九年级数学下册人教版同步测试281 锐角三角函数.docx
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九年级数学下册人教版同步测试281锐角三角函数
2019-2020年九年级数学下册(人教版)同步测试:
28.1锐角三角函数
28.1__锐角三角函数__
第1课时 正弦
1.如图28-1-1,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sinA的值是( C )
图28-1-1
A. B. C. D.
2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值( A )
A.不变B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍D.不能确定
3.如图28-1-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为( C )
图28-1-2
A.B.C.D.1
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,sinB=,则AB=( A )
A.15B.12C.9D.6
【解析】AB===15,选A.
5.如图28-1-3所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为( B )
图28-1-3
A.B.C.D.
6.如图28-1-4,角α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边上有一点P(3,4),则sinα的值是( D )
图28-1-4
A.B.C.D.
【解析】OP==5,∴sinα=.故选D.
7.△ABC中,∠C=90°,sinA=,则sinB=____.
【解析】由sinA=可得=,故可设BC=2a,AB=5a,由勾股定理求得AC=a,再由正弦定义求得sinB===.
8.如图图28-1-5,在⊙O中,过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线,切点为D,若AC=7,AB=4,则sinC的值为____.
图28-1-5
9.Rt△ABC中,若∠C=90°,a=15,b=8,求sinA+sinB.
解:
由勾股定理有c===17,
于是sinA=,sinB=,
所以sinA+sinB=+=.
图28-1-6
10.如图28-1-6所示,△ABC中,∠C=90°,sinA=,AC=2,求AB,BC的长.
解:
∵sinA=,∴=,∴AB=3BC.
∵AC2+BC2=AB2,∴22+BC2=(3BC)2,
∴BC=,∴AB=.
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA=,则斜边上的高等于( B )
A. B. C. D.
12.如图28-1-7,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,DE=6cm,sinA=,则菱形ABCD的面积是__60__cm2.
图28-1-7
【解析】在Rt△ADE中,sinA=,
∴AD===10(cm),∴AB=AD=10cm,
∴S菱形ABCD=DE·AB=6×10=60(cm2).
13.如图28-1-8,⊙O的半径为3,弦AB的长为4,求sinA的值.
图28-1-8
第13题答图
【解析】要求sinA的值,必将∠A放在直角三角形中,故过O作OC⊥AB于C,构造直角三角形,然后根据正弦的定义求解.
解:
过点O作OC⊥AB,垂足为C,如图所示,
则有AC=BC.∵AB=4,∴AC=2.
在Rt△AOC中,OC===,∴sinA==.
14.如图28-1-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,求DE.
图28-1-9
解:
∵BC=6,sinA=,
∴AB=10,
∴AC==8,
∵D是AB的中点,
∴AD=AB=5,
∵△ADE∽△ACB,
∴=,即=,
解得:
DE=.
15.如图28-1-10,是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=24m,OE⊥CD于点E,已测得sin∠DOE=.
(1)求半径OD;
(2)根据需要,水面要以每小时0.5m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?
图28-1-10
解:
(1)∵OE⊥CD于点E,CD=24m,
∴ED=CD=12m.
在Rt△DOE中,sin∠DOE==,
∴OD=13m.
(2)OE===5(m),
∴将水排干需5÷0.5=10(小时).
16.如图28-1-11,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为2,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).
(1)求∠BAC的度数;
(2)求△ABC面积的最大值.
图28-1-11
解:
(1)过点O作OD⊥BC于点D,连接OC,OB.
因为BC=2,
所以CD=BC=.
又因为OC=2,
所以sin∠DOC==,
所以∠DOC=60°,
所以∠BOC=2∠DOC=120°,
所以∠BAC=∠BOC=60°.
(2)因为△ABC中的边BC的长不变,所以底边上的高最大时,△ABC的面积最大,即点A是的中点时,△ABC的面积最大,
此时=,所以AB=AC.
又因为∠BAC=60°,
所以△ABC是等边三角形.
连接AD,易证AD是△ABC的高.
在Rt△ADC中,AC=BC=2,CD=,
所以AD===3,
所以△ABC面积的最大值为×2×3=3.
第2课时 锐角三角函数
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则∠A的余弦值是( C )
A. B. C. D.
2.如图28-1-12,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是( B )
图28-1-12
A.B.
C.D.
3.如图28-1-13是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为( C )
A.30cmB.20cm
C.10cmD.5cm
【解析】BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).
图28-1-13
图28-1-14
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosB=,则AC∶BC∶AB=( A )
A.3∶4∶5B.5∶3∶4
C.4∶3∶5D.3∶5∶4
【解析】由cosB==,设BC=4x,AB=5x,
则AC===3x,
∴AC∶BC∶AB=3x∶4x∶5x=3∶4∶5,故选A.
5.如图28-1-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则BC的长为( A )
A.4B.2
C.D.
【解析】∵cosB=,∴=.∵AB=6,∴BC=×6=4,故选A.
6.如图28-1-15,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tanα等于( C )
图28-1-15
A.B.C.D.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,则sinB=____,cosB=____,sinA=____,cosA=____,tanA=____,tanB=____.
【解析】AB===10.
sinB===,cosB===,
sinA===,cosA===,
tanA===,tanB===.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:
①sinA=;②cosB=;③tanA=;④tanB=,其中正确的结论是__②③④__.(只需填上正确结论的序号)
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=8,则Rt△ABC的面积为__24__.
10.
(1)在△ABC中,∠C=90°,BC=2,AB=5,求sinA,cosA,tanA.
(2)在△ABC中,若三边BC,CA,AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13,求sinA,cosB,tanA.
解:
(1)由勾股定理,知AC===,
∴sinA==,tanA===,
cosA==.
(2)设BC=5k,CA=12k,AB=13k.
∵BC2+CA2=25k2+144k2=169k2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,∠C=90°,
∴sinA==,cosB==,tanA==.
11.
(1)若∠A为锐角,且sinA=,求cosA,tanA.
(2)已知如图28-1-16,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,求∠B的正弦、余弦值.
图28-1-16
解:
(1)设在△ABC中,∠C=90°,∠A为已知锐角,∵sinA==,设a=3k,c=5k,∴b===4k,
∴cosA===,tanA===.
(2)∵∠C=90°,tanA==,
∴设BC=x,AC=2x,
∴AB==x,
∴sinB===,
cosB===.
12.如图28-1-17,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则tanB的值是( C )
A.B.C.D.
图28-1-17
图28-1-18
13.如图28-1-18,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,点C是优弧AB上一点(不与点A,B重合),则cosC的值为____.
【解析】连接AO并延长交⊙O于点D,连接BD,
可得AD为⊙O直径,故∠ABD=90°.
∵⊙O的半径为5,弦AB=6,
∴BD===8.∵∠D=∠C,
∴cosC=cosD===.
14.如图28-1-19,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=8,AB=10,求cos∠BCD的值.
图28-1-19
解:
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠BDC=∠ACB=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,
∠B+∠A=90°,
∴∠BCD=∠A.
∵AB=10,AC=8,
∴cos∠BCD=cosA===.
15.已知α为锐角,且tanα=2,求的值.
【解析】根据锐角三角函数的定义,结合图形设参数即可求出各边的比,从而得出sinα、cosα的值进行计算.
解:
如图所示,作Rt△ABC,使∠C=90°,
设AC=k,BC=2k,则∠A=α.
∵AB==
=k,
∴sinα==,cosα==,
∴==.
16.如图28-1-20,定义:
在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作cotα,即cotα==,根据上述角的余切定义,解下列问题:
(1)cot30°=________;
(2)如图,已知tanA=,其中∠A为锐角,试求cotA的值.
图28-1-20
解:
(1)
(2)∵tanA==,∴cotA==.
第3课时 特殊角三角函数值
1.3tan30°的值等于( A )
A.B.3
C.D.
2.计算6tan45°-2cos60°的结果是( D )
A.4B.4
C.5D.5
3.如图28-1-21,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为( C )
A.B.
C.D.1
【解析】∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,
∴sinA===,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴sinB=.
图28-1-21
图28-1-22
4.如果在△ABC中,sinA=cosB=,则下列最确切的结论是( C )
A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是锐角三角形
【解析】∵sinA=cosB=,∴∠A=∠B=45°,∴∠C=90°,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形.
5.如图28-1-22,当太阳光线与水平地面成30°角时,一棵树的影长为24m,则该树高为( A )
A.8mB.12m
C.12mD.12m
【解析】树高为24×tan30°=24×=8(m).
6.
(1)cos30°的值是____.
(2)计算:
sin30°·cos30°-tan30°=__-__(结果保留根号).
【解析】原式=×-=-.
(3)cos245°+tan30°·sin60°=__1__.
【解析】cos245°+tan30°·sin60°=+×=+=1.
7.根据下列条件,求出锐角A的度数.
(1)sinA=,则∠A=__60°__;
(2)cosA=,则∠A=__60°__;
(3)cosA=,则∠A=__45°__;
(4)cosA=,则∠A=__30°__.
8.如图28-1-23是引拉线固定电线杆的示意图,已知CD⊥AB,CD=3m,∠CAD=∠CBD=60°,求拉线AC的长.
图28-1-23
解:
在Rt△ACD中sin∠CAD=,
则AC===2(m).
答:
拉线AC的长是2m.
9.式子2cos30°-tan45°-的值是( B )
A.2-2B.0
C.2D.2
10.在△ABC中,若+(cosB-)2=0,则∠C的度数是( D )
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】+(cosB-)2=0
∴sinA=,cosB=,
∴∠A=30°,∠B=60°,
则∠C=180°-30°-60°=90°
故选D.
11.如图28-1-24,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,在D点测得∠ADB=60°,又CD=60m,则河宽AB为__30__m(结果保留根号).
图28-1-24
【解析】因为∠ACB=30°,∠ADB=60°,所以∠ACB=∠CAD=30°,所以AD=CD=60m,所以AB=AD·sin∠ADB=60×=30(m).
12.计算:
(1)+2sin60°tan60°-+tan45°;
(2)-sin60°(1-sin30°);
(3)sin260°tan45°-+(tan30°)0.
(4)(-1)2011-++.
解:
(1)原式=1+2××-+1=5-;
(2)原式=-×
=-=;
(3)原式=×1-+1
=-3+1=-1;
(4)原式=-1-8+1+=-8+.
13.已知α是锐角,且sin(α+15°)=,计算-4cosα-(π-3.14)0+tanα+的值.
【解析】由sin60°=,从而可求出α.
解:
由sin(α+15°)=得α+15°=60°,
即α=45°,
原式=2-4×-1+1+3=3.
14.如图28-1-25,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的长.
图28-1-25
解:
∵AD⊥BC于点D,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,
∴AD=AB=4,BD=AD=4.
在Rt△ADC中,∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,
∴DC=AD=4,
∴BC=BD+DC=4+4.
15.阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:
sin30°=,cos30°=,则sin230°+cos230°=__1__;①
sin45°=,cos45°=,则sin245°+cos245°=__1__;②
sin60°=,cos60°=,则sin260°+cos260°=__1__;③
…
观察上述等式,猜想:
对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=__1__.④
(1)如图28-1-26,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;
图28-1-26
(2)已知:
∠A为锐角(cosA>0)且sinA=,求cosA.
解:
(1)如图,过点B作BH⊥AC于点H,BH2+AH2=AB2
则sinA=,cosA=
所以sin2A+cos2A=+==1.
(2)∵sin2A+cos2A=1,sinA=,
∴cos2A=1-()2=
∵cosA>0,∴cosA=.
第4课时 利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数
1.利用计算器求sin30°时,依次按键:
,则计算器上显示的结果是( A )
A.0.5 B.0.707 C.0.866 D.1
【解析】因为sin30°=,故选A.
2.下列计算不正确的是( D )
A.sinα=0.3275,则α≈19°7′2″
B.sinβ=0.0547,则β≈3°8′8″
C.tanγ=5,则γ≈78°41′24″
D.sinA=0.726,则A≈46°36′8″
3.如图28-1-27,A,B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90°,∠C=40°,则AB等于( C )
A.asin40°米B.acos40°米
C.atan40°米D.米
图28-1-27
图28-1-28
4.如图28-1-28,在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米,则旗杆的高度约为( D )
A.24米B.20米C.16米D.12米
5.用计算器计算(保留4个有效数字):
(1)sin35°≈__0.573__6__;
(2)cos63°17′≈__0.449__6__;
(3)tan27.35°≈__0.517__2__;
(4)sin39°57′6″≈__0.642__1__.
【解析】
(1)用计算器计算得sin35°≈0.573576436≈0.5736;
(2)按键顺序:
,
结果:
cos63°17′≈0.4496;
(3)按键顺序:
,
结果:
tan27.35°≈0.5172;
(4)按键顺序:
,
结果:
sin39°57′6″≈0.6421.
6.若cosα=0.5018,则锐角α≈__59.88°__;若tanA=0.375,则锐角A≈__20.56°__.
7.如图28-1-29,某游乐场内滑梯的滑板与地面所成的角∠A=35°,滑梯的高度BC=2米,滑板AB的长约为__3.5__米(精确到0.1米).
图28-1-29
【解析】∵sinA=,∴AB==≈3.5(米).
8.比较大小:
8cos31°__>__.(填“>”“=”或“<”)
9.利用计算器求下列各角(精确到1′).
(1)sinA=0.75,求A;
(2)cosB=0.8889,求B;
(3)tanC=45.43,求C;(4)tanD=0.9742,求D.
解:
(1)∵sinA=0.75,∴∠A≈48°35′;
(2)∵cosB=0.8889,∴∠B≈27°16′;
(3)∵tanC=45.43,∴∠C≈88°44′;
(4)∵tanD=0.9742,∴∠D≈44°15′.
10.如图28-1-30,小明以3米/秒的速度从山脚A点爬到山顶B点,已知B点到山脚的垂直距离BC为24米,且山坡坡角∠A的度数为28°,问小明从山脚爬上山顶需要多少时间?
(结果精确到0.1秒,参考数据:
sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
图28-1-30
解:
∵sinA=,
∴AB==≈≈51.06(米),
∴所需时间t≈51.06÷3≈17.0(秒).
答:
小明从山脚爬上山顶大约需要17.0秒.
11.如图28-1-31,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则( C )
A.点B到AO的距离为sin54°
B.点B到AO的距离为tan36°
C.点A到OC的距离为sin36°sin54°
D.点A到OC的距离为cos36°sin54°
图28-1-31
图28-1-32
12.如图28-1-32,沿AC方向开修一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520m,并且AC,BD和DE在同一平面内.
(1)施工点E离点D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?
(2)在
(1)的条件下,若BC=80m,求公路CE段的长(结果保留整数,参考数据:
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75).
解:
(1)∵∠ABD=127°,∠BDE=37°,
∴∠DEB=127°-37°=90°.
在Rt△BDE中,cosD=,
∴DE=BD·cosD=520×cos37°≈520×0.80=416(m),即施工点E离点D416m正好能使A,C,E成一条直线.
(2)在
(1)的条件下可得BE=BD·sinD=520×sin37°≈520×0.60=312(m),
∴CE=BE-BC≈312-80=232(m).
13.如图
(1),某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米,坡角∠BAC为32°.
(1)求一楼与二楼之间的高度BC(精确到0.01米);
(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米,如图
(2),小明跨上电梯时,该电梯以每秒上升2级的高度运行,10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?
(备用数据:
sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan32°≈0.6249)
(1)
(2)
图28-1-33
【解析】
(1)在直角三角形ABC中利用∠BAC的正弦值和AB的长求得BC的长即可;
(2)首先根据题意求得级高,然后根据10秒钟上升的级数求小明上升的高度即可.
解:
(1)在Rt△ABC中,∵sin∠BAC=,
∴BC=AB·sin∠BAC≈16.50×0.5299≈8.74(米).
(2)∵tan32°=,
∴级高=级宽×tan32°≈0.25×0.6249=0.156225(米).
∵10秒钟电梯上升了2×10=20(级),
∴小明上升的高度为0.156225×20≈3.12(米).
14.已知:
如图28-1-34,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.
求:
(1)AB边上的高(精确到0.01);
(2)∠B的度数(精确到1′).
图28-1-34
第14题答图
解:
(1)如图,过点C作AB边上的高CH,垂足为H,
∵在Rt△ACH中,sinA=,
∴CH=AC·sinA=9sin48°≈6.69.
(2)∵在Rt△ACH中,cosA=,
∴AH=AC·cosA=9cos48°,
∴在Rt△BCH中,
tanB===≈3.382,
∴∠B≈73°32′.
15.如图28-1-35,伞不论张开还是收紧,伞柄AM始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC,当伞收紧时,动点D与点M重合,且点A,E,D在同一条直线上。
已知部分伞架的长度如下(单位:
cm):
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
(1)求AM的长;
(2)当∠BAC=104°时,求AD的长(精确到1cm).
(备用数据:
sin52°=0.7880,cos52°=0.6157,tan52°=1.2799)
图28-1-35
解:
(1)当伞收紧时,动点D与点M重合,∴AM=AE+DE=36+36=72(cm).
(2)AD=2×36×cos52°=2×36×0.6157≈44(cm).