高中数学人教版选修21同步培优作业解析含答案第二章圆锥曲线与方程 212 求曲线的方程.docx

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高中数学人教版选修21同步培优作业解析含答案第二章圆锥曲线与方程212求曲线的方程

2.1.2　求曲线的方程

[学习目标]

1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.

2.掌握求轨迹方程的几种常用方法.

知识点一　坐标法和解析几何

借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程f（x，y）＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法.用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.

知识点二　解析几何研究的主要问题

（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；

（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.

知识点三　求曲线的方程的一般步骤

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p（M）}；

（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；

（4）化方程f（x，y）＝0为最简形式；

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

[思考]　

（1）求曲线的方程的步骤是否可以省略？

（2）求曲线的方程和求轨迹一样吗？

答案　

（1）可以省略.如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明.另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程.

（2）不一样.若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.

题型一　直接法求曲线方程

例1　动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－，求动点M的轨迹方程.

解　如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（－a,0），B（a,0）.

设M（x，y）为轨迹上任意一点，则kMA＝，kMB＝（x≠±a）.

∵kMA·kMB＝－，

∴·＝－，

化简得：

x2＋2y2＝a2（x≠±a）.

∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2（x≠±a）.

反思与感悟　直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p（M）}直接翻译成x，y的形式F（x，y）＝0，然后进行等价变换，化简为f（x，y）＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少.

跟踪训练1　已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A（－1,0），点B（1,0），求满足条件的点C的轨迹方程.

解　如图，设C（x，y），

则＝（x＋1，y），＝（x－1，y）.

∵∠C为直角，∴⊥，即·＝0.

∴（x＋1）（x－1）＋y2＝0.

化简得x2＋y2＝1.

∵A、B、C三点要构成三角形，

∴A、B、C三点不共线，∴y≠0.

∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1（y≠0）.

题型二　定义法求曲线方程

例2　已知圆C：

（x－1）2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.

解　如图，设OQ为过O点的一条弦，P（x，y）为其中点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为（，0）.

∵∠OPC＝90°，

∴动点P在以点M（，0）为圆心，OC为直径的圆上，

由圆的方程得（x－）2＋y2＝（0

反思与感悟　如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.

跟踪训练2　已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程.

解　作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知

|OM|＝|AB|＝3.

所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，

故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.

题型三　代入法求曲线方程

例3　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，点M和定点B（3，0）连线的中点为P，求点P的轨迹方程.

解　设P（x，y），M（x0，y0），

∵P为MB的中点，∴　

即

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，

∴（2x－3）2＋4y2＝1.

∴P点的轨迹方程为（2x－3）2＋4y2＝1.

反思与感悟　代入法求轨迹方程就是利用所求动点P（x，y）与相关动点Q（x0，y0）坐标间的关系式，且Q（x0，y0）又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标（x，y）表示相关动点Q的坐标（x0，y0），即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程.

跟踪训练3　已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A（0，0），B（6,0），顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程.

解　设G（x，y）为△ABC的重心，顶点C的坐标为（x′，y′），则由重心坐标公式，得

所以

因为顶点C（x′，y′）在曲线y＝x2＋3上，

所以3y＝（3x－6）2＋3，

整理，得y＝3（x－2）2＋1.

故点M的轨迹方程为y＝3（x－2）2＋1.

求曲线方程忽略限制条件致错

例4　直线l：

y＝k（x－5）（k≠0）与圆O：

x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.

错解　设M（x，y），易知直线恒过定点P（5,0），

再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，

∴x2＋y2＋（x－5）2＋y2＝25，

整理得（x－）2＋y2＝.

正解　设M（x，y），易知直线恒过定点P（5,0），

再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，

∴x2＋y2＋（x－5）2＋y2＝25，

整理得（x－）2＋y2＝.

∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分.

解方程组

得两曲线交点的横坐标为x＝，

故点M的轨迹方程为（x－）2＋y2＝（0≤x<）.

易错警示　

错误原因

纠错心得

错解中未注意到点M应在圆内，故所求的轨迹应为圆内的部分，此时应考虑0≤x<.

求曲线方程时，要注意准确确定范围，能挖掘出题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免考虑不全面而致错.

1.已知等腰三角形ABC底边两端点是A（－，0），B（，0），顶点C的轨迹是（　　）

A.一条直线B.一条直线去掉一点

C.一个点D.两个点

答案　B

解析　注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉.

2.到点（－1,0）与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为（　　）

A.x2＝－4y＋4B.y2＝－4x＋4

C.x2＝－8y＋8D.y2＝－8x＋8

答案　D

解析　由已知得＝|x－3|，

变形为：

y2＝－8x＋8，故选D.

3.下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的点是（　　）

A.（2，－2）B.（4，－3）

C.（3,10）D.（－2,5）

答案　C

解析　依次把四个选项代入x2－xy＋2y＋1，当x＝3，y＝10时，x2－xy＋2y＋1＝0.故选C.

4.在第四象限内，到原点的距离为2的点M的轨迹方程是（　　）

A.x2＋y2＝4B.x2＋y2＝4（x>0）

C.y＝－D.y＝－（0

答案　D

解析　设M（x，y），由|MO|＝2得，x2＋y2＝4，

又∵点M在第四象限，∴y＝－（0

5.设A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是__________________.

答案　（x－1）2＋y2＝2

解析　圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为B（1,0），半径r＝1，

则|PB|2＝|PA|2＋r2.

∴|PB|2＝2.

∴动点P的轨迹方程为：

（x－1）2＋y2＝2.

1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.

2.一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x，y），而不要设成（x1，y1）或（x′，y′）等.

3.方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f（x，y）＝0化成x，y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点.

4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：

求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.

一、选择题

1.已知动点P到点（1，－2）的距离为3，则动点P的轨迹方程是（　　）

A.（x＋1）2＋（y－2）2＝9B.（x－1）2＋（y＋2）2＝9

C.（x＋1）2＋（y－2）2＝3D.（x－1）2＋（y＋2）2＝3

答案　B

解析　设P（x，y），由题设得＝3，

∴（x－1）2＋（y＋2）2＝9.

2.点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）

A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1

B.（x－2）2＋（y－1）2＝1

C.（x＋4）2＋（y－2）2＝4

D.（x＋2）2＋（y－1）2＝1

答案　A

解析　设中点的坐标为（x，y），则相应圆x2＋y2＝4上的点的坐标为（2x－4,2y＋2），

所以（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，

即（x－2）2＋（y＋1）2＝1，故选A.

3.在△ABC中，若B，C的坐标分别是（－2,0）、（2,0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（　　）

A.x2＋y2＝3B.x2＋y2＝4

C.x2＋y2＝9（y≠0）D.x2＋y2＝9（x≠0）

答案　C

解析　易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.所以选C.

4.若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于（　　）

A.±3B.0

C.±2D.一切实数

答案　A

解析　由得交点（0，－k），

将点（0，－k）代入x2＋y2＝9中得k＝±3.

5.已知A（－1,0），B（2,4），△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是（　　）

A.4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0

B.4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0

C.4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0

D.4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0

答案　B

解析　由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设点C的坐标为（x，y），则×5×＝10，

即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.

6.已知两定点A（－2,0），B（1,0），如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（　　）

A.πB.4πC.8πD.9π

答案　B

解析　设P点的坐标为（x，y），则（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝4，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.

7.若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q（0，－1）连线的中点的轨迹方程是（　　）

A.y＝2xB.y2＝2x

C.y＝4x2D.x＝4y2

答案　C

解析　设PQ的中点为M（x，y），P（x0，y0），

则∴

又∵点P在y＝2x2＋1上，

∴y0＝2x＋1，

即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程.

二、填空题

8.以（5,0）和（0,5）为端点的线段的方程是__________________.

答案　x＋y－5＝0（0≤x≤5）

解析　由截距式可得直线为＋＝1，则线段方程为x＋y－5＝0（0≤x≤5）.

9.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，－1），点B在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，则点M的轨迹方程是_