课堂新坐标教师用书学年高中数学 14 全称量词与存在量词教案 新人教A版选修11.docx
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课堂新坐标教师用书学年高中数学14全称量词与存在量词教案新人教A版选修11
1．4.3 含有一个量词的命题的否定
（教师用书独具）
●三维目标
1.知识与技能
①通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义；能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；会判断全称命题和特称命题的真假；
②通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法
通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．
3．情感、态度与价值观
通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：
理解全称量词与存在量词的意义，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
难点：
判断全称命题和特称命题的真假，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
重、难点突破方法：
通过设置大量丰富的例子，引导学生观察、发现、合作与交流，认识全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系；对实例分析要恰当到位，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定．
（教师用书独具）
●教学建议
结合本节课的特点，应通过实例层层深入、逐步推进，讲解时切忌急躁，真正做到让学生在观察、发现、合作与交流中感受知识，在教师的引导释疑下学得知识，并在训练中得以熟练．
●教学流程
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（对应学生用书第13页）
课标解读
1.理解全称量词与存在量词的含义，会判断全称命题和特称命题的真假．（重点）
2.能用数学符号准确表示含有一个量词的命题的否定（难点、易错点）
全称量词与全称命题
【问题导思】
命题“任意三角形的内角和为180°”中使用了什么量词？
你还能举出几个含有这样量词的命题吗？
【提示】 使用了量词“任意”，能，任意的正方形都是平行四边形，对任意的x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立等．
1．全称量词
短语：
“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．
2．全称命题
含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为∀x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”．
存在量词与特称命题
【问题导思】
命题“存在实数a，使关于x的方程x2＋x－a＝0有实根”中使用了什么量词？
你还能举出几个含有此量词的命题吗？
【提示】 使用了量词“存在”，能，存在整数n使n能被13整除，存在实数x，使x2－2x－1＞0成立等．
1．存在量词
短语：
“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词．
2．特称命题
含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”可用符号简记为∃x0∈M，p（x0）读作“存在一个x0属于M，使p（x0）成立”．
含有一个量词的命题的否定
【问题导思】
1．写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形
②有些平行四边形是菱形
【提示】 ①并非所有的矩形都是平行四边形．
②每一个平行四边形都不是菱形．
2．对①的否定能否写成：
所有的矩形都不是平行四边形？
【提示】 不能．
3．对②的否定能否写成：
有些平行四边形不是菱形？
【提示】 不能.
命题
命题的表述
全称命题p
∀x∈M，p（x）
全称命题的否定綈p
∃x0∈M，綈p（x0）
特称命题p
∃x0∈M，p（x0）
特称命题的否定綈p
∀x∈M，綈p（x）
（对应学生用书第14页）
全称命题与特称命题的判定
判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
（1）凸多边形的外角和等于360°；
（2）有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
（3）对任意角a，b∈R，若a＞b，则
＜
.
（4）有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．
【思路探究】
（1）以上语句都是命题吗？
（2）每个语句中含有全称量词还是存在量词？
（3）若没有这些量词，根据语句的含义，你能否把量词补上？
【自主解答】
（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，是全称命题．
（2）含有存在量词“有些”，故是特称命题．
（3）含有全称量词“任意”，故是全称命题．
（4）含有存在量词“有一个”，是特称命题．
1．判断一个命题是否为全称命题或特称命题，关键看命题中是否含有全称量词或存在量词．
2．要注意有些全称命题并不含全称量词（如命题
（1）），这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断．对于同一个全称命题或特称命题的表述方法可能不同．
用量词符号“∀”“∃”表示下列命题．
（1）实数都能写成小数形式；
（2）有一个实数α，tanα无意义；
（3）指数函数都是单调函数．
【解】
（1）∀x∈R，x能写成小数形式；
（2）∃α∈R，tanα没有意义；
（3）∀f（x）∈{f（x）|f（x）是指数函数}，f（x）是单调函数．
全称命题与特称命题的真假判断
判断下列命题的真假：
（1）任意两向量a，b，若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角；
（2）∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；
（4）存在一个函数，既是奇函数又是偶函数．
【思路探究】
（1）以上命题是全称命题还是特称命题？
（2）全称命题怎样判断真假？
特称命题呢？
【自主解答】
（1）∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＞0，
∴cos〈a，b〉＞0.
又0≤〈a，b〉≤π，∴0≤〈a，b〉＜
，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．
（2）∵x2＋y2＝0时，x＝y＝0，∴不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
（4）函数f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，故它是真命题．
全称命题与特称命题真假的判断方法：
1．对于全称命题“∀x∈M，p（x）”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p（x）不成立，即“∃x0∈M，p（x0）不成立”．
2．对于特称命题“∃x0∈M，p（x0）”，要判断它为真，只需在M中找到x，使p（x）成立，要判断它为假，需要判断“∀x∈M，p（x）不成立”．
判断下列命题的真假：
（1）∀x∈R，x2＋2x＋1＞0；
（2）∃x0∈R，|x0|≤0；
（3）∀x∈N*，log2x＞0；
（4）∃x0∈R，cosx0＝
.
【解】
（1）∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
∴原命题是假命题．
（2）∵当x0＝0时，|x0|≤0成立，
∴原命题是真命题．
（3）∵当x＝1时，log2x＝0，
∴原命题是假命题．
（4）∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而
＞1，
∴不存在x0∈R，
使cosx0＝
，
∴原命题是假命题.
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）p：
不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
（2）q:
存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；
（3）r：
等圆的面积相等，周长相等；
（4）s：
对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
【思路探究】
（1）这些命题是特称命题还是全称命题；
（2）如何写出全称命题（或特称命题）的否定并判断真假？
【自主解答】
（1）这一命题可以表述为p：
“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：
“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－
时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．
（2）这一命题的否定形式是綈q：
对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0.利用配方法可以证得綈q是一个真命题．（3）这一命题的否定形式是綈r：
“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”.由平面几何知识知綈r是一个假命题．
（4）这一命题的否定形式是綈s：
“存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1”．由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．
1．对含有一个量词的命题进行否定时要先弄清是全称命题还是特称命题，再写其否定：
（1）全称命题的形式是：
“∀x∈M，p（x）”，其否定的形式应该是既对全称量词否定，又对命题p（x）进行否定，即“∃x∈M，綈p（x）”．所以全称命题的否定是特称命题．
（2）特称命题的形式是：
“∃x∈M，p（x）”，其否定形式是，对存在量词进行否定，变为全称量词，再对命题p（x）进行否定，即“∀x∈M，綈p（x）”，所以特称命题的否定是全称命题．
2．对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：
一是直接判断綈p的真假，二是用p与綈p的真假性相反来判断．
写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）p：
∀x∈R，x2－x＋
≥0；
（2）q：
所有的正方形都是矩形；
（3）s：
至少有一个实数x0，使x
＋1＝0.
【解】
（1）綈p：
∃x0∈R，x
－x0＋
＜0，假命题．
因为∀x∈R，x2－x＋
＝（x－
）2≥0恒成立．
所以p为真命题，綈p为假命题．
（2）綈q：
至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
（3）綈s：
∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
（对应学生用书第15页）
忽略隐含量词致误
写出下列命题的否定．
（1）p：
若2x＞4，则x＞2；
（2）p：
可以被5整除的数，末位是0；
（3）p：
能被8整除的数能被4整除；
【错解】
（1）綈p：
若2x＞4，则x≤2.
（2）綈p：
可以被5整除的数，末位不是0.
（3）綈p：
能被8整除的数不能被4整除．
【错因分析】 由于有些全称命题或特称命题隐含了量词，从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误．
【防范措施】 由于全称量词表示主语的全部外延，往往可以省略不写，这几个命题都是缺省全称量词的全称命题，因此我们在写这类命题的否定时，必须找出其省略的全称量词，写成p：
“∀x∈M，p（x）”的形式，然后再把它的否定写成綈p：
“∃x0∈M，綈p（x0）”的形式，要避免忽略命题中隐含的量词，同时应把握每一个命题的含义，写出否定形式后最好结合它们的真假性（一真一假）进行验证．
【正解】
（1）綈p：
至少存在一个x0，若2x0＞4，则x0≤2.
（2）綈p：
有些可以被5整除的数，末位不是0.
（3）綈p:
有些能被8整除的数不能被4整除．
1．判断一个命题是否为全称命题或特称命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据语义判断形式，如大多数公理、定理的简述都是一般性结论，它们大多数省略了全称量词，但仍应看作全称命题．
2．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，在写命题的否定时，一要注意量词的改写，二要注意结论的否定．另外，要注意原命题中是否有省略的量词，如是这种情况，应将量词补充后再写它的否定.
（对应学生用书第16页）
1．下列命题为特称命题的是（ ）
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
【解析】 D选项含有存在量词，是特称命题，其他不是．
【答案】 D
2．下列命题中全称命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 命题①②含有全称量词，命题③含有存在量词，为特称命题，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
【答案】 D
3．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是（ ）
A．不存在x0∈R,2x0＞0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
【解析】 命题的否定是：
对任意x∈R,2x＞0.
【答案】 D
4．判断下列命题的真假：
（1）∃x0∈R，使3x0－4＝1
（2）∀x∈R,2x＋1都为奇数．
【解】
（1）真命题，
（2）假命题.
一、选择题
1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是（ ）
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．∃x∈R，
＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
【解析】 C是特称命题，A、B都是全称命题，但为假命题，只有D既为全称命题又是真命题．
【答案】 D
2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是（ ）
A．存在一个α，使tan（90°－α）＝tanα
B．存在实数x0，使sinx0＝
C．对一切α，sin（180°－α）＝sinα
D．sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
【解析】 C、D是全称命题，A、B是特称命题，由于|sinx|≤1，故sinx0＝
＞1不成立，B为假命题，对于A，当α＝45°时，tan（90°－α）＝tanα成立．
【答案】 A
3．（2013·合肥高二检测）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．
【答案】 D
4．（2013·洋浦高二检测）下列命题中真命题为（ ）
A．若sinA＝sinB，则∠A＝∠B
B．∀x∈R，都有x2＋1＞0
C．若lgx2＝0，则x＝1
D．∃x∈Z，使1＜4x＜3
【解析】 若sinA＝sinB，不一定有∠A＝∠B，A不正确，B正确；若lgx2＝0，则x2＝1，x＝±1，C不正确，D不正确．
【答案】 B
5．（2012·福建高考）下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是
＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
【解析】 对于∀x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当
＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，
无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．
【答案】 D
二、填空题
6．给出下列四个命题：
①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；
③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．
【解析】 在②、④中含有全称量词“都”“任意”，为全称命题．③为特称命题．又①中的实质是：
对任意a，b有a·b＝0⇔a⊥b，故①②④为全称命题．
【答案】 ①②④
7．已知四个命题分别为：
①∀x∈R,2x－1＞0；②∀x∈N*，（x－1）2＞0；③∃x∈R，lgx＜1；④∃x∈R，tanx＝2.
其中是假命题的是________．
【解析】 由函数的性质，显然①③④是真命题．
对于②，当x＝1时，（x－1）2＝0.
∴②是假命题．
【答案】 ②
8．（2013·青岛高二检测）已知命题：
“∃x0∈[1,2]，使x
＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当1≤x≤2时，x2＋2x＝（x＋1）2－1是增函数．
∴3≤x2＋2x≤8，
如果“∃x∈[1,2]，使x
＋2x0＋a≥0”为真命题．
∴a＋8≥0，则a≥－8.
故实数a的取值范围是[－8，＋∞）．
【答案】 [－8，＋∞）
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）三角形的内角和为180°；
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）存在一个四边形不是平行四边形．
【解】
（1）是全称命题且为真命题．
命题的否定：
三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
（2）是全称命题且为假命题．
命题的否定：
存在一个二次函数的图象开口不向下．
（3）是特称命题且为真命题．
命题的否定：
所有的四边形都是平行四边形．
10．试判断下列命题的真假：
p1：
∃x∈R，sin2
＋cos2
＝
；
p2：
∃x，y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny；
p3：
∀x∈[0，π],
＝sinx；
p4：
sinx＝cosy⇒x＋y＝
.
【解】 因为sin2
＋cos2
＝1，故p1是假命题；当x＝y时，p2成立，故p2是真命题；
＝
＝|sinx|，因为x∈[0，π]，所以|sinx|＝sinx，p3是真命题；当x＝
，y＝
时，有sinx＝cosy，但x＋y＞
，故p4是假命题，p2，p3是真命题，p1，p4是假命题．
11．已知f（x）＝3ax2＋6x－1（a∈R）．
（1）当a＝－3时，求证对任意x∈R，都有f（x）≤0；
（2）如果对任意x∈R，不等式f（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
【解】
（1）证明：
当a＝－3时，f（x）＝－9x2＋6x－1，令－9x2＋6x－1＝0，则Δ＝36－36＝0，∴对任意x∈R，都有f（x）≤0.
（2）解：
∵对任意x∈R，有f（x）≤4x，∴3ax2＋2x－1≤0.
∴
∴a≤－
，即a的取值范围是（－∞，－
].
（教师用书独具）
已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1）x成立，且f
（1）＝0.
（1）求f（0）的值；
（2）当f（x）＋2＞logax对于x∈（0，
）恒成立时，求a的取值范围．
【解】
（1）由已知等式f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1）x，
令x＝1，y＝0，
得f
（1）－f（0）＝2，又因为f
（1）＝0，
所以f（0）＝－2.
（2）由
（1）知f（0）＝－2，
所以f（x）＋2＝f（x）－f（0）＝f（x＋0）－f（0）＝（x＋1）·x.
因为x∈（0，
），所以[f（x）＋2]∈（0，
）．
要使x∈（0，
）时，f（x）＋2＜logax恒成立，显然当a＞1时不可能，
所以
解得
≤a＜1.
（2013·南通高二检测）已知f（x）＝x2，g（x）＝（
）x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，有f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围．
【解】 根据题意知，f（x1）min≥g（x2）min，
当x1∈[－1,3]时，f（x1）min＝0.
当x2∈[0,2]，g（x2）＝（
）x2－m的最小值为g
（2）＝
－m.
因此0≥
－m，解之得m≥
.
故实数m的取值范围是[
，＋∞）.
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