概率论模拟题3.docx
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概率论模拟题3
上海金融学院
_概率论与数理统计(理工)模拟题六
课程代码:
13330075_考试形式:
闭卷时间:
120分钟考试时只能使用简单计算器(无存储功能)
试题纸
一、单项选择题(共5题,每题2分,共计10分)
1.对于任意两个事件A和B,则P(AB)。
A.P(A)P(AB)B.P(A)P(B)P(AB)
C.P(A)P(B)D.P(A)P(B)P(AB)
2.设事件A{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则A的对立事件为。
A.甲种产品滞销,乙种产品畅销;B.甲种产品滞销或者乙种产品畅销;
C.甲种产品滞销;D.甲、乙两种产品均畅销。
3.
设事件A,B
相互独立,则
。
A.P(AB)
1B.P(AB)=0C.P(AB)P(A)P(B)
D.P(AB)0
4.
设X1,X2,
Xn(n1)是来自总体X(,
2)的一个样本,
未知,则下面的式子
不是统计量的是
。
1
A.
n1
n
n
1
n
(XiX)2
B.
X1C.
Xi2
D.
Xik
i1
i1
n
1i1
5.设总体X的k
阶矩k
E(Xk)已知,又设X1,X2,
Xn(n1)是来自总体X的一
个样本,期望值
已知,则下列估计量中,唯有
是k的无偏估计。
1
n
1
n
A.
Xik
B.
1i
(Xi
)2
n
1i1
n
1
C.1
n
Xik
D.
1
n
(Xi
)2
ni
1
n1i1
二、填空题(共10个空,每空2分,共计20分)
1.随机变量X的分布律为PXk2c,(k2,4),则c。
k1
2.若XN(0,1),(x),(x)分别表示它的概率密度函数、分布函数,则
(0)=
;(0)
;P{X
0}
。
3.若随机变量X的分布律为P{X
k}
3ke3
k0,1,2,
则
k!
E(X)
;
D(X)
。
4.若X
N(1,12),YN(
2,22)且X,Y相互独立,Z
XY,则
E(Z)
;D(Z)
。
5.设X1,X2,,Xn(n1)是来自正态总体N(0,1)的一个样本,X为样本均值,则
E(nX);D(nX)。
三、解答题(共9题,第1,2,6,8题各5分,其余每题10分,共计70分)
1.(5
分)
观察某地区未来
5
天的天气情况,
记Ai为事件:
“有i天不下雨”,
已知(
)
(
A0
),
i1,2,3,4,5.
求下列各事件的概率
:
PAi
iP
(1)5天均下雨;
(2)
至少一天不下雨
2.(5分)某工厂一个班共有男工7人、女工4人,现要选出3个代表,问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少?
3.(10分)一道单项选择题,列有4个答案,学生A知道正确答案的概率为p,
而乱猜的概率为1p。
设他乱猜而答对的概率为
1,求
4
(1)学生A答对的概率;
(2)如果他答对了,而他确实知道正确答案的概率。
4.(10分)已知随机变量X的概率密度为f(x)ae|x|,0,x。
求系数a和分布函数F(x)。
5.(10分)随机变量X的概率密度函数为
2xe
x,x
0,
,
fX(x)
x
(0)
0,
0
而随机变量Y在(0,X)内服从均匀分布。
求:
(1)X,Y的联合概率密度函数
f(x,y);
(2)关于Y的边缘概率密度函数fY(y)。
6.(5分)设(X,Y)具有概率密度
12xy,0yx2,0x1,
f(x,y)
0,其它,
求Cov(X,Y)。
7.(10分)将n只球(1n号)随机地放进n个盒子(1n号)中去,一个盒子装一只球。
若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对。
记X为总的配对数,求E(X)。
8.(5分)某市保险公司开办“重大人参意外伤害”(以下简称“大伤”)保险业务。
被保险人每年向保险公司交保险金120元。
若被保险人在一年内发生了(一次或多次)“大伤”,本人或其家属可从保险公司获得一次(仅一次)3万元的赔偿金。
该市历年发生“大伤”的概率为0.0003,且该市现有9万人参加此项保险。
求保险公
司在一年内,从此项业务中至少获得954万元收益的概率。
((2.90)0.9981)。
2xe
x,x
0,
,
9.(10分)设总体X的概率密度函数为f(x;)
x
0
0,
0,
X1,X2,
Xn是来自X的一个样本,x1,x2,
xn是样本X1,X2,
Xn的一样本值。
求:
参数
的矩估计量及最大似然估计量。
上海金融学院
_概率论与数理统计(理工)模拟题六
课程代码:
13330075_考试形式:
闭卷时间:
120分钟考试时只能使用简单计算器(无存储功能)
__________专业_________班姓名__________学号_______座位号
题次
应得分
实得分
阅卷教
师签名
答题纸
一二三四五六七八九十总分
102070100
得分
一、选择题(共5题,每题2分,共计10分)
1.;2.;3.;4.;5.。
得
分
二、填空题(共10个空,每空2分,共计20分)
1.;2.
,
,
;
3.,;4.,;5.,。
得分
三、解答题(共9题,第1,2,6,8题各5分,其余每题10分,共计70分)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
上海金融学院
_概率论与数理统计(理工)模拟题六
课程代码:
13330075_考试形式:
闭卷时间:
120
分钟
注:
本课程所用教材,教材名:
_概率论与数理统计
主编:
_盛骤,谢式千,潘承毅__出版社:
高等教育出版社
__
版次:
第四版____
答案及评分标准
一、选择题(共5题,每题2分,共计10分)
1.A;2.B;3.C;4.C;5.C
二、填空题(共10个空,每空2分,共计20分)
1.3;
2.
(0)
1
(0)
1,P{X
0}
1;
8
2
2
2
3.3,3
;4.
2,
2
2
;5.0
,n。
1
1
2
三、解答题(共9题,第1,2,6,8题各5分,其余每题10分,共计70分)
1.(5
分)解:
显然
A0,A1,L
A5是两两不相容事件且A0A1L
A5S,
故
5
5
1P(S)P(A0
A1
L
A5)
P(Ai)P(A0)P(Ai)
i0
i1
5
1,P(Ai)
i
P(A0)
iP(A0)
16P(A0),
于是P(A0)
i1
16
16
,,,,
(1
分)
记上面的三个事件分别为
A,B,
则
P(A)
P(A0)
1
,,,,,,,,,,,,,
(2
分)
5
16
15
,,,,,,,,
(2
分)
P(B)P(
A)1
P(A)
i
0
16
i
1
2.(5分)解:
设事件A={3个代表中至少有一个女工},则A={3个代表全为男
工}。
(1
分)
因为P(A)
C73
7,
,,,,,,,,,,,,,,,,,
(2分)
C113
33
所以P(A)1P(A)1726。
,,,,,,,,,,,(2分)
3333
3.(10分)解:
记A={学生A知道正确答案},则A={学生A不知道正确答案}={乱猜答案},又记B={学生A答对},
则
P(B|
A)
1,
P
(B
|A1)。
,,,,
(2
分)
4
(1)根据全概率公式得
P(B)
PA(P)B(A|
P)
AP(B)A(|
)
p1
(1p
1
3p
1
,,,,
(4
分)
)
4
4
(2)根据贝叶斯公式
P(A|B)
P(A)P(B|A)
p1
4p
(4分)
P(B)
3p
1
3p
1
4
4.(10分)解:
由1
f(x)dx
ae
|x|dx
2
aexdx
2a可得a
。
0
2
(3分)
故f(x)
e|x|,
0,
x
。
2
由于F(x)
x
,,,,,,
(2
分)
f(x)dx,
当x
0时,F(x)
x
x
etdt
1ex;
,,,
(2
分)
f(t)dt
2
2
当x
0时,F(x)
x
0
etdt
x
etdt1
1e
x。
,
(2分)
f(t)dt
2
0
2
2
所以,
1ex,
x
0,
F(x)
2
,,,,,
(1
分)
1e
1
x,
x
0.
2
5.(10分)解:
(1)因为在Xx(x0)的条件下,Y在(0,x)内服从均匀分布,所以,
1
fY|X(y|Xx)x,
0yx,,,,,,,(
1分)
0,
其他.
因此,可用公式
当x0或
当x0且
fX(x)fY|X(y|x)f(x,y)求f(x,y)。
,(1分)
y
0
时,显然f(x,y)
0;,,,,(
1分),(1分)
y
0
时,
f(x,y)fX(x)fY|X(y|x)
2
xe
x
1,0yx,
2ex,0yx,,(2分)
x
0,
其他.
0,
其他.
因此,X,Y的联合概率密度为
f(x,y)
2e
x,
0
y
x,,,,,,,,,
(
1分)
0,
其他.
(2)fY(y)f(x,y)dx
2e
xdx,
y
0,e
y,y
0,
y
(4分)
0,
y
0
0,
y
0
6.(5分)解:
E(X)
1
x2
1
6
xf(x,y)dxdy
dx12x2ydy
6x6dx
0
0
0
7
(1分)
E(Y)
1
x2
1
,,,,
(
1分)
dx
12xy2dy
0
0
2
E(XY)
xyf(x,y)dxdy
1
x2
4
,,,,
1分)
dx
12x2y2dy
(
0
0
9
4
6
1
1
(
2分)
Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)
7
2
,,,,
9
63
7.(10分)解:
引入随机变量
X
1,
若第i号球装入第i号盒子中,
1,2,
n.,,(
2分)
,若第
号球未装入第
i
i
i
i
号盒子中,
0
则总的配对数X可表示成
X
X1
X2
Xn。
,,,,,
(
1分)
显然,P{Xi1}
1,P{Xi
0}
n1,i1,2,
n。
,(
2分)
n
n
因此,E{Xi}
1,i
1,2,
n,
,,,,,,
(
2分)
n
于是
E(X)E(X1
X2
Xn)
,,,,
(
3分)
E(X1)E(X2)
E(Xn)1
8.(5分)解:
设9
万名被保险人在一年内获得赔偿金的人数为
X,则
X~b(90000,
0.0003)
,,,,,
(1分)
保险公司一年内从此项业务得到的收益为
0.012
90000
3X
1080
3X(万元)
依题意,应求概率为
P{10803X954}PX42,,,,,,
(1分)
由棣莫弗-拉普拉斯定理得
PX42P
X900000.0003
4290000
0.0003
0.0003
0.9997
90000
0.0003
0.9997
90000
42
27
)(2.90)0.9981
(
26.9919
,,,,,
(2分)
即保险公司一年内从此项业务中至少获得收益954万元的概率达到0.9981.
,,,,,
(1分)
9.(10分)解:
(1)由于
E(X)
2x2exdx
x2exd(x)
0
0
x2de
x
0
,,,
(3分)
x2ex|0
[
0
2xdx]
2
2xe
xdx
2
0
即E(X)
2。
由此得
2
。
于是有据估计法得
E(X)
2
,,,,,,(2分)
X
(2)似然函数为
n
2xiexi
L()
L(x1,x2,
xn;)
i1
(3分)
n
n
xi
2n(
xi)ei1
xi0,i1,2,,n
i1
n
n
lnL()
2nL(
)
lnxi
xi.
i1
i
1
dlnL(
)
2n
n
xi.
i1
令2n
n
xi
0
,得到
的最大似然估计量为
i
1
2
,,,,,,
(2分)
X