⊆C⫋B的集合C的个数为（）.
A.1B.2C.3D.4
例2已知M,N为集合I的非空子集,且M,N不相等,若N∩∁IM=∅,则M∪N=（）.
A.MB.NC.ID.∅
变式1设集合A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则由实数a的所有可能取值组成的集合C为（）.
A.{1,1}B.{1,1}C.{0,1,1}D.{0,1,1}
523523
结论二
交、并、补（且、或、非）之间的关系（德·摩根定律）.
（1）集合形式:
∁I（A∩B）=（∁IA）∪（∁IB）,∁I（A∪B）=（∁IA）∩（∁IB）;
（2）命题形式:
（p∧q）=（p）∨（q）,（p∨q）=（p）∧（q）.
例3
设全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},则（∁UA）∪（∁UB）=.
变式1已知全集U=A∪B中有m个元素,（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素.若A∩B非空,则
A∩B的元素个数为（）.
A.mnB.m+nC.n-mD.m-n
变式2写出下列命题的否定.
（1）命题p∨q:
A=0或B=0;
（2）命题p∧q:
A=0且B=0.
结论三
奇函数的最值性质:
已知函数f（x）是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f（x）+f（-x）=0.特别地,若奇函数f（x）在定义域Df上有最值,则f（x）max+f（x）min=0,且若0∈Df,则f（0）=0.
证明:
因为f（x）为奇函数,所以∀x∈D,-x∈D,且f（-x）=-f（x）,即f（x）+f（-x）=0.
若0∈Df,令x=0,则有f（0）+f（-0）=0,即f（0）=0.
若奇函数f（x）在Df上有最值,设f（x）max=f（x0）,则f（x0）≥f（x）（x∈D）,所以f（-x0）=-f（x0）≤-f（x）=f（-x）（-x∈D）,即f（x）min=f（-x0）.由f（x0）+f（-x0）=0,得f（x）max+f（x）min=0.
例4
x24-
设函数f（x）=（x+1）（x-4）+tanx的最大值为M,最小值为m,则M+m=.
⎛1⎫
1+9x2
变式1已知函数f（x）=ln（
-3x）+1,则f（lg2）+fçlg
÷=（）.
A.-1
（）B.0
（C.1,
⎝2⎭
）,
D.2（）
变式2对于函数fx
=asinx+bx+c其中a,b∈Rc∈Z
选取a,b,c的一组值计算f1和
f（-1）,所得出的正确结果一定不可能是（）.
A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2
结论四
若函数y=f（x）是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1（x）.特别地,y=ax与y=logax（a>0且a≠1）互为反函数,两函数图像在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即（x0,f（x0））与（f（x0）,x0）分别在函数y=f（x）与反函数y=f-1（x）的图像上.
例5
2
设点P在曲线y=1ex上,点Q在曲线y=ln（2x）上,则|PQ|的最小值为（）.
A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2（1+ln2）
2
变式1若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2（x-1）=5,则x1+x2=（）.
2
A.5
结论五
B.3C.7
D.4
函数周期性问题:
已知定义在R上的函数f（x）,若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f（x+
T）=f（x）,则称f（x）是周期函数,T为其一个周期.
除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
（1）如果f（x+a）=-f（x）（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=2a;
（2）如果f（x+a）=f1x（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=2a;
（）
（3）如果f（x+a）+f（x）=c（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=2a;
（4）如果f（x）=f（x+a）+f（x-a）（a≠0）,那么f（x）是周期函数,其中的一个周期T=6a.
证明:
（1）,
（2）,（3）略.
（4）若f（x）=f（x+a）+f（x-a）①
则f（x+a）=f（x+2a）+f（x）②
①+②得,f（x）+f（x+a）=f（x+a）+f（x-a）+f（x+2a）+f（x）,
即f（x-a）+f（x+2a）=0,f（x+2a）=-f（x-a）,所以f（x+6a）=f[（x+4a）+2a]=
-f[（x+4a）-a]=-f（x+3a）=-f[（x+a）+2a]=f[（x+a）-a]=f（x）.
故f（x）是周期函数,其中的一个周期T=6a.
例6
已知函数f（x）满足:
f（5）=1,4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x,y∈R）,
则f（2015）=.4
变式1定义在R上的函数f（x）满足f（x）=log2（1-x）（x≤0）
则f（2017）=
（）.
{f（x-1）-f（x-2）（x>0）
3⎫
A.-1B.0C.1D.2
（）变式2Rxx+ff
2⎭
⎛
已知定义在上的函数满足ç
⎝
÷=-f（x）,且f（-2）=f（-1）=-1,f（0）=
2,则f
（1）+f
（2）+f（3）+…+f（2016）+f（2017）=（）.
A.-2B.-1C.0D.1
结论六
同,则y=f[g（x）]在D上是增函数;若f（x）与g（x）的单调性相反,则y=f[g（x）]在D上是减
复合函数单调性:
已知函数y=f[g（x）]是定义在D上的函数,若f（x）与g（x）的单调性相
x0,则f（x0）=x0.
函数,即“同增异减”.特别地,若f（x）是定义域D上的单调函数,且方程f[f（x）]=x在D上有解为
对于定义域为[0,1]的连续函数f（x）,如果同时满足以下3个条件:
（1）对任意的x∈[0,1]总有f（x）≥0;
例7
（2）f
（1）=1;
（3）若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立.则称函数f（x）为理想函数.若函数f（x）为理想函数,假定存在x0∈[0,1],使得f（x0）∈[0,1],且f[f（x0）]=x0.求证:
f（x0）=x0.
变式1设函数f（x）=ex+x-a（a∈R,e为自然对数的底数）.若曲线y=sinx上存在点（x0,
y0）使得f（f（y0））=y0,则a的取值范围是（）.
A.[1,e]B.[e-1,1]C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]
变式2若函数y=loga（x2-ax+1）（a>0且a≠1）在（1,2）上为增函数,则实数a的取值范围是
.
结论七
二次函数解析式的三种表达式.
⎧⎪ax2+bx+c（一般式）
二次函数（）
f
x=⎨aç
⎪
⎝2a⎭
⎪
⎛b⎫4
x+
÷
2
+
ac-b
2
4a
（
a≠0x∈R
）（顶点式
）
.
二次函数的性质.
⎩a（x-x1）（x-x2）（双根式）
（）
1
当
a>0
时,
f
（）ç
x-∞-
在
⎛
⎝
2a⎦
b⎤
⎥
上为减函数,
在
⎡b
⎢-+∞
⎣2a
⎫
÷
⎭
上为增函数,
且在
x=-
（）
2a
b
处取得最小值为
f-=
⎛b⎫4
ç÷
⎝2a⎭4a
ac-b
2
无最大值;
2a<0
当
时,（在
f
x-∞-
）ç
⎛
b⎤
⎡b
⎝
2a⎦
⎥
上为增函数,
在
⎢-+∞
⎣2a
⎫
÷
⎭
上为减函数,
且在
x=-
b
处取得最大值为
f-=
⎛b⎫4
ç÷
ac-b
2
无最小值;
（）
2a
3
对称轴为
x=-
b
若（
f
x
1=f2
）（）,
⎝2a⎭4a
x则x1+x
2=-
b
.
（4）
抛物线
y=f
（）
x
2a
a
与轴的交点为
y
（,）
0c.
例8
已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）.
A.∃x∈R,1ax2-bx≥1ax20-bx0B.∃x∈R,1ax2-bx≤1ax20-bx0
2222
C.∀x∈R,1ax2-bx≥1ax20-bx0D.∀x∈R,1ax2-bx≤1ax20-bx0
2222
变式1若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称,则f（x）的最大值是.
>
变式2定义min[f（x）,g（x）]={f（x）,f（x）≤g（x）.若函数f（x）=x2+tx+s的图像经过两点
（,0）,（
0）,
g（x）,f（x）g（x）
m1
（）.
x1x2
且存在整数
使得m成立则
4
A.min[f（m）,f（m+1）]<1
C.min[f（m）,f（m+1）]=1
B.min[f（m）,f（m+1）]>1
4
D.min[f（m）,f（m+1）]≥1
4{f（x）,f（x）>g（x）4
变式3设max{f（x）,g（x）}=g（x）,f（x）≤g（x）,若函数h（x）=x2+px+q（p,q∈R）的图像经过不同的两点（α,0）,（β,0）,且存在整数n,使得n<α<βA.max{h（n）,h（n+1）}>1B.max{h（n）,h（n+1）}<1
2
2
C.max{h（n）,h（n+1）}>1D.max{h（n）,h（n+1）}<1
结论八
经典不等式.
证明:
（1）令f（x）=ln（x+1）-x（x>-1）,则f'（x）=x11-1=-x.
（1）对数形式:
ln（x+1）≤x（x>-1）,当且仅当x=0时取等号;
（2）指数形式:
ex≥x+1（x∈R）,当且仅当x=0时取等号.
（）0,
0.'（x）,（x）x
2+.x+1
令f'x=
解得x=f
f随的变化如表
表2-1
-1所示
x
（-1,0）
0
（0,+∞）
f'（x）
+
0
-
f（x）
↗
极大值
↘
>≤≤>
所以f（x）在（-1,0）上单调递增,在（0,+∞）上单调递减,且当x=0时,f（x）有最大值为0.即∀x-1,ln（x+1）-xf（0）=0,所以ln（x+1）x（x-1）恒成立,当且仅当x=0时取等号.
（2）令g（x）=ex-x-1（x∈R）,则g'（x）=ex-1.令g'（x）=0,解得x=0.
g'（x）,g（x）随x的变化如表2-2所示.
表2-2
x
（-∞,0）
0
（0,+∞）
g'（x）
-
0
+
g（x）
↘
极小值
↗
所以g（x）在（-∞,0）上为减函数,在（0,+∞）上为增函数,且当x=0时g（x）有最小值为0.
即∀x∈R,ex-x-1≥g（0）=0.所以ex≥x+1（x∈R）恒成立,当且仅当x=0时取等号.
例9
ln（）x1x+-
已知函数f（x）=1,则y=f（x）的图像大致为（）.
A.B.C.D.
2
变式1已知函数f（x）=ex,x∈R.求证:
曲线y=f（x）与曲线y=1x2+x+1有唯一公共点.
x1+
变式2设函数f（x）=1-e-x.求证:
当x>-1时,f（x）≥x.
结论九
函数的对称性:
已知函数f（x）是定义在R上的函数.
（1）若f（a+x）=f（b-x）恒成立,则y=f（x）的图像关于直线x=a+b轴对称,
特别地,
若（
fa+x=fa-x
）（
）
恒成立,
则
y=f
（）
x
的图像关于直线
x
2
=a
轴对称
.
（）
2
若（
fa+x+f
）（
b-x=c
）,
则
y=f
（）
x
的图像关于点
⎛
ç
a+b
÷中心对称,
c⎫
特别地,若f（a+x）+f（a-x）=2b恒成立,则y=f（x）的图像关于点（a,b）中心对称.
⎝22⎭
⎛π⎫2
例10
3
2
2
已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图像如图2-2所示,fç
÷=-
则f（0）=（）.
3
A.-2
B.
2
C.-1
⎝2⎭
3
D.1
图2-2
变式1已知函数y=g（x）的图像由f（x）=sin2x的图像向右平移φ（0<φ<π）个单位得到,这两个函数的部分图像如图2-3所示,则φ=.
变式2设函数f（x）=Asin（ωx+
图2-3
）（A,ω,是常数,A>0,ω>0）.若f（x）在区间⎡⎢π,π⎤⎥上具
⎛π⎫
⎛2π⎫
φφ
⎛π⎫
⎢⎣6
2⎥⎦
有单调性,且fç
÷=fç
÷=-fç
÷,则f（x）的最小正周期为.
结论十
⎝2⎭
⎝3⎭
⎝6⎭
三点共线结论:
设平面上O,A,B三点不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在
实数λ与μ,使得OP→=λOA→+μOB→,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,OP→=1OA→+
1OB→.
2
2
证明:
先证必要性.如图2-4所示,因为P,A,B三点共线,所以AP→∥AB→,即存在t∈R,
使得AP→=tAB→,故OP→-OA→=t（OB→-OA→）,所以OP→=OA→+tOB→-tOA→=（1-t）OA→+tOB→.
设1-t=λ,t=μ,则OP→=λOA→+μOB→,且λ+μ=1.
再证充分性.若OP→=λOA→+μOB→,且λ+μ=1,则（λ+μ）OP→=λOA→+μOB→,
即λOP→-λOA→=μOB→-μOP→,也即λAP→=μPB→.所以AP→∥PB→,故A,P,B三点共线.
综上所述,P,A,B三点共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP→=λOA→+μOB→,且λ+μ=1.
图2-4
例11
在△ABC中,AB→=c,A→C=b.若点D满足BD→=2D→C,则AD→=（）.
BC
A.2b+1cB.5c-2bC.2b-1cD.1b+2c
33
1若在直线
上存在不同的三点ABC
变式l
33,,,
33
xOA+xOB
的方程
2→3
3→+→=0有解
使得关于实数x
（点O不在直线上）,则此方程的解集为（）.
A.∅B.{-1,0}
C.{-1}D.{-1+5,-1-5}
=
+（1-
）,
·
变式2已知两个单位向量a,b的夹角为60°,cta
2tb若b2c=0,则t=.
结论十一
1.
若向量O→A,O→B不共线,且点P为线段AB的中点,则O→A·O→B=|O→P|2-|P→A|2=|O→P|2-|P→B|2=
|OP→|2-⎛AB→⎫2
ç÷;
⎝2⎭
→→→
→
2.在矩形ABCD所在平面内,向量|OA|2+|OC|2=|OB|2+|OD|2（点O为平面内一点）.
125△
证明:
.如图-所示,在OAB中,因为点P为线段AB的中点,所以PA→+PB→=0,故OA→·OB→=
（OP→+PA→）·（OP→+PB→）=（OP→+PA→）·（OP→-PA→）=|OP→|2-|PA→|2=|OP→|2-|PB→|2=
ç
÷
|OP→|2-⎛AB→⎫2.
⎝2⎭
2.如图2-6所示,设矩形ABCD的对角线AC与BD的交点为点P,则点P为AC和BD的中点.因为OA→+O→C=2OP→,OA→-O→C=CA→,则（OA→+O→C）2+（OA→-O→C）2=4|OP→|2+|CA→|2,
即2（|OA→|2+|O→C|2）=4|OP→|2+|CA→|2,所以|OA→|2+|O→C|2=2|OP→|2+|CA→|2.
→2
→2
→2
|B→D|2→
→,
→2
→2
2
→2→2
同理|OB||OD|=2|OP|+
2.又|AC|=|BD|所以|OA|+|OC|=|OB|+|OD|.
图2-5图2-6
例12
在△ABC中,点M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB→·A→C=.
变式1在△ABC中,设点P0是AB边上一定点,满足P0B=1AB,且对于AB边上任一点P,恒有
PB→·P→C≥P0B→·P0→C,则（）.4
→→
A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC
变式2点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PA·PC1的取值范围是（）.
A.⎡⎢-1,-1⎤⎥
B.⎡⎢-1,-1⎤⎥
C.[-1,0]D.⎡⎢-1,0⎤⎥
⎣⎢4⎥⎦
⎣⎢24⎥⎦
⎣⎢2⎥⎦
变式3已知圆M:
x2+（y-1）2=1,圆N:
x2+（y+1）2=1,直线l1,l2分别过圆心M,N,且l1与圆
M相交于A,B两点,l2与圆N相交于C,D两点,点P是椭圆y2+x2=1上的任意一动点,则
P→A·P→B+P→C·PD→的最小值为.43
例13
2
在平面上,AB→1⊥AB→2,OB→1
范围是（）.
=OB→2
=1,AP→=AB→1+AB→2.若OP→<1,则OA→的取值
⎝⎦
⎝⎦
⎝⎦
⎛5⎤⎥
⎛57⎤⎥
⎛5⎤⎥
⎛7⎤⎥
⎝⎦
A.ç0,2⎥
B.ç2,2⎥
C.ç2,2⎥
D.ç2,2⎥
|PC2|
变式1在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|PA|2+|PB|2=（）.
A.2B.4C.5D.10
结论十二
2
为首项
1
1
等差数列.
①
②
为公差的
d
=a
1
是以
n
S
n
S
{}
所以数列
）
*
N.
∈
n
÷
2⎭
≥2
（n
=
1d
n-
-
nn-12
n
SS
②
式得
-
①
式
d⎫
1-
a
⎝
⎛
ç
+
）
1
（
=n-
1d
Sn-
n-12
时,
≥2
当n
d
2
1
=n+a-
n2
Snd
所以
）,
*
N
2
2
∈
（
nn
÷
2⎭
1-
a
⎝
⎛d⎫
ç
+
2
n
2
d
.
Snn
n
{}
求证:
也为等差数列
证明:
由通项公式an=a1+（n-1）d知,其前n项和为Sn=（a1+an）·n=na1+n（n-1）·d=
n
S
前项和为,
dn
其公差为,
},
n
a
已知等差数列{
也为等差数列.
n
S
{}
⇔
为二次型数列
）
*
N
∈
n
B
A
（,为常数,
2
n=An+Bn
S
对任意n∈N*恒成立⇔通项公式an=kn+b（k,b为常数,n∈N*）为一次型⇔前n项和公式
若数
升级会员 