-1)
=2p(1-2q)+2q-1
参加人1的最优反应
假如q1,p=1;
2
假如q1,p=0;
2
假如q=1,p在[0,1]中随意。
2
参加人2的利润:
v2(p1,p2)=pq+p(1-q)(-1)+(1-p)q(-1)+(1-p)(1-q)
=2q(2p-1)+1–2p
参加人2的最优反应
假如p1,q=0;
2
假如p1,q=1;
2
假如p=1,q在[0,1]中随意。
2
pp
11
1/2
O
1/2
1q
O
1
q
参加人1
参加人2
混淆战略的纳什平衡
什平衡:
p*=〔p1*,⋯,pn*〕足
vi(p*i,p*-i)vi(pi,p*-i)
什平衡最大化的解
maxvi=vi(p1*,⋯p,i,⋯p,n*)
pi
在猜硬中,{〔1
1
〕,〔1
1〕}是一个什平衡.
2
2
2
2
p
1
O1/21q
例8性〔〕
克里斯取混淆略(p,(1–p)),帕特取〔q,(1–q)〕
克里斯利润
v1=2pq+(1-p)(1-q)
=p(3q-1)+1-q
她的最反
p=0,当q
1,
3
p=1,当q
1
3
p随意在[0,1]中,当q=1
3
帕特利润
v2=pq+2(1-p)(1-q)
=q(3p-2)+2–2p
他的最优反应
q=0,当p
2;
3
q=1,当p
2;
3
q随意在[0,1]中,当p=2.
3
pp
O
q
O
q
克里斯
帕特
纳什平衡:
{(2,1),(1,2)};
3333
{(0,1),(0,1)};
{(1,0),(1,0)}.
纳什平衡的存在
二个参加人,二个战略
参加人2
LR
Ux,ay,b
参加人1
Dz,cw,d
参加人1的混淆战略:
(p,1-p);
参加人2的混淆战略:
(q,1-q).
参加人1的利润:
v1(p,q)=pqx+p(1–q)y+(1–p)qz+(1–p)(1–q)w=p[q(x–z+w–y)–(w–y)]+q(z–w)+w
分3种状况:
(1)x–z+w–y=0。
v1(p,q)=p(y–w)+q(z–w)+w
p=1,当yw;
p=0,当yw;
p[0,1],当y=w.
p
p
O
q
O
q
yw
yw
(2)x
–z+w–y
p=0,当q
p=1,当q
0
(w
(w
–y)/(x–y)/(x
–z+w–z+w
–y)
–y);
p[0,1],当q=(w–y)/(x–z+w–y).
p
O
q
0(w
–y)/(x
–z+w
–y)
1
pp
OqOq
1(w–y)/(x–z+w–y)(w–y)/(x–z+w–y)0
(3)x–z+w–y0
p=1,当q(w–y)/(x–z+w–y);
p=0,当q(w-y)/(x–z+w–y),
p[0,1],当q=(w-y)/(x–z+w–y).
p
Oq
0(w–y)/(x–z+w–y)<1
pp
OqOq
(w–y)/(x–z+w–y)01(w–y)/(x–z+w–y)
最优反应曲线一共能够归纳为4种状况。
似的剖析可得参加人2的最反曲只有4种可能:
pp
O
p
q
O
p
q
OqOq
什平衡的存在:
参加人1的任何最反与参加人2的任何最
反起码有一个交点。
超二个参