湖南省怀化市中考数学试题及参考答案.docx

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湖南省怀化市中考数学试题及参考答案

2019年湖南省怀化市中考数学试卷

一、选择题：

每小题4分，共40分

1．（﹣2）2的平方根是（　　）

A．2B．﹣2C．±2D．

2．某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（　　）

A．平均数B．中位数C．方差D．众数

3．下列计算正确的是（　　）

A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2

C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1D．（x﹣1）2=x2﹣1

4．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

5．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（　　）

A．PC=PDB．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPOD．OC=OD

6．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）

A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）

C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）

8．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（　　）

A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm

9．函数y=

中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1B．x＞1C．x≥1且x≠2D．x≠2

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，AC=6cm，则BC的长度为（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分

11．已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于　　　　　　．

12．旋转不改变图形的　　　　　　和　　　　　　．

13．已知点P（3，﹣2）在反比例函数y=

（k≠0）的图象上，则k=　　　　　　；在第四象限，函数值y随x的增大而　　　　　　．

14．一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其他没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是　　　　　　．

三、解答题：

本大题共8小题，每小题8分，共64分

15．计算：

20160+2|1﹣sin30°|﹣（

）﹣1+

．

16．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？

17．如图，已知AD=BC，AC=BD．

（1）求证：

△ADB≌△BCA；

（2）OA与OB相等吗？

若相等，请说明理由．

18．已知一次函数y=2x+4

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；

（2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；

（3）在

（2）的条件下，求出△AOB的面积；

（4）利用图象直接写出：

当y＜0时，x的取值范围．

19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）请你判断

（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

20．甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：

若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．

（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；

（2）求出现平局的概率．

21．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：

△AEH∽△ABC；

（2）求这个正方形的边长与面积．

22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移

个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

2019年湖南省怀化市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：

每小题4分，共40分

1．（﹣2）2的平方根是（　　）

A．2B．﹣2C．±2D．

【解答】解：

∵（﹣2）2=4，

∴4的平方根是：

±2．

故选：

C．

2．某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（　　）

A．平均数B．中位数C．方差D．众数

【解答】解：

39个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有19个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．

故选B．

3．下列计算正确的是（　　）

A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2

C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1D．（x﹣1）2=x2﹣1

【解答】解：

A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；

B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；

C、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；

D、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误；

故选：

C．

4．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

【解答】解：

∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：

A．

5．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（　　）

A．PC=PDB．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPOD．OC=OD

【解答】解：

∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，

∴PC=PD，故A正确；

在Rt△OCP与Rt△ODP中，

，

∴△OCP≌△ODP，

∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．

不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．

故选B．

6．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

去括号，得：

3x﹣3≤5﹣x，

移项、合并，得：

4x≤8，

系数化为1，得：

x≤2，

∴不等式的非负整数解有0、1、2这3个，

故选：

C．

7．二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）

A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）

C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）

【解答】解：

∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，

∴函数图象开口向上，

∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．

故选A．

8．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（　　）

A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm

【解答】解：

等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，

当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；

当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．

故选C．

9．函数y=

中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1B．x＞1C．x≥1且x≠2D．x≠2

【解答】解：

依题意得：

x﹣1≥0且x﹣2≠0，

解得x≥1且x≠2．

故选：

C．

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，AC=6cm，则BC的长度为（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

【解答】解：

∵sinA=

=

，

∴设BC=4x，AB=5x，

又∵AC2+BC2=AB2，

∴62+（4x）2=（5x）2，

解得：

x=2或x=﹣2（舍），

则BC=4x=8cm，

故选：

C．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分

11．已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于　

cm　．

【解答】解：

设扇形的弧长为lcm，

∵扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，

∴

l×6=10π，解得l=

cm．

故答案为：

cm．

12．旋转不改变图形的　形状　和　大小　．

【解答】解：

旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，

故答案为：

形状，大小．

13．已知点P（3，﹣2）在反比例函数y=

（k≠0）的图象上，则k=　﹣6　；在第四象限，函数值y随x的增大而　增大　．

【解答】解：

∵点P（3，﹣2）在反比例函数y=

（k≠0）的图象上，

∴k=3×（﹣2）=﹣6．

∵k=﹣6＜0，

∴反比例函数y=

的图象在第二、四象限，且在每个象限内均单增，

∴在第四象限，函数值y随x的增大而增大．

故答案为：

﹣6；增大．

14．一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其他没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是　

　．

【解答】解：

∵红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，

∴球的总数=3+4+7+2=16，

∴摸到黑色球的概率=

．

故答案为：

．

三、解答题：

本大题共8小题，每小题8分，共64分

15．计算：

20160+2|1﹣sin30°|﹣（

）﹣1+

．

【解答】解：

20160+2|1﹣sin30°|﹣（

）﹣1+

=1+2×|1﹣

|﹣3+4

=1+2×

+1

=1+1+1

=3．

16．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？

【解答】解：

设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，

根据题意得：

，

解得；

；

答：

笼子里鸡有18只，兔有12只．

17．如图，已知AD=BC，AC=BD．

（1）求证：

△ADB≌△BCA；

（2）OA与OB相等吗？

若相等，请说明理由．

【解答】

（1）证明：

∵在△ADB和△BCA中，

，

∴△ADB≌△BCA（SSS）；

（2）解：

OA=OB，

理由是：

∵△ADB≌△BCA，

∴∠ABD=∠BAC，

∴OA=OB．

18．已知一次函数y=2x+4

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；

（2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；

（3）在

（2）的条件下，求出△AOB的面积；

（4）利用图象直接写出：

当y＜0时，x的取值范围．

【解答】解：

（1）当x=0时y=4，当y=0时，x=﹣2，则图象如图所示

（2）由上题可知A（﹣2，0）B（0，4），

（3）S△AOB=

×2×4=4，

（4）x＜﹣2．

19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）请你判断

（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

【解答】解：

（1）如图所示，⊙P为所求的圆；

（2）BC与⊙P相切，理由为：

过P作PD⊥BC，交BC于点P，

∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，

∴PD=PA，

∵PA为⊙P的半径．

∴BC与⊙P相切．

20．甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：

若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．

（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；

（2）求出现平局的概率．

【解答】解：

（1）画树状图得：

则共有9种等可能的结果；

（2）∵出现平局的有3种情况，

∴出现平局的概率为：

=

．

21．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：

△AEH∽△ABC；

（2）求这个正方形的边长与面积．

【解答】

（1）证明：

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC．

（2）解：

如图设AD与EH交于点M．

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四边形EFDM是矩形，

∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，

∵△AEH∽△ABC，

∴

=

，

∴

=

，

∴x=

，

∴正方形EFGH的边长为

cm，面积为

cm2．

22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移

个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．

【解答】解：

（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得

，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣

x2+

x+5；

（2）∵y=﹣

x2+

x+5，

∴抛物线顶点坐标为（1，

），

∴当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移

个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），

设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得

，解得

，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，

令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，

∵新抛物线的顶点M在△ABC内，

∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，

即n的取值范围为0＜n＜3；

（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，

由题意可知OB=OC=5，

∴∠CBA=45°，

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，

∴AD=PD，

在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=

，

设PD=AD=m，则CD=AC+AD=

+m，

∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，

∴△COA∽△CDP，

∴

=

=

，即

=

=

，

由

=

可求得m=

，

∴

=

，解得PC=17；

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，

如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，

则∠OP′A=∠OPA，

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，

∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，

综上可知PC的长为7或17．