九年级数学下册人教版同步测试281 锐角三角函数.docx
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九年级数学下册人教版同步测试281锐角三角函数
2019-2020年九年级数学下册（人教版）同步测试：
28.1锐角三角函数
28.1__锐角三角函数__
第1课时 正弦
1．如图28－1－1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ C ）
图28－1－1
A. B. C. D.
2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ A ）
A．不变B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
3．如图28－1－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为（ C ）
图28－1－2
A.B.C.D．1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝（ A ）
A．15B．12C．9D．6
【解析】AB＝＝＝15，选A.
5．如图28－1－3所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ B ）
图28－1－3
A.B.C.D.
6．如图28－1－4，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα的值是（ D ）
图28－1－4
A.B.C.D.
【解析】OP＝＝5，∴sinα＝.故选D.
7．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB＝____．
【解析】由sinA＝可得＝，故可设BC＝2a，AB＝5a，由勾股定理求得AC＝a，再由正弦定义求得sinB＝＝＝.
8.如图图28－1－5，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC＝7，AB＝4，则sinC的值为____．
图28－1－5
9．Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝15，b＝8，求sinA＋sinB.
解：
由勾股定理有c＝＝＝17，
于是sinA＝，sinB＝，
所以sinA＋sinB＝＋＝.
图28－1－6
10．如图28－1－6所示，△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝2，求AB，BC的长．
解：
∵sinA＝，∴＝，∴AB＝3BC.
∵AC2＋BC2＝AB2，∴22＋BC2＝（3BC）2，
∴BC＝，∴AB＝.
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于（ B ）
A. B. C. D.
12．如图28－1－7，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE＝6cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是__60__cm2.
图28－1－7
【解析】在Rt△ADE中，sinA＝，
∴AD＝＝＝10（cm），∴AB＝AD＝10cm，
∴S菱形ABCD＝DE·AB＝6×10＝60（cm2）．
13．如图28－1－8，⊙O的半径为3，弦AB的长为4，求sinA的值．
图28－1－8
第13题答图
【解析】要求sinA的值，必将∠A放在直角三角形中，故过O作OC⊥AB于C，构造直角三角形，然后根据正弦的定义求解．
解：
过点O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，
则有AC＝BC.∵AB＝4，∴AC＝2.
在Rt△AOC中，OC＝＝＝，∴sinA＝＝.
14．如图28－1－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，求DE.
图28－1－9
解：
∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝＝8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：
DE＝.
15．如图28－1－10，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于点E，已测得sin∠DOE＝.
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
图28－1－10
解：
（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24m，
∴ED＝CD＝12m.
在Rt△DOE中，sin∠DOE＝＝，
∴OD＝13m.
（2）OE＝＝＝5（m），
∴将水排干需5÷0.5＝10（小时）．
16．如图28－1－11，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
图28－1－11
解：
（1）过点O作OD⊥BC于点D，连接OC，OB.
因为BC＝2，
所以CD＝BC＝.
又因为OC＝2，
所以sin∠DOC＝＝，
所以∠DOC＝60°，
所以∠BOC＝2∠DOC＝120°，
所以∠BAC＝∠BOC＝60°.
（2）因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC的面积最大，即点A是的中点时，△ABC的面积最大，
此时＝，所以AB＝AC.
又因为∠BAC＝60°，
所以△ABC是等边三角形．
连接AD，易证AD是△ABC的高．
在Rt△ADC中，AC＝BC＝2，CD＝，
所以AD＝＝＝3，
所以△ABC面积的最大值为×2×3＝3.
第2课时 锐角三角函数
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是（ C ）
A. B. C. D.
2.如图28－1－12，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（ B ）
图28－1－12
A.B.
C.D.
3．如图28－1－13是教学用直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为（ C ）
A．30cmB．20cm
C．10cmD．5cm
【解析】BC＝AC·tan∠BAC＝30×＝10（cm）．
图28－1－13
图28－1－14
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则AC∶BC∶AB＝（ A ）
A．3∶4∶5B．5∶3∶4
C．4∶3∶5D．3∶5∶4
【解析】由cosB＝＝，设BC＝4x，AB＝5x，
则AC＝＝＝3x，
∴AC∶BC∶AB＝3x∶4x∶5x＝3∶4∶5，故选A.
5．如图28－1－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为（ A ）
A．4B．2
C.D.
【解析】∵cosB＝，∴＝.∵AB＝6，∴BC＝×6＝4，故选A.
6．如图28－1－15，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tanα等于（ C ）
图28－1－15
A.B.C.D.
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，则sinB＝____，cosB＝____，sinA＝____，cosA＝____，tanA＝____，tanB＝____．
【解析】AB＝＝＝10.
sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，
sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝，tanB＝＝＝.
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：
①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是__②③④__．（只需填上正确结论的序号）
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则Rt△ABC的面积为__24__．
10．
（1）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝5，求sinA，cosA，tanA.
（2）在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，求sinA，cosB，tanA.
解：
（1）由勾股定理，知AC＝＝＝，
∴sinA＝＝，tanA＝＝＝，
cosA＝＝.
（2）设BC＝5k，CA＝12k，AB＝13k.
∵BC2＋CA2＝25k2＋144k2＝169k2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，
∴sinA＝＝，cosB＝＝，tanA＝＝.
11．
（1）若∠A为锐角，且sinA＝，求cosA，tanA.
（2）已知如图28－1－16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求∠B的正弦、余弦值．
图28－1－16
解：
（1）设在△ABC中，∠C＝90°，∠A为已知锐角，∵sinA＝＝，设a＝3k，c＝5k，∴b＝＝＝4k，
∴cosA＝＝＝，tanA＝＝＝.
（2）∵∠C＝90°，tanA＝＝，
∴设BC＝x，AC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinB＝＝＝，
cosB＝＝＝.
12．如图28－1－17，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是（ C ）
A.B.C.D.
图28－1－17
图28－1－18
13．如图28－1－18，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上一点（不与点A，B重合），则cosC的值为____．
【解析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，
可得AD为⊙O直径，故∠ABD＝90°.
∵⊙O的半径为5，弦AB＝6，
∴BD＝＝＝8.∵∠D＝∠C，
∴cosC＝cosD＝＝＝.
14．如图28－1－19，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．
图28－1－19
解：
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BCD＝90°，
∠B＋∠A＝90°，
∴∠BCD＝∠A.
∵AB＝10，AC＝8，
∴cos∠BCD＝cosA＝＝＝.
15．已知α为锐角，且tanα＝2，求的值．
【解析】根据锐角三角函数的定义，结合图形设参数即可求出各边的比，从而得出sinα、cosα的值进行计算．
解：
如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，
设AC＝k，BC＝2k，则∠A＝α.
∵AB＝＝
＝k，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
∴＝＝.
16．如图28－1－20，定义：
在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即cotα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）cot30°＝________；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值．
图28－1－20
解：
（1）
（2）∵tanA＝＝，∴cotA＝＝.
第3课时 特殊角三角函数值
1.3tan30°的值等于（ A ）
A.B．3
C.D.
2.计算6tan45°－2cos60°的结果是（ D ）
A．4B．4
C．5D．5
3．如图28－1－21，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为（ C ）
A.B.
C.D．1
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴sinB＝.
图28－1－21
图28－1－22
4．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是（ C ）
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
【解析】∵sinA＝cosB＝，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．
5．如图28－1－22，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24m，则该树高为（ A ）
A．8mB．12m
C．12mD.12m
【解析】树高为24×tan30°＝24×＝8（m）．
6．
（1）cos30°的值是____．
（2）计算：
sin30°·cos30°－tan30°＝__－__（结果保留根号）．
【解析】原式＝×－＝－.
（3）cos245°＋tan30°·sin60°＝__1__．
【解析】cos245°＋tan30°·sin60°＝＋×＝＋＝1.
7．根据下列条件，求出锐角A的度数．
（1）sinA＝，则∠A＝__60°__；
（2）cosA＝，则∠A＝__60°__；
（3）cosA＝，则∠A＝__45°__；
（4）cosA＝，则∠A＝__30°__．
8．如图28－1－23是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD⊥AB，CD＝3m，∠CAD＝∠CBD＝60°，求拉线AC的长．
图28－1－23
解：
在Rt△ACD中sin∠CAD＝，
则AC＝＝＝2（m）．
答：
拉线AC的长是2m.
9．式子2cos30°－tan45°－的值是（ B ）
A.2－2B．0
C．2D．2
10．在△ABC中，若＋（cosB－）2＝0，则∠C的度数是（ D ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解析】＋（cosB－）2＝0
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
则∠C＝180°－30°－60°＝90°
故选D.
11．如图28－1－24，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，在D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为__30__m（结果保留根号）．
图28－1－24
【解析】因为∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，所以∠ACB＝∠CAD＝30°，所以AD＝CD＝60m，所以AB＝AD·sin∠ADB＝60×＝30（m）．
12．计算：
（1）＋2sin60°tan60°－＋tan45°；
（2）－sin60°（1－sin30°）；
（3）sin260°tan45°－＋（tan30°）0.
（4）（－1）2011－＋＋.
解：
（1）原式＝1＋2××－＋1＝5－；
（2）原式＝－×
＝－＝；
（3）原式＝×1－＋1
＝－3＋1＝－1；
（4）原式＝－1－8＋1＋＝－8＋.
13．已知α是锐角，且sin（α＋15°）＝，计算－4cosα－（π－3.14）0＋tanα＋的值．
【解析】由sin60°＝，从而可求出α.
解：
由sin（α＋15°）＝得α＋15°＝60°，
即α＝45°，
原式＝2－4×－1＋1＋3＝3.
14．如图28－1－25，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．
图28－1－25
解：
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4.
在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴DC＝AD＝4，
∴BC＝BD＋DC＝4＋4.
15．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__1__；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝__1__；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝__1__；③
…
观察上述等式，猜想：
对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．④
（1）如图28－1－26，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
图28－1－26
（2）已知：
∠A为锐角（cosA>0）且sinA＝，求cosA.
解：
（1）如图，过点B作BH⊥AC于点H，BH2＋AH2＝AB2
则sinA＝，cosA＝
所以sin2A＋cos2A＝＋＝＝1.
（2）∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，
∴cos2A＝1－（）2＝
∵cosA>0，∴cosA＝.
第4课时 利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数
1．利用计算器求sin30°时，依次按键：
，则计算器上显示的结果是（ A ）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
【解析】因为sin30°＝，故选A.
2．下列计算不正确的是（ D ）
A．sinα＝0.3275，则α≈19°7′2″
B．sinβ＝0.0547，则β≈3°8′8″
C．tanγ＝5，则γ≈78°41′24″
D．sinA＝0.726，则A≈46°36′8″
3．如图28－1－27，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于（ C ）
A．asin40°米B．acos40°米
C．atan40°米D.米
图28－1－27
图28－1－28
4．如图28－1－28，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（ D ）
A．24米B．20米C．16米D．12米
5．用计算器计算（保留4个有效数字）：
（1）sin35°≈__0.573__6__；
（2）cos63°17′≈__0.449__6__；
（3）tan27.35°≈__0.517__2__；
（4）sin39°57′6″≈__0.642__1__．
【解析】
（1）用计算器计算得sin35°≈0.573576436≈0.5736；
（2）按键顺序：
，
结果：
cos63°17′≈0.4496；
（3）按键顺序：
，
结果：
tan27.35°≈0.5172；
（4）按键顺序：
，
结果：
sin39°57′6″≈0.6421.
6．若cosα＝0.5018，则锐角α≈__59.88°__；若tanA＝0.375，则锐角A≈__20.56°__．
7．如图28－1－29，某游乐场内滑梯的滑板与地面所成的角∠A＝35°，滑梯的高度BC＝2米，滑板AB的长约为__3.5__米（精确到0.1米）．
图28－1－29
【解析】∵sinA＝，∴AB＝＝≈3.5（米）．
8．比较大小：
8cos31°__>__.（填“＞”“＝”或“＜”）
9．利用计算器求下列各角（精确到1′）．
（1）sinA＝0.75，求A；
（2）cosB＝0.8889，求B；
（3）tanC＝45.43，求C；（4）tanD＝0.9742，求D.
解：
（1）∵sinA＝0.75，∴∠A≈48°35′；
（2）∵cosB＝0.8889，∴∠B≈27°16′；
（3）∵tanC＝45.43，∴∠C≈88°44′；
（4）∵tanD＝0.9742，∴∠D≈44°15′.
10．如图28－1－30，小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点，已知B点到山脚的垂直距离BC为24米，且山坡坡角∠A的度数为28°，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？
（结果精确到0.1秒，参考数据：
sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
图28－1－30
解：
∵sinA＝，
∴AB＝＝≈≈51.06（米），
∴所需时间t≈51.06÷3≈17.0（秒）．
答：
小明从山脚爬上山顶大约需要17.0秒．
11．如图28－1－31，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则（ C ）
A．点B到AO的距离为sin54°
B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54°
D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
图28－1－31
图28－1－32
12．如图28－1－32，沿AC方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝127°，沿BD的方向前进，取∠BDE＝37°，测得BD＝520m，并且AC，BD和DE在同一平面内．
（1）施工点E离点D多远正好能使A，C，E成一条直线（结果保留整数）?
（2）在
（1）的条件下，若BC＝80m，求公路CE段的长（结果保留整数，参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
解：
（1）∵∠ABD＝127°，∠BDE＝37°，
∴∠DEB＝127°－37°＝90°.
在Rt△BDE中，cosD＝，
∴DE＝BD·cosD＝520×cos37°≈520×0.80＝416（m），即施工点E离点D416m正好能使A，C，E成一条直线．
（2）在
（1）的条件下可得BE＝BD·sinD＝520×sin37°≈520×0.60＝312（m），
∴CE＝BE－BC≈312－80＝232（m）．
13．如图
（1），某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°.
（1）求一楼与二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；
（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图
（2），小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？
（备用数据：
sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249）
（1）
（2）
图28－1－33
【解析】
（1）在直角三角形ABC中利用∠BAC的正弦值和AB的长求得BC的长即可；
（2）首先根据题意求得级高，然后根据10秒钟上升的级数求小明上升的高度即可．
解：
（1）在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，
∴BC＝AB·sin∠BAC≈16.50×0.5299≈8.74（米）．
（2）∵tan32°＝，
∴级高＝级宽×tan32°≈0.25×0.6249＝0.156225（米）．
∵10秒钟电梯上升了2×10＝20（级），
∴小明上升的高度为0.156225×20≈3.12（米）．
14．已知：
如图28－1－34，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.
求：
（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
图28－1－34
第14题答图
解：
（1）如图，过点C作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中，sinA＝，
∴CH＝AC·sinA＝9sin48°≈6.69.
（2）∵在Rt△ACH中，cosA＝，
∴AH＝AC·cosA＝9cos48°，
∴在Rt△BCH中，
tanB＝＝＝≈3.382，
∴∠B≈73°32′.
15．如图28－1－35，伞不论张开还是收紧，伞柄AM始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，E，D在同一条直线上。
已知部分伞架的长度如下（单位：
cm）：
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
（1）求AM的长；
（2）当∠BAC＝104°时，求AD的长（精确到1cm）．
（备用数据：
sin52°＝0.7880，cos52°＝0.6157，tan52°＝1.2799）
图28－1－35
解：
（1）当伞收紧时，动点D与点M重合，∴AM＝AE＋DE＝36＋36＝72（cm）．
（2）AD＝2×36×cos52°＝2×36×0.6157≈44（cm）．
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