将线框在磁场上方ab边距
为h处由静止开始释放，当ab边进入磁场时速度为
，cd边刚穿出磁场时速度也为
。
从ab边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的整个过程中（B）
A．线框一直都有感应电流
B．线框一定有减速运动的过程
C．线框不可能有匀速运动的过程
D．线框产生的总热量为mg（d+h+L）
3．（2006年普通高等学校夏季招生考试物理上海卷）如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动．求：
（1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度v2；
（2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1；
（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q．
a
解：
（1）线框在下落阶段匀速进入磁场瞬间
mg=f+①
解得v2=②
（2）线框从离开磁场至上升到最高点的过程
（mg+f）h=mv12③
线框从最高点回落至磁场瞬间
（mg-f）h=mv22④
③、④式联立解得
v1=⑤
=⑥
（3）线框在向上通过通过过程中
mv02-mv12=Q+（mg+f）（a+b）⑦
v0=2v1
Q=m[（mg）2–f2]-（mg+f）（a+b）⑧
评分标准：
本题共14分。
第
（1）小题4分，得出①、②式各2分；第
（2）小题6分，得出③、④式各2分，正确得出结果⑥式2分，仅得出⑤式1分；第（3）小题4分，得出⑦、⑧式各2分。
4．如图所示，倾角为370的光滑绝缘的斜面上放着M=1kg的导轨abcd，ab∥cd。
另有一质量m=1kg的金属棒EF平行bc放在导轨上，EF下侧有绝缘的垂直于斜面的立柱P、S、Q挡住EF使之不下滑，以OO′为界，斜面左边有一垂直于斜面向下的匀强磁场。
右边有平行于斜面向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度均为B=1T，导轨bc段长L=1m。
金属棒EF的电阻R=1.2Ω，其余电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.4，开始时导轨bc边用细线系在立柱S上，导轨和斜面足够长，当剪断细线后，试求：
（1）求导轨abcd运动的最大加速度；
（2）求导轨abcd运动的最大速度；
（3）若导轨从开始运动到最大速度的过程中，流过金属棒EF的电量q=5C，则在此过程中，系统损失的机械能是多少？
（sin370=0.6）
解：
（1）对导轨进行受力分析有：
其中
1′
对棒：
1′
则导轨的加速度：
3′
可见当v=0时，a最大：
1′
2′
（2）当导轨达到最大速度时受力平衡即a=0，此时：
1′
3′
（3）设导轨下滑距离d时达到最大速度
，1′
d=6m1′
对导轨由动能定理得：
1′
损失的机械能W=20.32J
5．（07重庆）在t=0时，磁场在xOy平面内的分布如图所示，其磁感应强度的大小均为B0，方向垂直于xOy平面，相邻磁场区域的磁场方向相反。
每个同向磁场区域的宽度均为l0。
整个磁场以速度
沿x轴正方向匀速移动。
⑴若在磁场所在区域，xOy平面内放置一由n匝线圈串联而成的矩形导线框abcd，线框的bc边平行于x轴，bc=l0，ab=L，总电阻为R，线框始终保持静止，求
①线框中产生的总电动势大小和导线中的电流大小；
②线框所受安培力的大小和方向。
⑵该运动的磁场可视为沿x轴传播的波，设垂直于纸面向外的磁场方向为正，画出t=0时磁感应强度的波形图，并求波长λ和频率f。
O
【解析】⑴①导线框相对磁场以速度
沿x轴负方向匀速移动，依据右手定则知ab、cd边切割磁感线各自产生的感应电流方向相同（均沿顺时针方向），每匝线圈产生的电动势大小为
……①
因n匝线圈串联，所以总电动势大小为
……②
依据闭合电路欧姆定律得导线中的电流大小为
……③
②依据左手定则知线框ab、cd边电流所受安培力均沿正x方向，ad、bc边在相邻磁场区域内所受安培力方向相反（右面部分向外、左面部分向里），并且上下两边左面部分线框所受安培力大小相等，右面部分线框亦然，故线框所受安培力的合力方向应该沿x轴正方向；
依据安培力公式知每匝线圈所受安培力大小为
……④
n匝线圈所受安培力合力大小
……⑤
由③~⑤得
。
⑵将运动的磁场看作沿x轴传播的波时，在指定区域里磁场作周期性振荡，磁感应强度大小不变，
方向呈现周期性变化，因此在既定正方向的条件下，t=0时磁感应强度的波形应为图示矩形波。
据空间周期性知波长
，依据
得频率
。
注：
该问题主要考查已有方法的迁移运用能力。
6．如图所示，在倾角为θ的光滑的斜面上，存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L，一个质量为m，边长也为L的正方形线框（设电阻为R）以速度v进入磁场时，恰好做匀速直线运动.若当ab边到达gg′与ff′中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则：
（1）当ab边刚越过ff′时，线框加速度的值为多少?
（2）求线框开始进入磁场到ab边到达gg′与ff′
中点的过程中产生的热量是多少?
【解析】此题旨在考查电磁感应与能量之间的关系.线框刚越过ff′时，两条边都在切割磁感线，其电路相当于两节相同电池的串联，并且这两条边还同时受到安培力的阻碍作用.
（1）ab边刚越过ee′即做匀速直线运动，表明线框此时所受的合力为0，即
在ab边刚越过ff′时，ab、cd边都切割磁感线产生感应电动势，但线框的运动速度不能突变，则此时回路中的总感应电动势为E′=2BLv，设此时线框的加速度为a，则2BE′L/R-mgsin=ma，a=4B2L2v/（Rm）-gsin=3gsin，方向沿斜面向上.
（2）设线框再做匀速运动时的速度为v′，则mgsin=（2B2L2v′/R）×2，即v′=v/4，从线框越过ee′到线框再做匀速运动过程中，设产生的热量为Q，则由能量守恒定律得:
【解题回顾】电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化，适时选用能量守恒关系常会使求解很方便，特别是处理变加速直线运动或曲线运动问题.
7．如图所示，金属框中ad、be、cf段导体长均为L，电阻均为R，且导体abc和def的电阻均忽略不计。
金属框处在一个垂直于纸面向里磁感强度为B的匀强磁场中，在外力作用下以速度v向左匀速拉出，求：
（1）金属框运动到图示位置时，各段导体中的电流强度；
（2）作用在金属框上的外力。
析与解
（1）金属框运动到图示位置时，be和cf两段导体切割磁感线，产生的感应电动势均为E=BLv，画出等效电路图如图所示，根据电源并联的特点可知，通过导体ad的电流强度为I=E/（R+R/2）=2BLv/3R，通过导体be和cf的电流均为I’=I/2=BLv/（3R）。
（2）将be和cf视为一个“整体”，由左手定则可知，be和ef在磁场中所受的安培力方向向右，大小为F=BIL+2B2L2v/（3R），由于整个线框做匀速运动，所以作用在金属框上的外力F’=F=2B2L2v/（3R），方向向左。
8．随着越来越高的摩天大楼在各地的落成，至今普遍使用的钢索悬挂式电梯已经渐渐地不适用了。
这是因为钢索的长度随着楼层的增高而相应增加，这样钢索会由于承受不了自身的重量，还没有挂电梯就会被扯断。
为此，科学技术人员正在研究用磁动力来解决这个问题。
如图6所示就是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=1T，两磁场始终竖直向上作匀速运动。
电梯桥厢固定在如图6所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图6中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为
，所受阻力f=500N，金属框垂直轨道的边长Lcd =2m，两磁场的宽度均与金属框的边长Lac相同，金属框整个回路的电阻
，假如设计要求电梯以v1=10m/s的速度向上匀速运动，那么，
（1）磁场向上运动速度v0应该为多大？
（2）在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，那么这些能量是由谁提供的？
此时系统的效率为多少？
解析：
（1）当电梯向上匀速运动时，金属框中感应电流大小为
（1）
金属框所受安培力
（2）
安培力大小与重力和阻力之和相等，所以
（3）
由
（1）
（2）（3）式求得：
v0=13m/s。
（2）运动时电梯向上运动的能量由磁场提供。
磁场提供的能量分为两部分，一部分转变为金属框的内能，另一部分克服电梯的重力和阻力做功．当电梯向上作匀速运动时，金属框中感应电流由
（1）得：
金属框中的焦耳热功率为：
（4）
而电梯的有用功率为：
（5）
阻力的功率为：
（6）
从而系统的机械效率
（7）
点评：
此题的实质是利用了金属导体切割磁感线产生感应电动势，从而产生了安培力，由于出现了相对运动，切割速度必须是相对速度．有的同学不能从能量角度来分析问题，不能找出能量的来源。
9．如图所示，线圈ａｂｃｄ每边长L＝0.20ｍ，线圈质量ｍ1＝0.10ｋｇ、电阻Ｒ＝0.10Ω，砝码质量
ｍ2＝0.14ｋｇ．线圈上方的匀强磁场磁感强度Ｂ＝0.5Ｔ，方向垂直线圈平面向里，磁场区域的宽度为
ｈ＝L＝0.20ｍ．砝码从某一位置下降，使ａｂ边进入磁场开始做匀速运动．求线圈做匀速运动的速度．
解析：
该题的研究对象为线圈，线圈在匀速上升时受到的安培力Ｆ安、绳子的拉力Ｆ和重力ｍ1ｇ相互平衡，即
Ｆ＝Ｆ安＋ｍ1ｇ． ①
图33-1
砝码受力也平衡：
Ｆ＝ｍ2ｇ． ②
线圈匀速上升，在线圈中产生的感应电流
Ｉ＝ＢLｖ／Ｒ， ③
因此线圈受到向下的安培力
Ｆ安＝ＢＩL． ④
联解①②③④式得ｖ＝（ｍ2－ｍ1）ｇＲ／Ｂ2L2．
代入数据解得：
ｖ＝4（ｍ／ｓ）
10．如图，光滑斜面的倾角
=30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1=lm，bc边的边长l2=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M=2kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh的距离s=11.4m，（取g=10.4m/s2），求：
（1）线框进入磁场前重物M的加速度；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v；
（3）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t；
（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热。
解：
（1）线框进入磁场前，线框仅受到细线的拉力FT，斜面的支持力和线框重力，重物M受到重力和拉力FT。
对线框，由牛顿第二定律得
FT–mgsinα=ma.
联立解得线框进入磁场前重物M的加速度
=5m/s2
（2）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动
所以重物受力平衡
Mg=FT′，
线框abcd受力平衡
FT′=mgsinα+FA
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势
E=Bl1v
形成的感应电流
受到的安培力
联立上述各式得
Mg=mgsinα+
代入数据解得v=6m/s
（3）线框abcd进入磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动。
进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同，为
a=5m/s2
该阶段运动时间为
进磁场过程中匀速运动时间
线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，所以该阶段的加速度仍为a=5m/s2
解得：
t3=1.2s
因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为
t=t1+t2+t3=2.5s
（4）线框ab边运动到gh处的速度
v′=v+at3=6m/s+5×1.2m/s=12m/s
整个运动过程产生的焦耳热
Q=FAl2=（Mg–mgsinθ）l2=9J
四、杆—框
1．如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中。
一导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。
质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好处于静止状态。
不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力。
⑴通过ab边的电流Iab是多大？
⑵导体杆ef的运动速度v是多大？
e
【解析】该题属于电磁感应与静力学问题的综合问题。
⑴因导体杆ef向左运动，依据右手定则知，杆中感应电流流向为
，经线框ab边及ad、dc、cb各边流回导体杆，依据左手定则知：
ab、dc边所受磁场力即安培力均沿竖直方向向上，设流经ad、dc、cb各边的电流为
则上边、下边所受安培力大小分别为
……①
……②
安培力的合力
……③
由并联电路电压相等得
……④
由力的平衡条件得
……⑤
解①~⑤得
……⑥
⑵流经导体杆ef的电流
……⑦
依据闭合电路欧姆定律知
……⑧
……⑨
电动势
……⑩
解④⑥式及⑦~⑩式得
。
2．如图所示，间距l=0.3m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内，在水平面a1b1b2a2区域内和倾角
=
的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1=0.4T、方向竖直向上和B2=1T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。
电阻R=0.3
、质量m1=0.1kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。
一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2=0.05kg的小环。
已知小环以a=6m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动。
不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。
取g=10m/s2，sin
=0.6，cos
=0.8。
求
（1）小环所受摩擦力的大小；
（2）Q杆所受拉力的瞬时功率。
解析：
以小环为研究对象，由牛顿第二定律
①
代入数据得
②
设流过杆K的电流为
，由平衡条件得
③
对杆Q，根据并联电路特点以及平衡条件得
④
由法拉第电磁感应定律的推论得
⑤
根据欧姆定律有
⑥
且
⑦
瞬时功率表达式为
⑧
联立以上各式得
⑨
【答案】
（1）
；
（2）
。
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