初中1年级数学练习题第11单元.docx
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初中1年级数学练习题第11单元
初中1年级数学练习题第11单元
测试时间：
15分钟姓名_________测试成绩_________
1、有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
【解】：
处理成余数相同的，则888、518-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。
这样我们用总结的知识点可知：
任意两数的差肯定余0。
那么这个自然数是888-511=377的约数,又是888-656=232的约数，也是656-511=145的约数，因此就是377、232、145的公约数,所以这个自然数是29。
2、某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.
【解】：
“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
3、140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是.
【解】：
这样我们用总结的知识点可知：
任意两数的差肯定余0。
那么这个自然数是293-225=68的约数,又是225-140=85的约数，因此就是68、85的公约数,所以这个自然数是17。
所以2002除以17余13。
4、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15号是星期____.
【解】：
因为一周是7天，这样周日的日期应该是奇偶间隔的排列的，现在有3个日期是偶数说明中间夹的2个是奇数，这样这个月就有5个星期日，从第一个星期日到第五个星期日总共用了4×7+1=29天的，又因为第一个星期日和第五个星期日必须是偶数，所以第一个星期日只能是2号，所以15号是周一。
5、5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。
【解】：
题意相当于：
除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，这样我们根据总结知道都只能“凑缺”，所以都缺1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。
6、一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
【解】：
设后面这个两位数为ab，前面数字和为26除以3余2，所以补上的两位数数字和要除以3余2。
同理要满足除以4余2；八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求a=b+2，所以满足条件的只有86。
7、
（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?
（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?
【解】1、[
]=999个。
2、对于每一个三位数×××来说，在1×××、2×××、3×××和4×××这4个数中恰好有1个数的数字和能被4整除．所以从1000到4999这4000个数中，恰有1000个数的数字和能被4整除．
同样道理，我们可以知道600到999这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除，从200到599这400个数中恰有100个数的数字和能被4整除．
现在只剩下10到199这190个数了．我们还用一样的办法．160到199这40个数中，120到159这40个数中，60到88这40个数中，以及20到59这40个数中分别有10个数的数字和能被4整除．而10到19，以及100到1t9中则只有13、17、103、107、112和116这6个数的数字和能被4整除．
所以从10到4999这4990个自然数中，其数字和能被4整除的数有1000+100×2+10×4+6=1246个．
[方法二]：
解：
第一个能数字和能够被4整除的数是13，最后一个是4996，这中间每4位数就有一个能够满足条件，所以4996－13＝4983，4983÷4＝1245（个），而第一个也是能够满足的，所以正确答案是1245＋1＝1246（个）
或者就直接用4996－12＝4984，用4984÷4＝1246（个）
[拓展]：
1到9999的数码和等于多少？
第十一讲小升初专项训练-----数论综合
（二）
引言：
本讲主要介绍一下关于余数的数论问题并继续讨论一些数论的应用。
和余数有关的问题在各种杯赛中频繁出现，是一个非常重要的内容，下面先看一下这方面的基本知识。
【基础知识要点分析】
余数定理：
a：
两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
[讲解练习]：
7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。
b:
两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
[讲解练习]：
8÷3=…2，4÷3=…1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。
如果是（7-5）÷呢?
会出什么问题？
c:
两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
[讲解练习]：
7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2。
性质：
（1）带余除法：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。
用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜b
[讲解练习]：
两个整数相除得商数是12和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是____。
（2）同余定义：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为
a≡b（modm）（*）同余式（*）意味着（我们假设a≥b）a－b=mk，k是整数，即m|（a-b）
[讲解练习]：
一个大于10的数，除以5余1，除以6余1，除以9余1，问满足条件的最小自然树为____.
于是我们有下面的
（3）若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除
性质（3）非常有用，一定要熟练掌握。
下面是一些和同余有关的题目，这些题型都是考试经常出的，一定要掌握。
[讲解练习]：
从1～20中最多可以找出几个数，使任意两个数的差是9的倍数？
【典型题目解析】
题型一：
余数定理、性质的运用
【例1】（★★★）一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是______
【解】：
余数相同，我们可以利用余数定理，这样我们用总结的知识点可知：
任意两数的差肯定余0。
那么这个自然数是300-243=57的约数,又是243-205=38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的最大公约数是19,所以这个自然数是19。
【例2】（★★★）甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？
[思路]：
题中不知道余数是多少，所以我们能做的就是消去余数。
【解】：
设这个数为M，则603÷M=A1…r1
939÷M=A2…r2
393÷M=A3…r3
r1=2×r2,r2=2×r3,要消去余数r1,r2,r3,我们只能先把把余数处理成相同的，再两数相减。
这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4。
这样我们可以得到下面的式子：
603÷M=A1…r1
（939×2）÷M=A2…（r2×2）
（393×4）÷M=A3…（r3×4）
这样余数就处理成相同的。
最后两两相减消去余数，意味着能被M整除。
939×2-603=1275，393×4-939-=153
（1275，153）=51=3×17。
603，939，393这三个数有公约数3。
51÷3=17。
则A等于17。
题型二：
一个数除以多个数，得不同余数
一般解题步骤：
凑“多”相同，即把余数处理成相同条件：
余数与除数的和相同
凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同条件：
除数与余数的差相同
先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理”
【例3】（★★★）一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？
【解】：
根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11-8=13-10=3，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140。
【例4】（★★★）一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为____.
【解】：
根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7、9]=315，所以这个数就是315+8=323。
【例5】（★★★）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.
【解】：
根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：
3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数
152135
304270
4563105
6084140
………
找出除以7余4的除以5余3除以3余2
可以找出分别是：
606335
可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。
所以答案为：
158-105=53。
题型三：
余数和应用题相结合。
【例6】（★★★）在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。
将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。
问：
你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？
为什么？
【解】：
因为表中9个质数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍数，所以表中9个数之和除以3总是余1。
如果表中9个数变为相等，那么9个数的总和应能被3整除，这就得出矛盾！
所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9个相同的数。
【例17】（★★★）六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲，乙各自手中卡片上的数之和，一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡片上的数是几？
【解】：
甲，乙手中卡片上的数之和必是3的倍数。
六张卡片上的数分别除以3，依次余2，1，0，0，1，1，因此只有后5个数的和能被3整除，所以丙手中卡片上的数是1193。
【例8】（★★★★）甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。
参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念，那么拍完最后一张照片后，照相机里的胶卷还可拍____张照片（每个胶卷可拍36张照片）。
【解】：
每车坐36人，甲代表团余下的11人和乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车意味着乙代表团还剩下36-11=25人，这样我们可以知道甲团人数除以36余11，乙团人数除以36余25，现在甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念，意味着总共要拍的照片数目为：
甲团人数×乙团人数，每个胶卷可拍36张，所以胶卷用了若干卷后还要拍：
（甲团人数×乙团人数）÷36的余数，根据余数定理可知，（甲团人数×乙团人数）36的余数等于（11×25）÷36余23，这样总共还要拍23张，也就是说要可以拍36-23=13张。
[拓展]：
甲乙丙丁四个旅游团分别有游客69、85、93、97人，现把四个团分别进行分组，使每组有A名游客，已知甲乙丙三个团分成A人后所剩下的人相同，问丁团分成A人后还剩下几人?
【例9】．（★★★★）有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块.甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取走的糖的块数相同且为丁的2倍.问:
甲取走的一盒中有多少块奶糖？
[方法一]：
[思路]：
倍数和奇偶性讨论
解：
：
根据乙、丙取走的糖的块数相同且为丁的2倍，丁取走的为奇数，乙、丙取走的为偶数，且乙、丙分别加上丁的数量都应是3的倍数，9，17，24，28，30，31，33，44被3除的余数分别为：
0、2、0、1、0、1、0、2，17+24+33=30+44=74=2×（9+28），所以，甲取走的是31块的。
[方法二]：
余数运用
解：
已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍。
2+2+1=5，则乙、丙、丁三人取到的糖的块数的总和是5的倍数。
9+17+24+28+30+31+33+44=216。
216/5=43……1。
则甲取到的糖的块数的个位数字是1。
其中只有31个位是1。
所以甲走的一盒有31块奶
【例10】（★★★★）
在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图。
小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。
他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。
他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。
最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
【来源】第二届“华杯赛”复赛第4题
【解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：
A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…B孔的编号就是圆圈上的孔数。
每隔2孔跳一步，跳在1，4，7，10，…上。
最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1。
同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A,就意味着总孔数是7的倍数。
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。
这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除。
注意：
15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。
我们还可以看出，15的其他（小于7的）倍数加1都不能被7整除，而15×7=105已经大于100.7以上的倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是15×6+1=91。
【例11】、（★★★）在给定的圆周上有2000个点。
任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；......依次类推，直至在圆周上标出1993。
对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数。
问标有数1993的那个点上标出的最小数是多少？
[方法]：
找规律
[思路]：
解：
如果把这2000个点标上号，标上数1的点的编号是1，一直到2000。
由题意可知：
每一个标上数的点与前一个标上数的点的间隔是标上的数的大小。
例：
在某个数上标上的数是100，则这个数的编号除以2000的余数是上一个标上数的编号除以2000的余数加上100。
由这些编号的间隔数可构成一个公差是1的等差数列：
1，2，3，4，……1992，1993。
这个等差数列的和是标到1993时共经过的数的个数。
这个等差数列的和是1993×（1993+1）÷2=1987021。
1987021÷2000余数是1021。
则标上数1993的点的编号是1021。
n×（n+1）÷2=1021+2000×m其中m=0,1,2,……1993。
n的个位数字是8。
符合上面方程的所有整数解，就是编号是1021的点上标上的所有数。
最小的整数解是118。
标上1993的那个点上标出的最小数是118。
【例12】（★★★★★）是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，......，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同？
[思路]：
解：
首先，不同的6位数共有900000个，大于500000，所以有存在的可能；
其次，如果我们能使得500000个数的末尾6位数刚好是连续自然数的话，就能够满足要求了。
那么，如果A=1000000-1=999999，则：
2A=2×（1000000-1）=2000000-2，末尾6位为999998，3A=3×（1000000-1）=3000000-3，末尾6位为999997，......，nA=n（100000-1）=n×1000000-n，满足要求。
【例13】、（★★★★★）现有11块铁，每块的重量都是整数。
任取其中10块，都可以分成重量相等的两组，每组有5块铁。
试说明：
这11块铁每块的重量都相等。
[方法一]：
[思路]：
因为是11个数，先讨论奇偶性，再看取值。
解：
首先证明每块铁重量的奇偶性相同．假设存在甲乙两块铁重量的奇偶性不同，根据题意，除了甲以外的那10块铁可分成重量相等的两组，因此那10块铁的总重量必为偶数．若用甲铁块将那10块铁中的乙铁块换出来，则这新的10块铁的总重量将是奇数，从而不可能分成重量相等的两组，这与题目条件矛盾．因此，这11块铁重量的奇偶性必相同．
如果这11块铁的重量都是偶数，那么将它们的重量除以2作为它们新的重量．如果这11块铁的重量都是奇数，那么将它们的重量加1再除以2作为它们新的重量（注意如果这11
块铁新的重量相等，那么它们原来的重量也相等），那么这些新的重量仍满足题目的条件．于是利用前面的讨论，这些新的重量奇偶性也相同．
重复以上过程，最终我们得到这11块铁的重量都是1，从而这11块铁的原重量都相等．
[方法一]：
[思路]：
设数讨论取值的可能性
解：
假设11块铁的重量分别为a1,a2,a3,......,a11，
因为任取其中10块，都可以分成重量相等的两组，每组有5块铁，那么取a1~a10可以分成相等的两组各5块，用a11换其中的任意一块，仍能平分两组各5块，说明其中至少有一块和a11相同，设为a10；
同理，将a10、a11都放入取出的10块中，可得a9=a8，
继续不断的交换，同理可得a7=a6，a5=a4，a3=a2；
留下a1不取时，因为上面已经得到两两相等，必然符合，但因为用a1换下其中任何一块仍能满足，所以，
a1=a2=a3=a4=a5=a6=a7=a8=a9=a10=a11。
【课外知识】
中国剩余定理
我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题：
“今有物不知其数：
三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何．”这个问题一般称孙子问题．这个问题可译成：
求被3除余2，被5除余3，被7除余2的最小正整数．《孙子算经》中记载了这个问题的解法，有人将其解法编成歌诀：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．”它的意思是用3除的剩余数乘70，用5除的剩余数乘21，用7除的剩余数乘15，将所得的结果相加再减去105的倍数，即可得所求数．算式是2×70＋3×21＋2×15=233，233－105×2＝23，所以，最小的正整数解是23．这种解法，实际上是特殊的一次同余式组的求解定理．1801年，德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理．西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理
奇数和偶数
活动课上，黑熊老师笑着对大家说：
“我们来做个游戏好不好？
”
“好！
”小动物们齐声回答。
“请你们每位准备两张小纸条。
”黑熊老师清了清嗓子说。
小动物们不知道黑熊老师要他们做什么游戏，一个个兴奋的眼睛发亮，很快都把小纸条准备好了。
黑熊老师环视一下全班同学，说：
“请你们在两张小纸条上分别写一个奇数和一个偶数，写好后，两手各握一张。
不要给我也不要给你身边的同学看。
”
小动物们不久前刚学过关于奇数和偶数的知识，不一会儿，大家都完成了黑熊老师提出的要求。
“听着，”黑熊老师一字一句清晰地说道：
“你们各位都请将右手中的数乘2，左手中的数乘3，再把乘积相加。
不要算出声音来。
”
等小动物们一个个都算好了，黑熊老师又叫算出得数是奇数的小动物们排成一队；得数是偶数的排成一队。
小动物们都站好了，一个个感兴趣地看着黑熊老师，猜测着它下以步要它们做什么。
“好了！
”黑熊老师指着得数是奇数的那排小动物说：
“你们左手握的都是奇数。
”
它又指着另一排小动物说：
“你们左手握的都是偶数。
”
两排小动物们摊开手掌一看，可不是，黑熊老师猜得完全正确。
小动物们惊奇极了，忍不住纷纷问道：
“老师，您是怎么知道的？
”
黑熊老师于是分析道：
“
奇数×2＝偶数奇数×3＝奇数
偶数×2＝偶数偶数×3＝偶数
偶数＋偶数＝偶数偶数＋奇数＝奇数
左手是奇数时，奇数×3是奇数，奇数＋偶数（右手中的偶数×2），结果是奇数。
而如右手是奇数时，奇数×2成偶数，偶数＋偶数（左手中的偶数×3），结果是偶数。
这就是最后结果与左手中数字奇偶相同的原因，也即我这个猜法的根据。
”
小动物们恍然大悟……
小升初专项模拟测试题---数论
（二）
1．（★★★）已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，那么，这些自然数共有几个？
解：
2008被它除余数是10，因此该数是1998的约数且大于101998=2×3×3×3×37共有2×4×2=16个约数，其中比10小的有1，2，3，6，9共5个所以比10大的就有11个，因此这样的自然数共有11个。
2．（★★）现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。
余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：
1：
3：
2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。
【来源】南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第11题
【解】：
设大班共有a名小朋友。
由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:
3:
2，所以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254+186-210一定是a的倍数，即254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23是a的倍数。
同样，2×254-186=322=23×14=23×14=23×2×7也一定是a的倍数。
所以，a只能是23×2的因数。
但a﹥40,所以a=46。
此时254=46×5+24，210=46×3+72，186=46×3+48。
故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个。
3．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
试说明，所有幸运车票号码的和能被13整除。
.
解：
设幸运车票的号码为A，则号码为A′=999999-A的车票也是幸运的，并且A′≠A（因为999999是奇数），因而A+A′=1001×999=13×77×999能被13整除。
所以，所有幸运车票号码的和也能被13整除。
4．（★★★）某校师生为贫困地区捐款1995元，这个学校共有35名教师，14个教学班。
各班学生人数相同且多于30人不超过45人。
如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款________元。
解：
1995=3×5×7×19,设有x个班级，那么总人数是14x+35,又因为每班人数在30和45之间，所以总人数在455和665之间所以平均每人捐款3元。
，
5．（★★★）有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。
且这个三位数除以5余4，除以11余3。
这个三位数是___。
解：
首先个位数不是4就是9，又因为它是百位的3倍所以一定是9，那么百位就是3,又因为它被11除余3，因此十位是9
6.（★★★）如果1＝1！
，1×2＝2！
，1×2×3＝3！
……1×2×3×……×99×100＝100！
那么1！
+2！
+3！
+……+100！
的个位数字是多少？
解：
从5！
开始个位数字都是0了因此只需要计算前4个数,1！
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