整理第九章复杂应力状态强度问题.docx
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整理第九章复杂应力状态强度问题
（1）规划环境影响评价的分析、预测和评估内容。
四、安全预评价
《建设项目安全设施“三同时”监督管理暂行办法》（国家安全生产监督管理总局令第36号）第四条规定建设项目安全设施必须与主体工程“同时设计、同时施工、同时投入生产和使用”。
安全设施投资应当纳入建设项目概算。
并规定在进行建设项目可行性研究时，应当分别对其安全生产条件进行论证并进行安全预评价。
（三）环境价值的定义
（4）是否满足环境功能区划和生态功能区划标准。
环境影响评价，是指对规划和建设项目实施后可能造成的环境影响进行分析、预测和评估，提出预防或者减轻不良环境影响的对策和措施，进行跟踪监测的方法和制度。
（2）防护支出法
（4）跟踪评价的结论。
发现规划环境影响报告书质量存在重大问题的，审查时应当提出对环境影响报告书进行修改并重新审查的意见。
（2）生产、储存危险化学品（包括使用长输管道输送危险化学品）的建设项目；第八章复杂应力状态强度问题
题号页码
8-4.........................................................................................................................................................1
8-5.........................................................................................................................................................3
8-8.........................................................................................................................................................4
8-9.........................................................................................................................................................5
8-10.......................................................................................................................................................6
8-14.......................................................................................................................................................7
8-16.....................................................................................................................................................10
8-17.....................................................................................................................................................11
8-18.....................................................................................................................................................13
8-19.....................................................................................................................................................15
8-22.....................................................................................................................................................17
8-23.....................................................................................................................................................17
8-24.....................................................................................................................................................18
8-25.....................................................................................................................................................18
8-26.....................................................................................................................................................19
8-27.....................................................................................................................................................21
（也可通过左侧题号书签直接查找题目与解）
8-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力⎛r3，弹性常数E和∝均为已知。
（a）棱柱体轴向受压；
（b）棱柱体在刚性方模中轴向受压。
题8-4图
（a）解：
对于棱柱体轴向受压的情况（见题图a），三个主应力依次为
σ1=σ2=0，σ3=−σ
由此可得第三强度理论的相当应力为
σr3=σ1−σ3=σ
（a）
（b）解：
对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图b），可先取受力微体及坐标如
图8-4所示，然后计算其应力。
由图8-4可得
σy=−σ
根据刚性方模的约束条件，有
εx=
即
1[σ
Ex
−µ（σy
+σz
）]=0
σx=µ（σy+σz）
注意到
σz=σx
故有
σx=σz
=−µσ
1−µ
三个主应力依次为
σ1=σ2
=−µ
1−µ
σ，σ3
=−σ
由此可得其相当应力为
σr3
=σ1
−σ3
=1−2µσ
1−µ
（b）
比较：
按照第三强度理论，（a）、（b）两种情况相当应力的比值为
σ
r=r3（a）=
σr3（b）
1−µ
1−2µ
r>1，这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。
8-5图示外伸梁，承受载荷F=130kN作用，许用应力[⎛]=170MPa。
试校核梁的强度。
如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。
解：
1.内力分析
题8-5图
3
由题图可知，B+截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为
Fs=F=130kN，M
=Fl2
=130⋅103N⋅0.600m=7.80⋅104N⋅m
2．几何量计算
3
I=[0.122⋅0.280
z12
−5
−（0.122−0.0085）⋅（0.280−2⋅0.0137）
12
]m4=7.07⋅10−5m4
W=7.07⋅10
z0.140
m3=5.05⋅10−4m3
Sz（b）
=0.122⋅0.0137⋅（0.140−0.0137）m3=2.23⋅10−4m3=2S
2
z（a）
Sz,max
=[2.23⋅10−4+1⋅0.0085⋅（0.140−0.0137）2]m3=2.90⋅10−4m3
2
式中的足标b，系指翼缘与腹板的交界点，足标a系指上翼缘顶边中点。
三个可能的危险点
（a、b和c）示如图8-5。
3．应力计算及强度校核
点a的正应力和切应力分别为
M
σ==
7.80⋅104N
=1.545⋅108
Pa=154.5MPa
z
W5.05⋅10−4m2
3−4
FS
τ=sz（a）
=130⋅10
⋅1.115⋅10
N=1.496⋅107
Pa=14.96
MPa
Izt
7.07⋅10−5⋅0.0137m2
该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为
⎛r3=
⎛2+4⎜2=
154.52+4⋅14.962MPa=157.4MPa<[⎛]
点b的正应力和切应力分别为
σ=Myb
3
=7.80⋅10
⋅（0.140−0.0137）N=1.393⋅108
Pa=139.3MPa
z
I7.07⋅10−5m2
FS
τ=sz（b）
=130⋅10
⋅2.23⋅10−4
N=4.82⋅107
Pa=48.2
MPa
Izδ
7.07⋅10−5⋅0.0085m2
该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为
⎛r3=
139.32+4⋅48.22MPa=169.4MPa<[⎛]
点c处于纯剪切应力状态，其切应力为
FS
τ=sz,max
3
=130⋅10
⋅2.90⋅10−4
N=6.27⋅107
Pa=62.7
MPa
其相当应力为
Izδ
7.07⋅10−5⋅0.0085m2
⎛r3=2⎜
结论：
该梁满足强度要求。
=2⋅62.7MPa=125.4MPa
4．强度校核
依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为
σr3（a）=σ1−σ3=[155.9−（−1.44）]MPa=157.3MPa
σr3（b）=[154.4−（−15.05）]MPa=169.5MPa
σr3（c）=2τ=2⋅62.7
MPa=125.4
MPa
它们均小于许用应力，故知该梁满足强度要求。
8-8图示曲柄轴，承受载荷F=10kN作用。
试问当载荷方位角⎝为何值时，对截面
A-A的强度最为不利，并求相应的相当应力⎛r3。
解：
1.分析内力
题8-8图
由于A-A为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷F无需分解，可直接用以分析内力。
根据平衡关系，截面A-A上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为
Fs=F=10
kN，M
=Fl=10⋅103⋅0.070
N⋅m=700
N⋅m
T=Facosθ
由此可见，F的方位角θ对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当θ
取最大值，对截面A-A的强度最为不利，其值为
=0时扭矩
Tmax
2．计算相当应力
=Fa=10⋅103⋅0.240
N⋅m=2.40⋅103N⋅m
截面A-A上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为
σr3=
22
max
W
=32⋅
7002+（2.40⋅103）2N
π⋅0.0603m2
=1.179⋅108Pa=117.9MPa
（a）
由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面A-A上水平直径的左端点，
为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为
τ=τ+τ
=16Tmax+4⋅4Fs
12πd3
3
3πd2
3
=（16⋅2.40⋅10
π⋅0.0603
其相当应力为
+16⋅10⋅10）N
3π⋅0.0602m2
=（56.6+4.72）⋅106Pa=61.3
MPa
σr3=2τ=2⋅61.3MPa=122.6
MPa
（b）
比较式（a）和（b）可知，该轴真正的危险点是截面A-A上水平直径的左端点，其相当应力
如式（b）所示。
顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求σ
（ϕ）、τ（ϕ），再求σr3（ϕ）。
这里的ϕ
从截面A-A上左边水平半径量起，以顺钟向为正。
将σr3（ϕ）对ϕ求导，寻找其极值位置，找
到的极值位置是ϕ=0，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式（b）。
8-9图示某段杆的弯矩My与Mz图，它们均为直线，且其延长线分别与x轴相交于c
和d点。
试证明：
如果c,d点不重合，则该段杆的总弯矩M图必为凹曲线。
题8-9图
证明：
本题用几何法证明比较简便而直观。
证明要点如下：
1．将题设My图线和Mz图线画在图8-9（a）所示的三维坐标系中（图a中的直线e1f1和
e2f2）。
2．画总弯矩（合成弯矩）矢量M的矢端图e3f3（它为两个坐标平面的两个垂面e1e3f3f1
与e2e3f3f2的交线。
）
3．将矢端图e3f3向坐标平面MyOMz投影，得其投影图线ef。
ef直线上任一点与原点
O的连线，即代表某一截面总弯矩的大小（为清楚起见，参看图b）。
4．将M由大（Ma）到小（Mmin）、又由小到大（Mb）连续变化的函数关系画在平面坐标系xoM中，即成图（c）所示之凹曲线。
8-10图示齿轮传动轴，用钢制成。
在齿轮1上，作用有径向力Fy=3.64kN、切向力Fz=10kN；在齿轮2上，作用有切向力F'y=5kN、径向力F'z=1.82kN。
若许用应力
[⎛]=100MPa，试根据第四强度理论确定轴径。
题8-10图
解：
将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图8-10（a）所示。
内力图（Mz、My和T）
分别示如图（b）、（c）和（d）。
由内力图和8-9题所证明的结论可知，截面B和C−都可能为危险面。
对于截面B，总弯矩为
MB=
10002+3642
N⋅m=1064
N⋅m
（a）
对于截面C−，总弯矩为
MC－=
2272+5682
N⋅m=612
N⋅m
（b）
比较式（a）和（b）可知，截面B最危险。
由第四强度理论的强度条件
得该轴的直径为
σr4=
M2+0.75T232
=
W
M2+0.75T2
πd3
≤[σ]
32
d≥3
M2+0.75T2
=332
10642
+0.75⋅10002
m
π[σ]
π⋅100⋅106
=5.19⋅10−2m=51.9mm
8-14图示圆截面钢轴，由电机带动。
在斜齿轮的齿面上，作用有切向力Ft=1.9kN、
径向力Fr=740N以及平行于轴线的外力F=660N。
若许用应力[⎛]=160MPa，试根据第四强
度理论校核轴的强度。
解：
1.外力分析
题8-14图
将力F、Fr、Ft向轴AD的轴线简化，得该轴的计算简图如图8-14（a）所示。
图中，
MzC
=FR=660⋅0.100N⋅m=66.0N⋅m
t
MA=MC
=FR=1.9⋅103⋅0.100
N⋅m=190.0N⋅m
2．内力分析
根据图（a），可画轴力、扭矩及弯矩图如图（b）、（c）、（d）和（e）所示。
由内力图可知，截面C−为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为
FN=F=660N（压），T
=190.0
N⋅m
M=M2+M2=
57.02+55.22
N⋅m=79.3
N⋅m
yz
3．强度校核
危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为
σ=M+FN
=（32⋅79.3+
4⋅660）N
WAπ⋅0.0253
π⋅0.0252m2
=5.30⋅107Pa=53.0
MPa（压）
T
τ==
Wp
16⋅190.0N
π⋅0.0253m2
=6.19⋅107Pa=61.9
MPa
将其代入第四强度理论的强度条件，有
σr4=
σ2+3τ2=
53.02+3⋅61.92MPa=119.6MPa<[σ]
可见，该轴满足强度要求。
8-16图示等截面刚架，承受载荷F与F'作用，且F'=2F。
试根据第三强度理论确定F的许用值[F]。
已知许用应力为[⎛]，截面为正方形，边长为a，且a=l/10。
解:
1.寻找危险面
题8-16图
为了寻找危险面，首先需画出内力图。
在图8-16（a）所示坐标下，由F产生的内力示如图（b）和（c）；由F′产生的内力示如图（d）、（e）和（f）。
从内力图上不难找到可能的危险面有两个：
截面A和截面C+。
2．确定F的许用值
截面A为弯、拉组合（危险点处于单向应力状态），由强度条件
σmax
得
=6⋅4Fl+F
a3a2
=241F≤[σ]
a2
2
F≤[σ]a
=4.15⋅10−3[σ]a2=4.15⋅10−5[σ]l2
241
（a）
截面C+为弯（有My、Mz）、拉、扭组合，可能的危险点为d和e（见图g），点f的
扭转切应力虽然与点d的一样大，但其弯曲正应力只是点d的一半，故可将它排除在外。
对于点d，正应力和切应力依次为
6⋅2FlFF
σd=a3
+=121
a2a2
τd=
T
αhb2
=2Fl
0.208a3
=96.2F
a2
由第三强度理论的强度条件
22F22F
σr3=
得
σd+4τd=a2
121
+4⋅96.2
=227≤[σ]
a2
F≤4.41⋅10−3[σ]a2=4.41⋅10−5[σ]l2
对于点e，切应力为零，由弯、拉组合（点e处于单向应力状态）的强度条件
（b）
σ=6⋅2Fl+6⋅Fl+F
=181F
≤[σ]
maxa3
得
a3a2a2
F≤5.52⋅10−3[σ]a2=5.52⋅10−5[σ]l2
比较式（a）、（b）和（c），最后确定F的许用值为
[F]=4.15⋅10−5[σ]l2
（c）
8-17图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷F作用。
已知圆环轴线的半径为R，截面的直径为d，材料的许用应力为[⎛]，试根据第三强度理论确定载荷F的许
用值。
解：
1.分析内力
题8-17图
本题为反对称问题，可取半个圆环来分析。
例如取右半圆环，示如图8-17。
由图可得
M（ϕ）=FRsinϕ，T（ϕ）=FR（1−cosϕ）
2．求相当应力
根据第三强度理论，截面ϕ危险点处的相当应力
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