第二章第十节导数在研究函数中的应用.docx

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第二章第十节导数在研究函数中的应用

第十节　导数在研究函数中的应用

1．函数的导数与单调性的关系

函数y＝f（x）在某个区间内可导，则

（1）若f′（x）＞0，则f（x）在这个区间内___________；

（2）若f′（x）＜0，则f（x）在这个区间内___________；

（3）若f′（x）＝0，则f（x）在这个区间内是__________．

2．函数的极值与导数

（1）函数的极小值与极小值点

若函数f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′（a）＝0，而且在x＝a附近的左侧__________，右侧____________，则a点叫函数的极小值点，f（a）叫函数的极小值．

（2）函数的极大值与极大值点：

若函数f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值_________，且f′（b）＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b点叫函数的极大值点，f（b）叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．

3．函数的最值与导数

（1）函数f（x）在[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．

（2）求y＝f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤：

①求函数y＝f（x）在（a，b）内的________．

②将函数y＝f（x）的各极值与_______________________比较，其中_______的一个是最大值，______的一个是最小值．

1．f′（x）＞0是f（x）在（a，b）内单调递增的充要条件吗？

【提示】　函数f（x）在（a，b）内单调递增，则f′（x）≥0，f′（x）＞0是f（x）在（a，b）内单调递增的充分不必要条件．

2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

它是可导函数在该点取得极值的什么条件？

1．当x＞0时，f（x）＝x＋

的单调减区间是（　　）

A．（2，＋∞）B．（0，2）

C．（

，＋∞）D．（0，

）

2．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图2－11－1所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

3．函数f（x）＝

x2－lnx的最小值（　　）

A.

B．1C．不存在D．0

4．设函数f（x）＝xex，则（　　）

A．x＝1为f（x）的极大值点B．x＝1为f（x）的极小值点

C．x＝－1为f（x）的极大值点D．x＝－1为f（x）的极小值点

设函数f（x）＝ex－ax－2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a＝1，k为整数，且当x>0时，（x－k）f′（x）＋x＋1>0，求k的最大值．

【思路点拨】　

（1）分a≤0和a＞0两种情况解不等式f′（x）＞0与f′（x）＜0.

（2）分离参数k，转化为恒成立问题求解．

1．解答本题

（2）时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

2．

（1）可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是：

对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒为零．

（2）由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．

已知函数f（x）＝x＋

＋lnx（a≥0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，求a的取值范围．

设f（x）＝

，其中a为正实数．

（1）当a＝

时，求f（x）的极值点；

（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

【思路点拨】　

（1）当a＝

时，求f′（x）＝0的根，然后利用极值与导数的关系判定；

（2）转化为判定f′（x）不变号满足的不等式，求a的范围．

1．可导函数y＝f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0，且在x0左侧与右侧f′（x）的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．

2．若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

3．本题第

（2）问求解的关键是转化，函数与方程，方程与不等式相互转化．

已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋b（a，b∈R）．

（1）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；

（2）当a＜0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f（x）的解析式．

已知函数f（x）＝ax2＋1（a>0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2＝4b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，－1]上的最大值．

【审题视点】　

（1）求出两条切线方程比较系数求解．

（2）讨论极值点与区间（－∞，－1]的关系，从而确定最大值．

1．本题

（2）中区间确定，但函数解析式不确定，因此应讨论每个极值点与区间的关系，求解时可画出每一类情况的大致图象，数形结合求解．

2．求函数f（x）在[a，b]上的最值的步骤如下：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

已知函数f（x）＝（x－k）2e

.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若对于任意的x∈（0，＋∞），都有f（x）≤

，求k的取值范围．

函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．

1.f′（x）＞0在（a，b）上成立，是f（x）在（a，b）上单调递增的充分不必要条件．

2．对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；

2．f′（x0）＝0时，x0不一定是极值点；

3．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．

从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点是利用导数研究函数的单调性，求极（最）值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，同时应注意与导数有关的创新题．

创新探究之二　导数在比较大小中的创新应用

设a>0，b>0，e是自然对数的底数（　　）

A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b

B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a

C．若ea－2a＝eb－3b，则a>b

D．若ea－2a＝eb－3b，则a

创新点拨：

（1）背景创新，已知等式，判断不等式是否成立，体现了“等”与“不等”关系的相互转化．

（2）解法创新，从等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断a、b的关系，体现了转化与化归的思想．

应对措施：

（1）从等式中寻找不等关系，为构造函数创造了条件．

（2）利用函数的单调性判断不等关系是常用的方法，当函数关系不明确时，构造函数则是解题的关键．

1．函数y＝

x2－lnx的单调递减区间为（　　）

A．（－1，1]　　　　　　　B．（0，1]

C．[1，＋∞）D．（0，＋∞）

2．设函数f（x）＝aex＋

＋b（a>0）．

（1）求f（x）在[0，＋∞）内的最小值；

（2）设曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝

x，求a，b的值．