考研数学一真题及答案解析.docx
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考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析
一、选择题:
1〜8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
b,x<0
【答案】A
1
/--X.]]
【解析】lim————-=lmi2—=一,f(x)在x=0处连续・•・——=b=>ab=—•选A.axax2a2ci2
(2)设函数/(x)可导,且/(x)f(x)>0,则()
【答案】C
g.ff(x)>0f/(x)<0
【解析】•••/(x)/(x)>0,・・・q,
(1)或Q⑵,只有C选项满足
(1)且满足
(2),所以选C。
1广(0>0[/\x)<0
(3)函数f(x9y9z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量“=(1,2,2)的方向导数为()
【答案】D
【解析】&嗣=3,*,2z},=>gradf|(1>2>0)={4,1,0}=>鲁=gradf~={4,1,0}{|,|,|}=2.
选D・
(4)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:
m)处,图中实线表示甲的速度曲线V=V1(O(单位:
m/s),虚线表示乙的速度曲线v=V2(/),三块阴影部分而积的数值依次为10,203,计时开始后乙追上
甲的时刻记为/。
(单位:
s),贝IJ()
【答案】B
【解析】从0到f°这段时间内甲乙的位移分別为(飞(0^,『叫(“/,则乙要追上甲,则『叫⑴—v】(tW=10,当『0=25时满足,故选C.
(5)设a是畀维单位列向量,E为畀阶单位矩阵,则()
【答案】A
【解析】选项A,由{E-aar)a=a-a=0得(E-aaT)x=0有非零解,故E-aal=0即E-aal不
可逆。
选项氏由i\aaT)a=1得仇!
•的特征值为小个o,1•故E+aa1的特征值为“1个1,2•故可逆。
其
它选项类似理解。
00_
「21O'
"10o-
(6)设矩阵4=
021
B=
020
c=
020
,则()
001
001
002
【答案】B
【解析】由(aE-A)=0可知A的特征值为2,2,1
‘100A
因为3-r(2E-A)=l,/.A可相似对角化,且A〜020
002,
由\AE-B\=0可知B特征值为2,2,1.
因为3—"2E—B)=2,・・・B不可相似对角化,显然C可相似对角化,
・・・4〜C,且B不相似于C
(7)设4,3为随机概率,若0
P(A\B)的充分必要条件是()
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开,则A选项符合题总。
_1«
(8)设XpX<.Xn(«>2)为来自总体Ng)的简单随机样本,记X=-YXi9则下列结论中不正确的
是()
【答案】B
【解析】
由于找不正确的结论,故B符合题意。
二、填空题:
9?
14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
⑼已知函数/(X)=.则/⑴(0)=
l+x~
【答案】/(0)=-6
【解析】
(10)微分方程y"+2y+3y=0的通解为y二
【答案】y=e~x(c{cos>/2x+c2smy/2x),(c^c2为任意常数)
【解析】齐次特征方程为才+2兄+3=0二>人二=一1+忑i故通解为Q(qcos>/2x+c2sinJSx)
【答案】a=l
QD05、ACADac
【解析】二=>a=—1
(12)幕级数工(―1厂5#1在区间(_i,i)内的和函数s(x)=
‘101、
(13)设矩阵A=112,冬,4,冬为线性无关的3维列向量组,则向量组Aa^Aa^Aa,的秩为
、01L
【答案】2
【解析】由务,冬,冬线性无关,可知矩阵%,冬,冬可逆,故
r(Aa^Aa2,Aa^=r[A(a^a2.a^=r(A)再由r(A)=2得厂(人匕,人冬,4%)=2
Y—4
(14)设随机变量X的分布函数为尸(x)=0.5①⑴+0.5①(〒),其中①(x)为标准正态分布函数,则
EX=
【答案】2
QSV—4o+x0)y—4
【解析】F(x)=0.5仅x)+—cp(-),故EX=0.5x(p{x)dx+—>/x
222
匚x(p{x)dx=EX=0°令「'£“f,则Jx仅'£"X:
x=2丄(4+2/)(p{t)dt=8-1+4.t(p(t)dt=8因此E(X)=2.
三、解答题:
15—23小题,共94分•请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
设函数/(«,v)具有2阶连续偏导数,y=f(e\cosx),求字◎
【答案】些
ax
=人(1,1),壬月=兀(1,1),
l.v=O
【解析】
结论:
nk(k、
(16)(本题满分10分)求1lmY—1111+-
In)
【答案】-
4
【解析】
(17)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程x3+)»-3x+3y-2=0确定,求y(x)的极值
【答案】极大值为y(l)=l,极小值为y(—1)=0
将x=l』=l代入
(2)WyH(l)=-l<0
将x=—l,y=O代入
(2)得)』(一1)=2>0
故x=l为极大值点,y(l)=l:
兀=一1为极小值点,y(-l)=0
(18)(本题满分io分)
设函数/(切在区间[0,1]±具有2阶导数,且/(l)>0,hin^^<0,证明:
XTO+X
(I)方程/(.X)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根:
(口)方程f(x)f\x)+(f\x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
(I)/(x)二阶导数,/
(1)>0,lini^-<0
X
解:
1)由于Um丄2<0,根据极限的保号性得
m5>0,XX
进而丸巳0,5)有7(5)<0
又由于/(X)二阶可导,所以/(x)在[0,1]±必连续
那么/(x)在[51]上连续,由/(^)<0,/
(1)>0根据零点定理得:
至少存在一点歹巳5,1),使于(歹)=0,即得证
(II)由
(1)可知/(0)=0,珈(0,1),何(歹)=0,令F(x)=f(x)ft(x),则f(0)=f^)=0
由罗尔定理引7G(0,歹),使f'(〃)=0,则F(0)=F(j])=F^)=0,
对F(x)在(0,〃),(〃,&)分別使用罗尔定理:
引“(0,“),%€(“,§)且7,“2W(0,1),几工〃2,使得FS])=F(〃2)=0,即
F\x)=f(x)fXx)+(f\x)y=0在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
(19)(本题满分10分)
设薄片型物体S是圆锥而Z=“+尸被柱而亡=2x割下的有限部分,其上任一点的密度为
//=9ylx2+y2+Z20记圆锥而与柱而的交线为C
(I)求C在xOy平而上的投影曲线的方程;
【答案】64
【解析】
(1)由题设条件知,C的方程为\Z=ylX+y=>x2+r=2x
Z2=2x
则C在xoy平而的方程为<
x2+y2=2x
z=o
(2)
(20)(本题满分11分)设3阶矩阵4=a“y)有3个不同的特征值,且冬=4+2勺。
(I)证明r(A)=2
(口)若0=乙+6^+$,求方程组Ax=p的通解。
【答案】(I)略:
(II)通解为R2+1、kwR
【解析】
(I)证明:
由a5=a{+2az可得+2a2-=0,即线性相关,
因此,1^=1^a2a3|=0,即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0・
且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为八=入,入工人工0
•••r(A)=r(A)=2
(II)由
(1)"4)=2,知3-r(A)=l9即Av=0的基础解系只有1个解向量,
<1、
由4+2冬一&3=°可得(乞心心)
2
=4
2
=0,则Ay=0的基础解系为
2
厂1丿
-b
⑴
又p=aY+a2+a^EP(1
=A
1
=0,则Ax=0的一个特解为
1
1
X/
<1、
⑴
综上,A.r=0的通解为k
2
+
1
kwR
(21)(本题满分11分)设二次型/(心壬/3)=2彳一迟+处;+2心丫2-8冲:
3+2心丫3
在正交变换X=QY下的标准型人才+厶£,求g的值及一个正交矩阵0
22
y
6
+
2>1
3
『一
/
厂一V6I2一V6I丄Q
401一V2
1石1一>/31_血
(21-4、
/(^,x2,x3)=XrAX,其中4=1-11
「41「
由于/(召,兀,“)=XUX经正交变换后,得到的标准形为人斤+人元
9
21-4
故r(A)=2=>|A|=0=>1-11=0二>(/=2,
-41a
'21-4、
将a=2代入,满足r(A)=2,因此a=2符合题意,此时A=1-11,则「412丿
2-2-14
|AE—A|=—12+1—1=0=>人=—3,入=0,人=6,
4-12-2
由(-3E-A)x=0,可得A的属于特征值-3的特征向量为q=-1<1>
由(6E-A)x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为&’=0
UJ
由(0E-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为q=2丄
‘一3
令P冬,匕),贝6,由于冬,还,勺彼此正交,故只需单位化即可:
忑^6
则e=(AAA)=
qtaq=
(22)(本题满分ii分)设随机变ix,r相互独立,且x的概率分布为p(x=o)=p(x=2)=丄,丫的
2y,0(I)求P(Y(口)求Z=X+Y的概率密度。
2,0<^<1
Z-2,2<3
4
【答案】(I)P[Y【解析】
当zv0m—2<0,而zvO,则E(Z)=0
当z-2>1^>1,即空3时,F:
(Z)=\
(3)当0时,
-+-(z-2)2,21,Z>3
所以/;(Z)=[F3(Z)]=<
Z0<^<1
Z-22(23)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的梢度,用该天平对一物体的质量做〃次测量,该物体的质量“是已知的,设〃次测量结果…X”相互独立且均服从正态分布NS)。
该工程师记录的是〃次测量的绝对误差Z=|Xi.-z/|(z=1,2,…"),利用乙,Z?
…Z„估计b°
(I)求乙的概率密度:
(口)利用一阶矩求b的矩估计量
【答案】
【解析】
(1)化⑵二P(Z当z*T
当znO.F,(^)=P(-Z2-2L
综上厶⑵二厉/QU
0^<0
__1fl1n
令E(乙)=ZZ—工Z,=—厂
J1=1"1=1
对总体X的〃个样本X|,X“…则相交的绝对误差的样本Z“Z”・乙,乙=氏一外心12・・仏令其样
本值为Z1,Z2<--Z/|,Z/=|x—u
两边取对数,当Z“Z“・・・Z”>0时
令dIn3)
所以,lyz;=J-y(x,-M)2为所求的最大似然估计。
0M倉